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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Brevet des collèges}}
\rfoot{\small{Groupement Nord}}
\lfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement
 Nord juin 2002~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice  1}

\medskip

\[\text{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{7} \qquad \qquad \text{B} = \dfrac{6}{5} \div \left( \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{5} \right) \]

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et écrire la réponse sous forme de fraction irréductible.

\item  Calculer B et écrire la réponse sous forme d'un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice  2}

\medskip

On considère l'expression $C =  (3x - 1)^2 -  (3x - 1) (2x + 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $C$.
\item  Factoriser $C$.
\item  Résoudre l'équation $(3x - 1) (x -  4) = 0$.
\item  Calculer $C$ pour $x = \sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice  3}

\medskip
 
Une fermière vend 3 canards et 4 poulets pour 70,30~\euro.

Un canard et un poulet valent ensemble 20,70~\euro.

Déterminer le prix d'un poulet et celui d'un canard.

\bigskip

\textbf{Exercice  4} Pour le $1\up{er}}$ Mai, Julie dispose
 de 182 brins de muguet et 78 roses.

Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en
 utilisant toutes ses fleurs.

Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?

Quelle sera la composition de chaque bouquet ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice  1} 

\medskip
 
La figure suivante est donnée à titre indicatif
 pour préciser la position des points A, B, C, D et  E. Les longueurs représentées ne sont pas exactes.
 
\vspace{0,25cm}

\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(6,4.24)
\psline(0,0)(6,0)(1.5,4)(5.6,4)(0,0)
\uput[u](1.5,4){E} \uput[u](5.6,4){D} \uput[r](3.05,2.7){C} 
\uput[d](0,0){A} \uput[d](6,0){B} 
\end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{On donne :

CE = 5

CD = 12

CA = 18

CB = 7,5

AB = 19,5}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallèles. 
\item  Montrer que ED = 13. 
\item  Montrer que le triangle CED est rectangle. 
\item  Calculer $\tan \widehat{\text{DEC}}$ puis en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DEC}}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice  2}

\medskip
 
Sachant que O est le centre du cercle passant
 par les points A, B, C, déterminer la mesure des angles du triangle ABC sachant que $\widehat{\text{AOB}}$ = 50\degres{} et $\widehat{\text{BOC}}$ = 150\degres, en justifiant chacune de vos réponses. 

\bigskip

\textbf{Exercice  3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer, sur la feuille annexe, le symétrique $\mathcal{P}_1$ de la
 figure $\mathcal{P}$ par rapport au point O. 
\item  Tracer, sur la feuille annexe, le symétrique $\mathcal{P}_2$ de la figure $\mathcal{P}$ par rapport à la droite (EF). 
\item  Tracer, sur la feuille annexe, l'image $\mathcal{P}_3$ de la
 figure $\mathcal{P}$ par la translation de vecteur 
 $\vect{\text{AB}}$. 
\item  Tracer, sur la feuille annexe, l'image $\mathcal{P}_4$ de la
 figure $\mathcal{P}$ dans la rotation de centre E, d'angle 90¡ et dans le sens de la flèche. 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.65cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(18,18)
\psgrid[gridlabelcolor=white]
\psline(2,1)(17,16)
\psline[linewidth=1.3pt](3,7)(4,8)(6,8)(7,9)(6,10)(5,10)(4,9)(3,10)(3,7)
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(3,13)(5,17)
\psarc{->}(3,10){2}{120}{180}
\uput[dr](5,9){$\mathcal{P}$}
\uput[ul](8,9){O} \uput[dr](7,6){E} \uput[ul](3,13){A}
\uput[ul](5,17){B} \uput[ul](12,11){F }    
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm. 

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(6,4)
\psframe(0,0)(6,4)
\psline(0,4)(4,0) \psline(0,4)(6,2)
\psline(5.8,3.1)(6.2,2.9) \psline(5.8,3.05)(6.2,2.85)
\psline(5.1,0.1)(4.9,-0.1) \psline(5.05,0.1)(4.85,-0.1)
\uput[ul](0,4){A} \uput[ur](6,4){B} \uput[dr](6,0){C} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[r](6,2){M} \uput[d](4,0){N}   
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{M est le point du segment [BC] tel que BM =  2~cm. N est le point du segment [CD]
 tel que CN  = 2~cm.}
 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la longueur AM sous la forme $a\sqrt{b}$ 
($b$ nombre entier le plus petit possible).
\item  Démontrer que l'aire du quadrilatère AMCN est 10~cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(6,4)
\psframe(0,0)(6,4)
\psline(0,4)(5,0) \psline(0,4)(6,3)
\psline(5.8,3.6)(6.2,3.5) \psline(5.8,3.55)(6.2,3.45)
\psline(5.6,0.1)(5.5,-0.1) \psline(5.55,0.1)(5.35,-0.1)
\uput[ul](0,4){A} \uput[ur](6,4){B} \uput[dr](6,0){C} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[r](6,3){$M$} \uput[d](5,0){$N$}   
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{Les points $M$ et $N$ peuvent se déplacer
respectivement sur les segments [BC] et
 [CD] de façon que
 
B$M$ = C$N = x \qquad (0 < x \leqslant 4$).}
 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer l'aire du triangle AB$M$ en fonction de $x$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la longueur D$N$ en fonction de $x$. 
		\item  Démontrer que l'aire du triangle AD$N$ en fonction de $x$ est $2x + 12$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = 
OJ = 1~cm, représenter graphiquement les fonctions
affines :

\[f : x \longmapsto 3x \qquad	\text{et} \qquad	g : x \longmapsto 2x+12. \]

		\item  Calculer les coordonnées du point R, intersection de ces deux représentations.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Pour quelIe valeur de $x$, les aires des triangles 
AB$M$ et AD$N$ sont-elles égales ?

Justifier la réponse.
		\item  Pour cette valeur de $x$, calculer l'aire du quadrilatère A$M$C$N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}