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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupe Nord}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

\Large{ \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Nord juin 2004 \decofourright}}

\vspace{0,25cm}

\normalsize{}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction
  irréductible :
\[\text{A}=\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \dfrac{8}{21}.\]
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt2$, où $a$ est un nombre entier
  :
\[\text{B} =\sqrt{50}-2\sqrt{18}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On donne l'expression $A = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(5x - 7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $A$.
\item Factoriser l'expression $A$.
\item Résoudre l'équation $(2x+3)(7x-4)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{lc r}
x+2y&=&76\\
4x+y&=&115\\
\end{array}
\right.
\]
\item Le responsable du CDI d'un collège voudrait renouveler le stock
  d'atlas et de dictionnaires.
  
Au 1\up{er} trimestre, il commande 1 atlas et 2 dictionnaires. La facture est de 76~\euro.
  
Au  2\up{e} trimestre, les prix n'ont pas changé, il commande 4 atlas et 1 dictionnaire. La facture est de 115~\euro.
\par Quel est le prix d'un atlas ? Quel est le prix d'un dictionnaire  ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Après un contrôle, les notes de 25 élèves ont été regroupées dans le
tableau ci-dessous :

\medskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\text{Notes} $n$&$0\leqslant n<4$&$4\leqslant n<8$&$8\leqslant
n<12$&$12\leqslant n<16$&$16\leqslant n<20$\\\hline
\text{Nombre d'élèves}&1&6&7&&3\\\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau en indiquant le nombre d'élèves ayant
  obtenu une note comprise entre 12 et 16 (16 exclu).
\item Combien d'élèves ont obtenu moins de 12 ?
\item Combien d'élèves ont obtenu au moins 8 ?
\item Quel est le pourcentage des élèves qui ont obtenu une note
  comprise entre 8 et 12 (12 exclu) ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer sur la copie un segment [EF] de longueur 7\,cm et de
  milieu O.

Tracer le cercle de diamètre [EF] puis placer un point G sur le
  cercle tel que $\widehat{\text{FEG}}=26$~\degres.
\item Démontrer que le triangle EFG est rectangle en G.
\item Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au
  millimètre.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{GOF}}$ (justifier votre  réponse).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.6\textwidth}{On considère un cône de révolution semblable à celui représenté ci-contre avec AO~=~2~cm et BO = 3~cm.
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la génératrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
\item Calculer le volume du cône : donner en cm$^3$ la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,3.5)
\psellipse(2.2,1.75)(0.4,1.75) \psline[linestyle=dashed](0.5,1.75)(2.2,1.75)(2.2,3.5)
\psline(2.1,0.1)(0.5,1.75)(2.1,3.4)
\psline(2,1.75)(2,1.95)(2.2,1.95)
\uput[l](0.5,1.75){A} \uput[d](2.2,1.75){O} \uput[u](2.2,3.5){B} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

La figure ci-dessous donne le schéma d'une table à repasser.

Le segment [AD] représente la planche.

Les segments [AB] et [EC] représentent les pieds.

Les droites (AB) et (EC) se coupent en O.

\medskip

\parbox{0.25\textwidth}{On donne :

AD = 125\,cm

AC = 100\,cm

OA = 60\,cm

OB = 72\,cm

OE = 60\,cm

OC = 50\,cm} \hfill \parbox{0.7\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6.5,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,0)
\psline[linewidth=1.8pt](0,3.2)(5.6,3.2)
\psline(0.3,0)(4.4,3.2)
\psline(5.6,0)(0,3.2)
\uput[ul](0,3.2){A} \uput[u](4.4,3.2){C} \uput[ur](5.6,3.2){D} 
\uput[u](2.6,1.8){O} \uput[d](0.3,0){E} \uput[d](5.6,0){B} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\item Montrer que la droite (AC) est parallèle à la droite (EB).
\item Calculer l'écartement EB en cm.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

Dans un repère orthonormal (O ; I, J), on considère les points
A$(-4~;~3)$, B$(3~;~2)$ et C$(1~;~-2)$. L'unité graphique est le centimètre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le repère (O; I, J)
  joint.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur AB.
		\item On admet que le calcul donne AC $=\sqrt{50}$ et
  BC $=\sqrt{20}$. Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\item Soit H le milieu du segment [BC]. Vérifier par le calcul que
  H a pour coordonnées (2 ; 0).
\item Pourquoi le segment [AH] est-il une hauteur du triangle ABC ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que AH = $3\sqrt5$.
		\item Calculer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$.
\item Le point D est l'image du point B par la translation de
  vecteur $\vect{\text{AC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D.
		\item Montrer par le calcul que D a pour coordonnées $(8~;~- 3)$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document} 