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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - 
Nord septembre 2003~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités numériques \hfill12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient A $= \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{5}{4}\right): \dfrac{7}{5},
~ \text{B} = \dfrac{6 \times 10^8 \times 1,6 \times 10^{13}}{0,4 \times 
10^{14}} \quad \text{et}\quad \text{C} = \sqrt{150} - 2\sqrt{600}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A en détaillant les calculs et donner le résultat sous forme
 d'une fraction irréductible.
\item Calculer B en utilisant les règles de calcul sur les puissances de dix
 et donner son écriture scientifique.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{6},~a$ étant un nombre entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $D = (2x + 3)^2 -36$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation : $(2x + 9)(2x -3) = 0$.
\item Calculer la valeur numérique de $D$ pour $x = - 4$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
5x-3y&=&35\\
x+2y&=&- 6\\ 
\end{array}\right. \]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On souhaite représenter la répartition des dépenses mensuelles d'un ménage par un diagramme semi-circulaire.

Sur la feuille \textbf{annexe 1} jointe :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau.
\item Représenter cette série statistique en complétant le diagramme semi-circulaire.
\end{enumerate}

\newpage
	
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chaque ligne du tableau suivant, quatre égalités sont proposées mais
 une seule est correcte. Pour chacune des 5 lignes, indiquer dans le 
tableau figurant sur la \textbf{feuille annexe 1}, la réponse que vous estimez 
être correcte. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\hspace{-0.2cm}{\scriptsize \begin{tabular}{| m{3.5cm}| c | c | c | c | c |}\hline
 && Réponse 1&	Réponse 2&	Réponse 3&	Réponse 4\\ \hline
A, B et C sont trois points d'un cercle de centre O.
\begin{pspicture}(2.5,2.5)
\pscircle(1.25,1.25){1.25} 
\pspolygon(1.25,1.25)(2.4,0.7)(0.05,1.3)(1.5,0.05)
\uput[u](1.25,1.25){O} \uput[l](0.05,1.3){A} 
\uput[dr](1.5,0.05){B} \uput[dr](2.4,0.7){C}
\end{pspicture}&A&$\widehat{\text{BOC}} = 
\frac{1}{2}\widehat{\text{BAC}}$&$\widehat{BOC} = 
 2\widehat{\text{BAC}}$&$\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{OBC}}$&
 $\widehat{\text{ACO}} =  \frac{1}{2}\widehat{\text{ABO}}$\\ \hline
L'angle ASH mesure $60\textsuperscript{o}$
et le rayon du c\^one 5 cm.
\begin{pspicture}(2.5,3.2) \psellipse(1.2,0.7)(1.2,0.65)
\psline(0,0.7)(1.2,3)(2.4,0.7)
\psline(1.2,3)(0.5,0.15) \psline[linestyle=dotted](1.2,3)(1.2,0.7)(0.5,0.1)
\uput[l](0.5,0.2){A} \uput[r](1.2,0.7){H} \uput[r](1.2,3){S}\end{pspicture}
&B&AS =$ \dfrac{5}{\sin 60\textsuperscript{o}}$&AS =  $5 \times \sin 60\textsuperscript{o} $& AS $= \dfrac{5}{\cos 60\textsuperscript{o}}$& AS =$5 \times \tan 60\textsuperscript{o}$\\ \hline 
Si ABCD est un parallélogramme, alors 
:&C&$\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} = 
\overrightarrow{\text{CA}}$& $\overrightarrow{\text{AB}} + 
\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BD}}$& 
$\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{BC}} = 
\overrightarrow{\text{AB}}$&$\overrightarrow{\text{AB}} + 
\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AC}}$\\ \hline
\begin{pspicture}(3.6,3.7) \pspolygon(0,0.4)(2.4,0)(3.45,1.55)(1.7,3.6)
\psline(1.7,3.6)(2.4,0)
\psline[linestyle=dotted](0,0.4)(1.1,1.9)(1.7,3.6)(1.7,1)%AHSO
\psline[linestyle=dotted](1.1,1.9)(3.45,1.55)(0,0.4)(2.4,0)(1.1,1.9)%HGEFH
\uput[ul](0,0.4){E} \uput[ul](2.4,0){F} 
\uput[ur](3.45,1.55){G}  \uput[ul](1.1,1.9){H} 
\uput[ul](1.7,1){O} \uput[l](1.7,3.6){S} \end{pspicture}&D&SO$^2$ = SF$^2$ + 
FO$^2$& SO$^2$ = SF$^2$- OF$^2$& SF$^2$ = SO$^2$-OF$^2$& SO$^2$=OF$^2$+ SF$^2$\\ \cline{2-6}
SEFGH est une pyramide régulière à base carrée,
SO = 5 cm,
EF = 6cm. 
V est le volume (en cm$^3$) de
cette pyramide.&E &V = 180 cm$^3$&	V= 120 cm$^3$&V = 60 cm$^3$&V= 
36$\pi$cm$^3$\\ \hline
\end{tabular}}
\newpage

\textbf{Exercice 2}

\medskip
On considère la figure ci-dessous. (on ne demande pas de refaire la figure)

\bigskip
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(14,4)
\psline(1.3,2.65)(12.5,0.9) \psline(0.7,0.5)(13.8,4)
\psline(1,0.3)(2.25,3.4) \psline(2.5,0.2)(3.45,2.7)
\psline(9.8,0.65)(10.95,3.3)
\uput[u](1.9,2.6){L} \uput[ul](3.3,2.4){M}
\uput[u](6,2){O} \uput[dr](9.85,1.3){A}
\uput[ul](11,3.3){B} \uput[dr](2.85,1.1){N}
\uput[dr](0.7,0.7){F} 
\end{pspicture} 

L'unité est le centimètre. On sait que OM = 3 ; OA = 5 ;
ON = 4,5 ; AB = 3 et $\widehat{\text{BOA}} = 30\degres$.
 
Les droites (MN) et (BA) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OB et MN.
\item On appelle P le pied de la hauteur issue de A dans le triangle OAB.

En se plaçant dans le triangle OAP, montrer par un calcul que AP = 2,5.
\item Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{PAB}}$.
\item On suppose que OE = 4,8 et OF = 7,2.

Démontrer que les droites (EF) et (MN) sont parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME	\hfill 12 points}

\bigskip

L'unité est le centimètre. Le plan est rapporté \`a un repère orthonormé                         
(O, I, J).

Dans ce repère, on a placé les points A $(4~;~-3)$ et C$(2~;~8)$ (voir
feuille annexe).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par le calcul, montrer que AC $= \sqrt{125}$.
\item Placer le point B$(-2~;~5)$.
\item On donne AB  = 10 et BC = 5.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
		\item En déduire la position du point K, centre du cercle ($\mathcal{C}$) circonscrit au 
triangle ABC puis tracer ($\mathcal{C}$). Justifier.
		\item Calculer les coordonnées du point K et vérifier graphiquement.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{CB}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D, image du point A par la translation de 
vecteur $\overrightarrow{\text{CB}}$.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ACBD. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point B$'$ symétrique du point B par rapport à K.
		\item Trouver graphiquement les coordonnées du point B$'$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCB$'$ ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du quadrilatère ABCB$'$ et $\mathcal{A}'$ celle du quadrilatère ACBD.

En calculant les aires montrer que : $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$.
		\item On note $\mathcal{P}$ le périmètre du quadrilatère ABCB$'$ et $\mathcal{P}'$ celui du quadrilatère ACBD.
 
Prouver que : $\mathcal{P} < \mathcal{P}'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE 1} (à rendre avec la copie)\end{center}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Activités numériques : exercice 4}
    
\textbf{Tableau à   compléter}
    
\begin{center}{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|m{1.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 & Alimentation & Logement & Santé & Loisirs & Transport & Divers & 
 Total\\ \hline
 Répartition en pourcentage & ~~~~~20 & &10 & 5 & 15 & 25 & 100\\
\hline
Angle en degré & & & & & & & 180\\ \hline
\end{tabularx}} \end{center}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Diagramme semi-circulaire à compléter}
    
\begin{center}   
\begin{pspicture}(10,5)
\psarc(5,0){5}{0}{180}
\psline(0,0)(10,0)
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0,7cm}
    
\textbf{Activités géométriques : exercice 1}
    
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Questions 					&A 	&B 	&C 	&D 	&E\\ \hline
Numéro de la réponse choisie& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}  
\end{center} 
\end{document}