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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Tous les étapes des calculs suivants seront détaillées sur la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{7} \times \dfrac{5}{3}$.

Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item B$  = 5\sqrt{3} +  \sqrt{48} - 3\sqrt{75}$.

Calculer B et donner le résultat sous forme $a\sqrt{b}$ où  $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\item C $ = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times7\times 10^8}{15 \times 10^{-3} \times 8 \times 10^5}$.

Calculer C et donner le résultat en écriture scientifique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = (x - 4)^2 + (x - 4) (2x + 6).$
\begin{enumerate}
\item  Développer $D$.
\item  Factoriser $D$.
\item  Résoudre l'équation $(x - 4) (3x + 2) =  0$.
\item  Calculer $D$ pour $x =  - 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le PGCD de \nombre{1911} et de \nombre{2499} en précisant la méthode utilisée.
\item  Écrire sous forme irréductible la fraction $\dfrac{\nombre{2499}}{\nombre{1911}}$ (on indiquera le detail des calculs).
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Lors d'un contrôle, un groupe d'élèves de 3\up{e}~B a obtenu les notes suivantes

	\[6 - 7 - 7 - 3 - 9 - 9 - 9 - 10 - 12 -  12 - 13 - 14 - 15\]

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'étendue des notes ?
\item  Quelle est la moyenne des notes, arrondie au dixième de point ? 
\item  Quelle est la note médiane ?	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}

On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la reproduire.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6)
\pspolygon(0,1.2)(0,0)(10.6,5.5)(10.6,1.2)%EDFGE
\psline(6.2,1.2)(6.2,3.25)%CB
\uput[u](2.3,1.2){A}  \uput[u](6.2,3.25){B}   
\uput[d](6.2,1.2){C}  
\uput[dl](0,0){D}\uput[l](0,1.2){E}   
\uput[ul](10.6,5.5){F}\uput[dr](10.6,1.2){G}
\psframe(0,1)(0.2,1.2)
\psframe(6,1.4)(6.2,1.2)     
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On donne AB = 12 ; AC = 9,6 ; AD = 6,5 ; BC = 7,2 ; BF = 10,5 ; AG =  18.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer AE. 
\item  Calculer $\tan \widehat{\text{BAC}}$, puis donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au degré.	
\item  Démontrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire $\mathcal{F}_{1}$, sur la figure ci-dessous, le symétrique de la figure $\mathcal{F}$ par rapport à la droite $d$.
\item  Construire $\mathcal{F}_{2}$ sur la figure ci-dessous, le symétrique de la figure $\mathcal{F}$ par rapport au point O. 
\item  Construire sur la figure ci-dessous, l'image de la figure $\mathcal{F}$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. 
\item  Construire $\mathcal{F}_{4}$, sur la figure ci-dessous, l'image de la figure $\mathcal{F}$ par la rotation de centre C, d'angle 90\up{$\circ$} dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit= 0.75cm}
\begin{pspicture}(16,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(16,16)
\psline(0.5,7.5)(9,16)
\psline(8,11)(7,8)(6,11)
\psarc(7,11){1}{0}{180}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6,6)(8,6)(9,6)(12,8)
\uput[dr](6,6){A}  \uput[dr](8,6){O}  \uput[dr](9,6){C}  
\uput[dr](12,8){B}  \uput[ul](1,8){$d$}  \uput[u](7,10){$\mathcal{F}$}  
\end{pspicture}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

On considère les points
\begin{center}A$(- 1~;~3)$ ; B(3~;~6) ; C(3~;~1). \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A, B et C. 
\item  Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AC]. 
\item  Montrer que AB = 5 et BM $= 2\sqrt{5}$.
\item  On donne AM = 5, montrer que le triangle ABM est rectangle.
\item  Construire le point D tel que MD = BM.

Que représente le point M pour le segment [BD] ?

En déduire la nature exacte du quadrilatère ABCD. 
\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}_{\text{ABM}}$ du triangle ABM, en déduire l'aire $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ du quadrilatère ABCD.
\item  Placer le point F de coordonnées (7 ; 4). Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et  $\vect{\text{BE}}$.\\
En déduire la nature exacte du quadrilatère ABFC. Justifier. 
\item  Construire le point E tel que E soit l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{MA}}$.

Démontrer que le quadrilatère AMBE est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document} 