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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupe Nord}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Nord septembre 2004 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 Calculer A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{8}{3} \times \dfrac{5}{2}$.
\item Donner l'écriture scientifique de B $ = \dfrac{5 \times 10^{-8}  \times  36 \times10^4}{15 \times 10^5}$.
	\item Soit C $=\sqrt{18} - 3 \sqrt{50}$.

Écrire C sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un nombre entier relatif. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On considère l'expression $F = (2x + 3)(5 - x) - (2x + 3)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$. 
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 3) (2 - 3x) = 0$. 
\item Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x = 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :	$\left\{\begin{array}{l c l}
x + 2y& =& 3\\
3x+8y& =& 10,9\\
\end{array}\right.$
\item Avec 3 euros, un achète 1 pain au chocolat et 2 croissants. Avec 10,90 euros, on achète 3 pains au chocolat et 8 croissants.

Calculer le prix d'un pain au chocolat et celui d'un croissant.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Les nombres 133 et 185 sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O I, J), placer les points A(5~;~1 ) ;  B$(-2~;~2)$~;~  C(2~;~5).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AB et BC.
		\item On donne AC = 5. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\item Soit le point E symétrique du point A par rapport au point C et soit le point F symétrique du point B par rapport au point C. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points E et F. 
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABEF ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\parbox{0.6\textwidth}{Soit le triangle AHO rectangle en H tel que
AH = 3,2 cm et OH = 6 cm.

\emph{Sur le dessin, les dimensions ne sont pas
respectées.}} \hfill 
\parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.5,4)
\pspolygon(0.5,0)(3.5,0)(3.5,4) \psframe(3.3,0)(3.5,0.2)
\uput[d](0.5,0){A} \uput[d](3.5,0){H} \uput[ul](3.5,4){O} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,3cm}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ arrondie au degré près.
\item On se place dans l'espace et on fait tourner ce triangle autour de l'axe [OH], en lui faisant faire un tour complet. On obtient ainsi un cône de hauteur OH et de rayon de base AH. \begin{enumerate}\item Calculer le volume V (en cm$^3$) de ce cône. (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.)
\item On considère une réduction de ce cône, à l'échelle $\dfrac{1}{2}$.
Exprimer le volume V$'$ du cône réduit en fonction de V. En déduire que la valeur de V$'$ arrondie à l'unité est 8 cm$^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle RST rectangle en R tel que ST = 8 cm et RT = 4,8 cm.
\item Montrer par un calcul que RS = 6,4 cm.
\item Sur la demi-droite [RT), placer le point U tel que : RU = 6 cm.

Sur la demi-droite [RS), placer le point V tel que : RV = 8 cm.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (TS) et (UV) sont parallèles. 
		\item Calculer UV.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Première partie}

Le ciné-club du village propose deux tarifs pour l'année 2004. Ils sont décrits ci-dessous :

\hrulefill
\begin{center}TARIFS 2004\end{center}
$\bullet~$ Tarif A : une carte d'adhésion pour l'année coûtant 25 euros, puis 1,50 euro par séance ;

$\bullet~$  Tarif B : 5 euros par séance sans carte d'adhésion.

\hrulefill

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chaque tarif, le prix payé pour 8 séances achetées en 2004. 
\item On appelle $x$ le nombre de séances achetées en 2004.

 Exprimer en fonction de $x$ le prix payé avec le tarif A, puis avec le tarif B. 
\item Vincent a payé 40 euros avec le tarif A. Vérifier qu'il a assisté à 10 séances. 
\item Quel est le nombre maximum de séances pour lequel le prix payé avec le tarif B est inférieur au prix payé avec le tarif A. 
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal où les unités sont les suivantes :

$\bullet~$ sur l'axe des abscisses, 1 cm représente une unité ;

$\bullet~$ sur l'axe des ordonnées, 2 cm représentent dix unités. 
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce repère, tracer :

$\bullet~$ la droite $\mathcal{D}_{1}$ représentation graphique de la fonction linéaire $x \longmapsto  5x$ ;

$\bullet~$ la droite $\mathcal{D}_{2}$ représentation graphique de la fonction affine $x \longmapsto  1,5x + 25$. 
		\item Vérifier graphiquement la réponse obtenue à la question \textbf{4} en faisant apparaître les pointillés utiles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

En 2003, le gérant du ciné-club a fait une enquête auprès de ses clients en leur posant la question : \og Combien de films avez-vous vu au ciné-club cette année ? \fg. Voici le résultat de l'enquête : 

\vspace{0,3cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de films vus	&	4	&	5	&	6	&	7	&	8\\ \hline
Nombre de réponses	&	54	&	62	&	48	&	14	&	18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,3cm}

\begin{enumerate}
\item Combien le gérant a-t-il obtenu de réponses à son enquête ?
\item Parmi les personnes qui ont répondu à l'enquête : 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage des personnes qui ont vu 6 films (donner le résultat arrondi au dixième) 
		\item Quel est le nombre de personnes qui ont vu au moins 7 films pendant l'année ?
	\end{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de la moyenne, arrondie à l'unité, du nombre de films vus par les personnes qui ont répondu à l'enquête.
\end{enumerate}
\end{document}