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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Ouest septembre 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression :
\[\text{A} = (x - 5)^2 + (2x + 3)(x - 5).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A
\item Factoriser A.
\item Calculer A pour $x = 3$.
\item Résoudre l'équation $(x - 5)(3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres :

\[\text{B} = \dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{10}~;~\text{C} = 3\sqrt{75} - 2 \sqrt{108}~;~\text{D} = \dfrac{4,2 \times 10^5}{3 \times 10^8}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer B et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{3}$, où $a$ est un nombre entier.
\item Donner l'écriture scientifique de D.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=&20\\
3x - 4y&=&11\\
\end{array}\right.\]
\item Fred a joué $20$ parties d'un jeu dont la règle est la suivante :
\begin{itemize}
\item il n'y a pas de partie nulle ;
\item si on gagne une partie, on gagne $3$ euros, 
\item si on perd une partie, on perd $4$ euros
\end{itemize}
À la fin des $20$ parties jouées, Fred a gagné 11 euros.

Combien Fred a t-il perdu de parties ?

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

ABCDHGFE est un cube d'arête 6~cm.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.6,0)(4.1,3.7)(0,2.6)
\psline(0,2.6)(0,0)(2.6,0)(4.1,1.1)(4.1,3.7)(2.6,2.6)(2.6,0)%AEFGCBF
\psline(2.6,2.6)(0,2.6)(1.5,3.7)(4.1,3.7)(0,2.6)%BADCA
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.5,1.1)(1.5,3.7)%EHD
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.1)(4.1,1.1)%HG
\uput[l](0,2.6){A}  \uput[dr](2.6,2.6){B}  \uput[ur](4.1,3.7){C}  \uput[ul](1.5,3.7){D} 
\uput[dl](0,0){E}  \uput[d](2.6,0){F}  \uput[r](4.1,1.1){G}  \uput[l](1.5,1.1){H}   
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire en vraie grandeur le carré ABCD avec sa diagonale [AC].
		\item  Construire le triangle ACF en vraie grandeur.
	\end{enumerate}
\item Calculer AC. 	
\item  La pyramide ABFC a pour base ABF et pour hauteur le segment [BC].
Calculer son volume. 
\item  Est-il vrai que le volume de la pyramide ABFC est égal à 18\:\%
  de celui du cube ? Justifier. 
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\emph{Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
%\psgrid
\psline(0,1.5)(9.7,0.3)
\psline(0.2,4.3)(9.8,3.1)
\psline(1.4,0.6)(8.6,3.8)
\psline(5.3,4.4)(6.4,0)
\uput[d](0.8,1.4){N}  \uput[d](2.65,1.2){J}  
\uput[dl](6.2,0.75){K}
\uput[dl](5.8,2.55){I}  \uput[ul](5.5,3.65){L}  
\uput[u](7.65,3.4){M}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.8,1.4) 
\rput(5.3,3.2){4} \rput(6.3,1.6){6} 
\rput(1.5,1.1){6} \rput(4.4,0.7){9} 
\rput(4,2){7,5}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
Les droites (LM) et (JK) sont parallèles.

Les droites (LK) et (MJ) sont sécantes en I.

On donne : IL = 4 ; 1K = 6 ; IJ = 7,5 ; KJ = 9 et NJ = 6.

\emph{Il n'est pas demandé de refaire la figure.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer IM.	
\item  Les droites (LN) et (IJ) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\emph{Pour tout le problème, on utilisera le repère orthonormé} (O ; I, J)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point A$(- 6~;~8)$. 	
		\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AO], 
		\item Placer le point M et construire le cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AO].
		\item Calculer la distance AO.
		
En déduire le  rayon   du cercle $\mathcal{C}$.  
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point N(1 ; 1).
		\item  Calculer MN.
		\item  Déduire de la question précédente que le point N appartient  
 au cercle $\mathcal{C}$.
		\item  En déduire, que le triangle OAN est rectangle en N.
		\item  Construire le point B, symétrique du  point O par rapport au point N.
		\item  Lire les coordonnées du point B.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point C tel que

\[\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}}.\]
		\item  Calculer les coordonnées du vecteur  $\vect{\text{AB}}$.
		\item  En  déduire les coordonnées du point C.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que ABCO est un losange.
\end{enumerate}
\end{document} 