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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{septembre 2003}}
\rfoot{\small{Groupe Ouest}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Ouest septembre 2003 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD  des nombres \nombre{1356} et \nombre{4972}.
 
(\emph{Faire apparaître les calculs intermédiaires sur  la copie.})
\item Donner la forme irréductible de la fraction $\dfrac{\nombre{1356}}{\nombre{4972}}$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

On a : A $= \dfrac{1 - \dfrac{5}{6}}{1 + \dfrac{1}{6}}$ ;  \qquad	B $ = \dfrac{4 \times 10^{-12} \times 2,5}{7 \times 10^{-11}}$.

Démontrer que A et B sont deux écritures du même nombre $\dfrac{1}{7}$.
	
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

On donne l'expression $E =  (5x + 1)^2  - (x - 3)(5x + 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser l'expression $E$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation : $(5x  + 1)(x + 1) =  0$.
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

Lors d'un travail en classe en octobre 2002, des élèves de troisième ont
	étudié le nombre d'universités françaises par académie.  Ils ont récupéré sur internet le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Caractère étudié : 	Nombre d'universités par académie	& 0	&\textbf{1}	&2	&3	&4	&5	& 6	&7	& 8\\ \hline
Effectifs : nombre d'académies&2 	&\textbf{5}&9	& 1	& 5	&6	&1	&0	&1	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Par exemple, on lit dans la deuxième colonne du tableau (en gras) que cinq académies possèdent une seule université.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur moyenne  du nombre d'universités par académie ?
\item Donner la valeur médiane de la série statistique ci-dessus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}}

\medskip

On donne la représentation graphique ($d$) d'une fonction affine $g$ dans le repère orthonormé (O ; I,  J) :

En  utilisant le graphique, donner une valeur approchée au dixième près :
 
\medskip

\parbox{0.5\textwidth}{
\begin{enumerate}\item de l'image du nombre 1 par la fonction affine $g$.
\item de l'image du nombre $(- 0,5)$ par la fonction affine $g$
\item du nombre qui a pour image $0$ par la fonction affine $g$. 
\item du nombre qui a pour image $\dfrac{1}{3}$ par la fonction affine $g$.
 \end{enumerate}} \hfill
 \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-2,-0.5)(2.2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.2,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-0.5)(2.2,2)
\psline(-2,2.05)(2.2,-0.35) \uput[ul](0,1){J} \uput[dr](1,0){I} \uput[u](1.8,0){($d$)} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle DOS tel que DS  = DO = 6 et $\widehat{\text{ODS}}  = 120~\degres$.

Quelle est la nature du triangle DOS ? Justifier. 
\item Dans le triangle DOS, tracer la hauteur issue de D. Elle coupe [OS]
en H.

On donne le tableau suivant :

\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&$\sin x$&$\cos x$ 		&$\tan x$\\ \hline
30~\degres	&$\dfrac{1}{2}$	&$\mathstrut\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\strut\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline
45~\degres	&$\strut\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$&1\\ \hline
60~\degres	&$\strut \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$& $\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\renewcommand{\arraystretch}{1}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de OH. 
		\item En déduire que OS $=  6\sqrt{3}$ .
	\end{enumerate}
\item Placer le point M de [DS] tel que SM = 5. Tracer la parallèle à  (OS)
passant par M ;  elle coupe [DO]  en N. Calculer la valeur exacte de MN.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Dans le fond d'un vieux tiroir, on a trouvé la bobine en bois ci-dessous (figure B). Elle est constituée de deux troncs de cône identiques et d'une partie cylindrique. Chaque tronc de cône pourrait être obtenu (figure A) en sectionnant, parallèlement à sa base et à 1 cm de hauteur, un grand cône C$_{1}$ de base 9 cm$^2$ et de hauteur 3~cm et en retirant le petit cône C$_{2}$.

\begin{center}\begin{pspicture}(10,4)
\psellipse(3.4,0.9)(1,0.2)
 \psellipse[linestyle=dashed](3.4,1.4)(0.7,0.1)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.4)(3.4,2.7)(4.1,1.4)
\psline(2.4,0.9)(2.7,1.4) \psline(4.4,0.9)(4.1,1.4)%A
\psline(7.4,3.5)(7.7,3)(7.7,1.4)(7.4,0.9)
\psline(9.4,3.5)(9.1,3)(9.1,1.4)(9.4,0.9)
\psellipse(8.4,3.5)(1,0.25)
\psellipse[linestyle=dashed](8.4,3)(0.7,0.1)
\psellipse[linestyle=dashed](8.4,1.4)(0.7,0.1)
\psellipse(8.4,0.9)(1,0.25)
\psline[linestyle=dotted](1.5,2.7)(4,2.7)
\psline[linestyle=dotted](1.5,0.9)(2.4,0.9)
\psline[linestyle=dotted](4,1.4)(9.1,1.4)
\psline[linestyle=dotted](4.4,0.9)(7.4,0.9)
\psline{<->}(5.8,3.5)(5.8,3)
\psline{<->}(5.8,1.4)(5.8,3)
\psline{<->}(5.8,1.4)(5.8,0.9)
\rput(6.3,1.1){1 cm} \rput(6.3,2.2){3 cm} \rput(6.3,3.2){1 cm} 
\rput(4.6,2){Cône C$_{2}$}
\rput(0.5,1.7){Cône C$_{1}$}
\rput(3.3,0){Figure A} \rput(8.4,0){Figure B}
\psline{<->}(1.7,0.9)(1.7,2.7)\rput(2.2,1.8){3 cm}
\psline[linestyle=dotted](5.8,3.5)(7.4,3.5)
\psline[linestyle=dotted](5.8,3)(7.7,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est le volume du cône C$_{1}$ ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du cône C$_{1}$ au cône C$_{2}$ ? 
		\item En déduire l'aire de la base du cône C$_{2}$, puis le volume de la partie cylindrique de la bobine. 
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le volume de la bobine (en donner une valeur arrondie au cm$^3$ près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

ABCD est  un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires  et se coupent en O.

\medskip

\parbox{0.35\textwidth}{On a :

AC = 20,4 cm

AO = 12 cm

OB = 5 cm

OD = 3,5 cm.}
\hfill
\parbox{0.6\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3.5)
\psline(0,3.2)(4.1,3)(4.5,0)(2,0)(4.1,3)%ABCDB
\psline(2,0)(0,3.2)(4.5,0)
\psline(2.72,1.28)(2.8,1.4)(2.92,1.3)
\uput[l](0,3.2){A} \uput[r](4.1,3){B} \uput[r](4.5,0){C} 
\uput[l](2,0){D} \uput[d](2.8,1.2){O} \end{pspicture}} 


\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$ arrondie au dixième de degré.
		
En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$.
	\end{enumerate}	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle AOB.
		\item Calculer la longueur AB.
		\item Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par O. Elle coupe [AB] en P et [DC] en N. Des questions \textbf{3 a} et \textbf{3 b} déduire la valeur exacte de la longueur AB.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la même démarche que dans la question \textbf{3} on  trouve :
AD = 12,5 cm ; DC = 9,1 cm ; BC =  9,8 cm (valeur arrondie au mm) ;
ON $ = \dfrac{42}{13}$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur arrondie au millimètre du périmètre du  quadrilatère ABCD.	
		\item Montrer que l'aire du quadrilatère ABCD est 86,7~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fabrique des boîtes cartonnées qui ont la forme d'un prisme droit dont  chacune des deux bases est le quadrilatère ABCD étudié dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire un schéma à main levée qui représente une telle boîte en perspective cavalière et repérer par des couleurs les arêtes parallèles. 	
\item La hauteur de la boîte est 13 cm.

Calculer l'aire totale du carton utilisé pour fabriquer la boîte. 	
\end{enumerate}
\end{document} 