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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2001}}
\rfoot{\small{Paris}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Paris  
  septembre 2001 \decofourright}}}
  
\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit A $= \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \dfrac{5}{14}$ \qquad B $ = 
\dfrac{5 \times 10^{2000}}{20 \times 10^{2001}}$ \qquad C $ = \dfrac{ 5,1 
\times 10^2 - 270 \times 10^{-1}}{4,83 \times 10^2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et mettre le résultat sous la forme d'une fraction 
irréductible.

\item Calculer B et donner l'écriture scientifique du résultat.

\item Démontrer que C est un nombre entier.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit D $ = \sqrt{20} + 3\sqrt{5} - 4 \sqrt{45}$ \qquad E $ = \sqrt{15} \times \sqrt{48}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre D sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.
\item Mettre E sous la forme $b\sqrt{5}$ où $b$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $F = (3x+1)^2 + (3x+1)(5x-4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 1)(8x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Je suis capitaine d'un navire et j'ai 11 matelots à mon bord.

Mon âge est la moyenne des âges des matelots.

Ma pointure est la médiane des pointures des matelots.

Voici la liste des 11 matelots

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prénoms	&Âges 	&Pointures\\ \hline
Ali 	&20		&	44\\ \hline
Billy	&25		&	43\\ \hline
Carlos	&18		&	41\\ \hline
Djamel	&26		&	39\\ \hline
Emile	&49		&	45\\ \hline
Franck	&41		&	43\\ \hline
Gustave	&57		&	41\\ \hline
Henri	&34		&	44\\ \hline
Igor	&19		&	39\\ \hline
Jules	&52		&	43\\ \hline
Kévin	&22		&	42\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Trouver mon âge et ma pointure. Justifier les réponses.

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill	12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox[l]{0,45\textwidth}{Michel s'est reculé pour mieux admirer
 un monument en entier.
  
Il se trouve maintenant à 88 m de celui-ci et l'angle entre l'horizontale de
 ses yeux et le haut du monument est de $37\up{o}$
(schéma ci-contre).

Sachant que les yeux de Michel sont à 1,69 m du sol, calculer la 
longueur AC (arrondir à 0,01 m près).} \hfill
\parbox[r]{0,45\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0,0.5)(5.5,0.5)(5.5,5.5)(0,1)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(5.5,1)
\psline{<->}(0,0)(5.5,0)
\psline(5.5,0.5)(6,0.5) \psline(5.5,1)(6,1)
\psline{<->}(6,0.5)(6,1)
\psframe(0,0.5)(0.3,0.8) \psframe(5.5,0.5)(5.2,0.2) \psframe(5.5,1)(5.2,1.3)
\uput[ul](0,1){O} \uput[r](5.5,5.5){A}
\uput[ur](5.5,1){B} \uput[dr](5.5,0.5){C}
\uput[ur](1.2,1){$37\up{o}$}
\uput[u](2.75,0){88 m}
\rput{90}(5.8,0.7){\footnotesize 1,69 m}
\pscurve(-0.6,1.2)(-0.8,1.1)(-1,1)(-0.8,0.9)(-0.6,0.8)
\qdisk(-0.7,1){3pt}
\end{pspicture}}

\bigskip 

Voici une liste de monuments connus et leurs hauteurs 
respectives :

\begin{center}
 \begin{tabular}{l l l r}
Acropole d'Athènes	&50 m&Panthéon&	80 m\\
Arc de triomphe de l'étoile	&49,55 m&Pyramide de Kheops&138 m\\
Notre Dame de Paris&68 m&Basilique St Pierre de Rome&45 m\\
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

De quel monument peut-il s'agir ?

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox[l]{0,45\textwidth}{Sur la figure ci-contre :

A est le point d'intersection de [BF] et de [CE].

On a AB = 4,2 cm ; AC = 5,6cm ; BC 7 cm ;
AE = 9,2 cm et AF = 6,9 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles?
Justifier votre réponse.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[l]{0,45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6,5)
\pspolygon(0,0)(5.7,0)(3.4,4.4)(5.9,4.4)
\uput[ul](0,0){E} \uput[r](5.7,0){F} \uput[l](3.4,4.4){B} 
\uput[r](5.9,4.4){C} \uput[r](3.8,2.7){A} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
Sur la feuille annexe :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le symétrique D$_2$ du drapeau D$_1$ par rapport au point O.
\item Tracer le symétrique D$_3$ du drapeau D$_1$ par rapport à la droite (HE).
\item Tracer l'image D$_4$ du drapeau D$_1$ par la translation de vecteur 
$\vect{\text{FG}}$.
\item Tracer l'image D$_5$ du drapeau D$_1$ par la rotation de centre O, d'angle  $90\up{o}$, dans le sens de la flèche.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

La figure est commencée au verso de la feuille annexe. La compléter au 
fur et à mesure des questions.

ABC est un triangle tel que AB =  5 cm et BC =  7,5 cm.

D est le point du segment [AB] tel que AD = 2 cm.

La parallèle à la droite (BC) passant par D coupe le segment [AC] en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Démontrer que DE =  3 cm.
		\item En déduire que le triangle BDE est isocèle.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Justifier que les angles $\widehat{\text{DEB}}$ et 
$\widehat{\text{EBC}}$ sont égaux.
		\item En déduire que la demi-droite [BE) est la bissectrice de l'angle 
$\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F tel que 
$\vect{\text{BF}} = \vect{\text{DE}}$.
		\item Démontrer que le quadrilatère BDEF est un losange.
		\item On note I le centre du losange BDEF.

Démontrer que le triangle BDI est rectangle.
	\end{enumerate}
\item Dans le triangle ABC, on a $\widehat{\text{ABC}} =  
60\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur de [DF] ? Justifier.
		\item Calculer la valeur exacte de BI, et en déduire celle de BE.
		\item Calculer l'aire du losange BDEF.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(9,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-6,-8)(9,7)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,3)(2,3)(0,2)
\def\croix{\psline[linewidth=1.5pt](-0.2,0)(0.2,0) \psline[linewidth=1.5pt](0,-0.2)(0,0.2)}
\rput{45}(0,0){\croix} \rput{45}(1,-1){\croix} 
\rput{45}(-1,3){\croix} \rput{45}(1,4){\croix} 
\rput{45}(4,2){\croix} 
\uput[ul](-1,3){F} \uput[ur](1,4){G} 
\uput[ul](4,2){E} \uput[ul](1,-1){H} 
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](0.3,3){D$_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{PROBLÈME}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(0,0)(7.5,0)(2.6,4.3)
\qdisk(1.55,2.55){2pt}
\uput[ul](0,0){B} \uput[u](2.6,4.3){A} 
\uput[ur](7.5,0){C} \uput[ul](1.55,2.55){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%% Fin Paris septembre 2001
\end{document}