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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet}
\lfoot{\small{juin 2003}} 
\rfoot{\small{Polynésie}} 
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2003 \decofourright\\ 
Polynésie}}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie numérique}

\textbf{Exercice 1 }

\emph{Chaque question est indépendante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A ; donner le résultat de A sous la forme
simplifiée :

\[\text{A} =3-\dfrac{15}{9} \times \dfrac{12}{5}.\]

\item Écrire B sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des
entiers, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{B}=2\sqrt{45}-5\sqrt{20}-\sqrt{80}.\]

\item Calculer C et donner son écriture scientifique et son écriture
décimale :

\[\text{C}=\dfrac{14 \times 10^{2} \times 75 \times 10^{-7}}{35 \times 10^{-3}}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression :

$D=\left(2x - 3 \right) \left(3x - 1 \right) +\left(2x - 3 \right)^{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = \sqrt 2$ ; écrire la réponse sous la forme
$a - b\sqrt{c}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers.
\item Résoudre l'équation
$\left(2x-3 \right) \left(5x-4 \right)=0$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit la fraction $\text{E}=\dfrac{108}{288}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pourquoi la fraction E n'est-elle pas irréductible ? Justifier
sans faire de calcul.
\item Calculer le PGCD de $108$ et $288$.
\item Écrire la fraction E sous forme irréductible.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie géométrique}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC tel que AB = 7,5 cm, BC = 10 cm et
AC = 12,5 cm.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item $M$ est un point du segment $[BC]$ tel que B$M$ = 4 cm. Placer le
point $M$ et construire la droite $(d)$ parallèle  la droite (AC)
passant par $M$. la droite $(d)$ coupe [AB] au point $N$.
\item Calculer B$N$ et $MN$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox[c]{0.3\textwidth}{
\begin{pspicture}(0,-1)(4,4.5)
\psline(0,0)(2,4.5)(4,0)
\psellipse(2,0)(2,0.3)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(4,0)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,4.5)
\uput[ul](2,4.5){S} \uput[l](0,0){A} \uput[d](2,0){O} \uput[r](4,0){B}
\end{pspicture}}\hfill \parbox[c]{0.6\textwidth}{Soit SAB un cône de révolution, S étant le sommet du cône. Sa base est un disque de diamètre [AB] et de centre O. Sa hauteur est
[SO].

On donne AB = 4cm et SO = 4,5cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cône et donner une valeur arrondie au
cm$^{3}$ près.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{ASO}}$ et donner une valeur arrondie
au degré près.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,5)
\psframe(5,5)
\psline(0,0)(5,5) \psline(0,5)(5,0) 
\psline(0,2.5)(5,2.5) \psline(2.5,0)(2.5,5) 
\uput[ul](0,5){A} \uput[u](2.5,5){M} \uput[ur](5,5){B} 
\uput[l](0,2.5){L} \uput[dl](2.5,2.5){O} \uput[r](5,2.5){N} 
\uput[dl](0,0){D} \uput[d](2.5,0){P} \uput[dr](5,0){C} 
\end{pspicture}
\end{center}


Le schéma ci-dessus représente un carré ABCD dont les diagonales se
coupent en O. Les points M, N, P et L sont les milieux
respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [AD].

Répondre aux questions suivantes sans justifier :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le symétrique du triangle AOM par rapport  la droite
(LN) ?
\item Quel est le symétrique du triangle AOM par rapport au point
O ?
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $90¡$ dans le
sens des aiguilles d'une montre. Quelle est l'image du triangle AOM
par cette rotation ?
\item Recopier et compléter les égalités vectorielles suivantes :

\[\vect{\text{PO}}+\vect{\text{OC}} = \ldots \qquad \qquad
\vect{\text{AM}} + \vect{\text{OC}} = \ldots\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), l'unité choisie est le 
centimètre. Penser à laisser de la place autour du repre pour complèter la figure au 
fur et  mesure que vous traiterez le problème.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points : M(1~;~3) ; N$(-1~;~5)$ ; P$(-3~;~1)$.
\item Montrer que MN = $2\sqrt{2}$ et NP = $2\sqrt{5}$.
\item En déduire la nature du triangle NMP.
\item Soit A le milieu de [MN].
Montrer, sans calcul, que le triangle APN est rectangle.
\item Calculer les coordonnées de A.
\item Construire le point R tel que $\vect{\text{MR}} = 
\vect{\text{PN}}$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{PN}}$.
\item Déduire des questions \textbf{6.} et \textbf{7.} les coordonnées du 
point R.
\end{enumerate}
\end{document}