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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{juin 2002}}
\rfoot{\small{Polynésie}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie 
  juin 2002~\decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Tous les exercices sont indépendants.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne :

\[\text{A} = 2 - \dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{15} \qquad 	\text{B} = \dfrac{7 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^4}{6 \times 10^{-4}}.\]

Calculer A et B en détaillant les calculs.

Donner le résultat de A sous la forme d'une fraction la plus simple possible et le résultat de B en écriture scientifique.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression : C $= 4\sqrt{3} - \sqrt{75}  + 2\sqrt{48}$.

Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression : $D =  (3x - 2)^2 - 25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$.
\item  Factoriser $D$.
\item  Calculer $D$ pour $x = \sqrt{3}$.
\item  Résoudre l'équation-produit : $(3x + 3) (3x - 7) = 0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système d'équations
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x + y 		&=	& 200\\
800x + 500y	& =	& \np{124 000}\\
\end{array}\right.\]

\item  Une salle de cinéma propose deux tarifs

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un tarif adulte à 800 F par personne;
\item[$\bullet~$] un tarif étudiant à 500 F par personne.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans cette salle, 200 personnes ont assisté à une représentation et la recette totale s'est élevée à \np{124000}~F. Calculer le nombre d'adultes et le nombre d'étudiants qui ont assisté à cette séance.
\end{enumerate}

NB : Après le passage à l'euro, la Polynésie a conservé le franc pacifique pour unité monétaire. 100~francs pacifique correspondent à environ 0,838~\euro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans ces trois exercices, l'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré. Les figures ne sont pas en vraie grandeur.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB].

On donne AB = 5.

E est un point de ce cercle tel que AE = 3.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{	
\begin{enumerate}
\item  Faire une figure en vraie grandeur.
\item  Quelle est la nature du triangle ABE ? Justifier.
\item  Calculer la longueur BE.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le cosinus de
l'angle $\widehat{\text{BAE}}$.
		\item   En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$ arrondie au degré.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}}	\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\pscircle(2.1,2.1){2.1cm}
\psline(0,2.1)(4.2,2.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,2.1)(4.2,2.1)(0.7,3.68)(2.1,2.1)
\uput[l](0,2.1){A}  \uput[r](4.2,2.1){B}  \uput[ul](0.7,3.68){E}  \uput[u](2.1,2.1){O}  
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{Sur le figure, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

OA = 8

OB = 10

OC = 6,4

OE = 2

OF = 2,5} \hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6.5,4)
%\psgrid
\pspolygon(1.5,0)(6.15,3.6)(0,3.1)(5.2,0.3)%FBAEF
\psline(1.9,2.07)(4.5,2.32)%CD
\uput[l](0,3.1){A} \uput[r](6.15,3.6){B} \uput[dl](1.9,2.07){C} \uput[dr](4.5,2.32){D} 
\uput[r](5.2,0.3){E} \uput[l](1.5,0){F} \uput[u](3.2,1.5){O} 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur OD.
\item Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item  Construire le patron d'un pyramide régulière SABCD de sommet S. Sa base est un carré ABCD. On donne AC =  4 et SA = 3.
\item  Calculer l'aire de la base ABCD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\parbox{0.45\linewidth}{\emph{L'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de reproduire la figure.}

ABCD est un rectangle.

CDE est un triangle rectangle.
 
On donne DE = 6 \quad  BC = 4 \quad  AB = 7,5.
  
Le point M est situé sur le segment [DC].} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5)  
\psframe(0.5,0)(4.8,2.1)
\psline(0.5,2.1)(0.5,4.1)(4.8,2.1)%DEC
\psline(0.5,4.1)(1.7,2.1)(4.8,0)%EMB
\uput[dl](0.5,0){A}  \uput[dr](4.8,0){B}  \uput[ur](4.8,2.1){C}  
\uput[l](0.5,2.1){D}  \uput[ul](0.5,4.1){E}  \uput[dl](1.7,2.1){M}  
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Dans cette partie, on prend DM = 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer l'aire du triangle DEM.
\item  Calculer l'aire du triangle BCM.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, on prend DM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'aire du triangle DEM est égale à $3x$.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer la longueur MC en fonction de $x$.
		\item  Montrer que l'aire du triangle BCM est égale à $15 - 2x$.
	\end{enumerate}
\item   Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle DEM est-elle égale à l'aire du triangle BCM ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\emph{ Les tracés de cette partie seront réalisés sur une feuille de papier millimétré. Celle-ci doit être remise avec la copie.}

Dans un repère orthonormé (O, I, J), l'unité graphique est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies par

\[f(x) = 3x \quad \text{et} \quad 	g(x) = 15 - 2x\]
\item  En faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles  :
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle DME est égale à l'aire du triangle DME.
		\item  Donner la valeur de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}