\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Polynésie   juin 2006},
allbordercolors = white}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 2006~\decofourright}} 
    
\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIOUES } \hfill 12 points} 

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  A $= \dfrac{5}{11} - \dfrac{8}{11} \times \dfrac{5}{4}$.

Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item B $= \dfrac{5 \times10^{-4} \times 3,6 \times10^2}{ 1,2 \times 10^{-3}}.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer B.
		\item Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
	\end{enumerate}
\item C $ = \sqrt{27} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{75}$.\\
Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ o\'u $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Le détail des calculs devra apparaître sur la copie}
\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 540 et 288.
\item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{540}{288}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $D = (4x + 1)^2 + (3x + 8) (4x + 1)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $D$.
\item Factoriser l'expression $D$.
\item Résoudre l'équation $(4x+1)(7x+9) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES } \hfill 12 points }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le cm.
\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle DNB tel que DN = 5, NB = 12 et BD = 13
\item Démontrer que le triangle DNB est un triangle rectangle en N.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{DBN}}$. Arrondir le résultat au millième.
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{DBN}}$ arrondie au degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(3 ; 3), B$(-1~;~2)$, C$(-2~;~-2)$,  D$(2~;~-1)$ dans le repère ci- dessous.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées du point M milieu du 
segment[BD].

Placer ce point.
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs  $\vect{\text{AB}}$	 et $\vect{\text{DC}}$.
		\item En déduire que ABCD est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\parbox{0.8\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10](0,0)(-5,-5)(5,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.15\textwidth}{IMPORTANT :

	Cette feuille est à joindre à la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5)
\psline(0,0)(11.1,0)(11,2.7)(10.5,2.7)(10.4,0)
\psframe*(10.7,0)(10.8,2.9)
\psline(10.5,2.3)(11,2.3) \psframe*(2.5,0)(2.6,0.7)
\psline(0,0)(10.8,2.9)
\psline(2.6,0.7)(2.9,0.5)(2.6,0.3)
\pscurve(2.2,0)(2.5,-0.2)(2.8,0) \pscurve(11,2.7)(10.85,2.9)(10.5,2.7) 
\psline{<->}(0,-0.5)(2.5,-0.5) \uput[d](1.25,0.){3 m}
\psline{<->}(0,-1)(10.8,-1)\uput[d](5.4,-0.5){48 m}
\uput[ul](2.5,0){B} \uput[ul](2.5,0.7){B$'$}
\uput[d](10.8,0){P} \uput[u](10.8,2.8){P$'$} 
\uput[r](2.7,0.2){2 m} \rput(5,3){\Large (BB$'$) //  (PP$'$)} 
\uput[l](0,0){O} 
\psline(11.2,2.5)(11.6,2.7) \psline(11.2,2.4)(11.6,2.2) 
\psline(10.4,2.5)(10,2.7) \psline(10.4,2.4)(10,2.2) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{1.5cm}
 
Un touriste veut connaître la hauteur du phare de la pointe Vénus situé dans la commune de Mahina. Pour cela, il met à l'eau une bouée B, munie d'un drapeau d'une hauteur BB$'$ de 2~m. Puis, il s'en éloigne jusqu'à ce que la hauteur du drapeau semble être la même que celle du phare. Le touriste se trouve alors au point O. La figure ci-dessus représente la situation à cet instant.

Calculer la hauteur PP$'$ du phare.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points }

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'association des élèves propose de financer le voyage de la classe de 3\up{e} 1 d'un collège en vendant des tricots. Pour cela, elle propose trois formules de financement.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Formule A : \np{1000} F par tricot vendu ;
\item Formule B :  une aide forfaitaire de \np{20000}~F et 700~F par tricot vendu ;
\item Formule C :  une aide forfaitaire de \np{100000}~F quel que soit le nombre de tricots vendus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau suivant en utilisant celui donné à l'annexe A :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de tricots  vendus	&10			&50	&100		&150&250\\ \hline
Formule A					&\np{10000}	&	&			&	&	\\ \hline
Formule B					&			&	&\np{90000}	&	&	\\ \hline
Formule C					&\np{100000}&	&			&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item En s'aidant du tableau complété de l'annexe A, quelle est la formule qui rapporte plus d'argent à la classe si l'association vend 10 tricots ? 100 tricots ? 250 tricots ?
	\end{enumerate}
\item Soit $x$, le nombre de tricots vendus par l'association des élèves. On appelle :

$P_{\text{A}}(x)$ le montant du financement obtenu par la classe si l'association vend $x$ tricots avec la formule A,
 
$P_{\text{B}}(x)$, le montant du financement obtenu par la classe si l'association vend $x$ tricots avec la formule B.
  
Exprimer  $P_{\text{A}}(x)$ et  $P_{\text{B}}(x)$, les montants de financement en fonction de $x$.
\item À partir de combien de tricots vendus, la formule A rapporte-t-elle plus d'argent, pour la classe de 3\up{e} 1, que la formule B ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les constructions seront réalisées sur une feuille millimétrée avec le plus grand soin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un repère orthogonal (O ; I,  J) avec O \textbf{placé en bas à gauche}. On prendra les unités suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  1 cm pour les tricots vendus sur l'axe des abscisses.
\item 1 cm pour \np{10000}~F sur l'axe des ordonnées,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Dans le repère précédent, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x) = \np{1000}x$ ;

$g(x) =  700x + \np{20000}$
\item L'association des élèves a gagné \np{111000}~F avec la formule B.

Déterminer graphiquement le nombre de tricots vendus. (On laissera apparents les
traits de construction).
\item Retrouver le résultat de la question précédente, en résolvant une équation.
\end{enumerate}
\end{document} 