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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 2010~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de $120$ et $144$ par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. 
\item Un vendeur possède un stock de $120$~flacons de parfum au tiare et de $144$~savonnettes au monoï.
 
Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets \og Souvenirs de Polynésie \fg{} de sorte que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret; 
\item[$\bullet~$] le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret; 
\item[$\bullet~$] tous les flacons et savonnettes soient utilisés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Trouver le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d'eux.

\medskip
 
\emph{L'évaluation de cette question tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes; les faire apparaître sur la copie.}

\medskip
 
\item L'algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donnés.
 
Il utilise la propriété suivante : 

\og $a$ et $b$ étant deux entiers positifs tels que $a$ supérieur à $b$,

PGCD $(a~;~b)$ = PGCD $(b~;~a - b)$. \fg
 
Sur un tableur, Heiarii a créé cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de \np{2277} et \np{1449}.

\medskip

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B& C\\ \hline 
1 & $a$&$b$& $a - b$\\ \hline  
2 &\np{2277}&\np{1449} 	&828\\ \hline  
3 &\np{1449}&828 		&621\\ \hline  
4 &828 		&621 		&207\\ \hline  
5 &621 		&207 		&414 \\ \hline 
6 &414 		&207 		&207 \\ \hline 
7 &207 		&207 		&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant sa feuille de calcul, dire quel est le PGCD de \np{2277} et \np{1449}. 
		\item Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule C2 pour obtenir le résultat indiqué dans cette cellule par le tableur ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Sur le manège \og Caroussel \fg, il y a quatre chevaux, deux ânes, un coq, deux lions et une vache.

Sur chaque animal, il y a une place. Vaite s'assoit-au hasard sur le manège.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'elle monte sur un cheval ? Exprimer le résultat sous forme d'une fraction irréductible. 
\item On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og Vaite monte sur un âne. \fg 
\item[] $C$ : \og Vaite monte sur un coq. \fg
\item[] $L$ : \og Vaite monte sur un lion. » 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement \emph{non} L puis calculer sa probabilité. 
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ \emph{ou} $C$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Hiti et Kalu sont deux entreprises de cent personnes qui ont fait paraître les informations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3} \cline{5-7} 
Salaire moyen en francs &
Entreprise Hiti&Entreprise Kalu&&Effectif Hommes/ Femmes&Entreprise Hiti&Entreprise Kalu \\ \cline{1-3}\cline{5-7}
Hommes& \np{168000} &\np{180000}&	&Hommes	&50	&20\\ \cline{1-3}\cline{5-7} 
Femmes&\np{120000} 	&\np{132000}&	&Femmes &50 &80\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\end{tabularx}

\medskip
 
Kévin dit à sa sœur: \og En moyenne, on est mieux payé chez Kalu. \fg 

Qu'en pensez-vous ?
 
\emph{L'évaluation de cet exercice tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie.}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.44\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.} 

Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].
 
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K.
 
On donne BC = 14~cm, AL = 6~cm et AK $= x$~cm où $x$ désigne un nombre positif}
\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(10,4.5)
\pspolygon(0,0)(9.4,0)(3,4.05)
\psframe(2.3,0)(4.3,3.2)\psline(3,4.05)(3,0)
\uput[d](0,0){B} \uput[d](2.3,0){E}\uput[d](3,0){L}\uput[d](4.3,0){F}
\uput[d](9.4,0){C}\uput[ur](4.3,3.2){G}\uput[ur](3,3.2){K}\uput[ul](2.3,3.2){H}\uput[u](3,4.05){A}\psframe(2.3,0)(2.6,0.3)\psframe(3,0)(3.3,0.3)  \psframe(4.3,0)(4,0.3)   \psframe(4.3,3.2)(4,2.9)   \psframe(2.3,3.2)(2.6,2.9)
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 1 :}  Dans cette partie, on se place dans le 
cas particulier ou BL = $4,8$~cm et $x = 1$~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur. 
\item Calculer l'aire en cm$^2$ du triangle BLA. 
\item On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles. 
Parmi les propriétés suivantes, choisir et recopier sur votre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification.  
	\begin{enumerate}
		\item Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 
		\item Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. 
		\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. 
		\item La réciproque du théorème de Thalès.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la longueur HK.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et $x$ ne sont pas connus.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur KL en fonction de $x$. 
\item On déplace le point K sur le segment [AL]. L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs KL et HG pour différentes valeurs de $x$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &0,6 &1,5 &1,8 &2,1 &4,2 &4,5 &5,1\\ \hline 
KL& 5,4 &4,5 &4,2 &3,9 &1,8 &1,5 &0,9\\ \hline  
HG &1,4 &3,5 &4,2 &4,9 &9,8 &10,5 &11,9\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip

Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les longueurs KL et HG pour $x$ égal à 4,5 cm ? 
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on l'égalité KL = HG ?
		 
Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
  
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.\\ Écrire sur votre copie le numéro de la question et la réponse exacte A, B, C ou D choisie.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6} 
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse A&Réponse B&Réponse C& Réponse D\\ \hline 
1.& IJK est un triangle rectangle en I tel que :

IK = 2,7~cm et KJ = 4,5~cm. Quelle est la longueur du côté [IJ] ?& 
12,96 cm& 3,6 cm &1,8 cm &5,2 cm\\ \hline 
2.&On rappelle la formule du volume d'une boule de rayon $r$ :

 V $= \dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$. Le volume exact en cm$^3$ d'une balle de tennis de 3,3~cm de rayon est :&$13,2\pi$ &150 &$47\pi$& $47,916\pi$\\ \hline 
3.& Dans le cube ABCDEFGH, le quadrilatère ADGF est un :
\psset{unit=0.77cm}\begin{pspicture}(5,5)\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0.4)(3.3,2.6)(4.3,3.8)(1.6,1.6)\pspolygon(0.6,0.4)(3.3,0)(3.3,2.6)(0.6,3)\psline(3.3,0)(4.3,1.2)(4.3,3.8)(3.3,2.6)\psline(4.3,3.8)(1.6,4.2)(0.6,3)\psline[linestyle=dashed](0.6,0.4)(1.6,1.6)(1.6,4.2)
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.6)(4.3,1.2)
\uput[dl](0.6,0.4){A} \uput[dr](3.3,0){B} \uput[r](4.3,1.2){C} \uput[ul](1.6,1.6){D} 
\uput[l](0.6,3){E} \uput[r](3.3,2.6){F} \uput[ur](4.3,3.8){G} \uput[u](1.6,4.2){H} 
\end{pspicture}& losange &carré &rectangle &parallé\-lépipède rectangle\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17~kilomètres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le premier départ de CatamaranExpress est à 5~ h~45 min pour une arrivée à 6~h 15~min.

Calculer sa vitesse moyenne en km/h. 
\item La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20~km/h.
 
À quelle heure est prévue son arrivée s'il quitte le quai à 6~h ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On donne en document annexe les représentations graphiques $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ de deux fonctions.

L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction affine $g$ définie par :
 
\[g(x) = \np{1000} x + \np{6000}\]
 
À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées du point E. 
\item Quelles sont les abscisses des points d'intersection des deux représentations graphiques ? 
\item Laquelle de ces représentations est celle de $g$ ? Justifier. 
\item Quelle est l'image de $12$ par la fonction $g$ ? Vérifier la réponse par ua calcul. 
\item Quel est l'antécédent de \np{15000} par la fonction $g$ ? Retrouver ce résultat en résolvant une équation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage quel que soit le bateau choisi :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif M : on paie \np{2500}~francs chaque voyage. 
\item[$\bullet~$] Tarif N : on paie une carte mensuelle à \np{6000}~francs auquel s'ajoute \np{1000}~francs pour chaque voyage. 
\item[$\bullet~$] Tarif P : on paie \np{3000}~francs par voyage jusqu'au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu'à la fin du mois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentés par les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe, le tarif associé.  (Aucune justification attendue) 
\item Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, construire la 
représentation graphique de la fonction $f$ définie par : 	$f~:~ x \longmapsto  \np{2500} x$. 
\item Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles sur le document \textbf{annexe},  trouver pour combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.63cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-1,-500)(18,28000)

\psline[linewidth=1pt](0,0)(7,21000)(18,21000)
\psline[linewidth=1pt](0,6000)(18,24000)
\uput[d](17.5,21000){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[u](17.5,23500){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[ul](7,21000){E}
\uput[u](16.5,0){Nombre de voyages}
\rput(0,28500){Prix à payer}
\multido{\n=0+2000,}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0.0+0.5}{37}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,28000)}
\multido{\n=0+1000}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=30000]{->}(0,0)(0,-500)(18,28000)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}