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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre  2001}}
\rfoot{\small{Polynésie}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie 
  septembre  2001 \decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Tous les exercices sont indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : 

A $ =\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{3} \times \dfrac{7}{5}$.

Calculer A, en détaillant les calculs, et donner le résultat sous la forme d'une fraction.
\item On donne :

B $=2\sqrt{20}- 2\sqrt{5}+\sqrt{45}$.

Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et $b$ étant le plus petit possible.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $D = (x - 3)^{2}+(x - 3)(x + 8)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = 4$.
\item Résoudre l'équation $(x - 3)(2x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\nombre{1 030}x+515y	&=	&\nombre{17 510}\\
x+y		&=	&20\\
\end{array}
\right.
\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver, en indiquant les calculs effectués, le PGCD des nombres \nombre{4539} et \nombre{3471}.
\item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{\nombre{4539}}{\nombre{3471}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; I, J) d'unité graphique le centimètre.
\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$, B(1~;~4) et C$(6~;~-1)$.

On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC ; on donnera les valeurs exactes.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Soit M le milieu de [AC]. Calculer les coordonnées du point M.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en C.

D est un point du segment [AB].

E est un point du segment [AC].

On donne :

AC = 6 ; BC = 4,5 ; AD = 4 ;

(DE) // (BC).} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,3.25)
\pspolygon(0.1,0.1)(5.8,1)(4,3)%ABC
\psline(3.7,0.7)(2.55,1.95)%DE
\uput[d](0.1,0.1){A}\uput[d](5.8,1){B} \uput[ul](4,3){C} \uput[d](3.7,0.7){D} \uput[ul](2.55,1.95){E}  
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure en grandeur réelle sur votre copie.
\item Prouver que AB=7,5.
\item Calculer AE.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{A}}$.
		\item En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{A}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Dabs ce problème l'unité de longueur est le centimètre et l'unité de volume est le centimètre cube}

\medskip

Un fabriquant de Monoï veut fabriquer deux flacons de m\^eme contenance.

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}} 
\end{center}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère le \textbf{flacon 1} représenté ci-contre.

Le \textbf{flacon 1} est constitué de 2 pavés droits.
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du pavé inférieur.
\item Calculer le volume, en fonction de $x$, du pavé supérieur.
\item On appelle $V_{1}$ le volume du flacon 1.

Montrer que $V_{1} = 2x+100$.
\end{enumerate} }\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(4,5.75)
\psframe(0,0)(3,2.85)
\psline(3,0)(3.6,0.8)(3.6,3.85)(3,2.85)
\psline(3.6,3.85)(2.35,3.85) \psline(1.15,3.85)(0.6,3.85)(0,2.85)
\psframe(1.15,3.3)(2.15,4.6)
\psline(2.15,3.3)(2.35,3.5)(2.35,4.8)(2.15,4.6)
\psline(2.35,4.8)(1.3,4.8)(1.15,4.6)
\uput[u](1.8,4.8){2} \uput[r](2.4,4.2){$x$}\uput[dr](2.3,3.38){1}
\uput[r](3.6,2){5}\uput[d](1.5,0){5}\uput[dr](3.3,0.45){4}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}} 
\end{center}

On considère le \textbf{flacon 2} ci-contre.

On donne :

SO = 11 ;  SO$'$ = 5,5 ; AB = 6

BC = 4 ; EF = 3 ; FG = 2.
 
Le \textbf{flacon 2} (ci-dessus à droite) est constitué de :
\begin{itemize}
\item la partie supérieure : un pavé droit.
\item la partie inférieure : une pyramide tronquée à base rectangulaire.\\[5mm]
\end{itemize} 

Rappel du volume d'une pyramide : 

$V=\dfrac{\text{aire \: de \:la \: base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la pyramide SABCD de hauteur SO (représentée à côté du flacon 2).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
		\item On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le point O$'$ du segment [SO].

Calculer le volume de la pyramide SEFGH.
		\item Montrer que le volume de la partie inférieure du flacon 2 est égale à 77~cm$^{3}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ le volume de la partie supérieure du flacon 2.
		\item On appelle $V_{2}$ le volume du flacon 2.

Montrer que $V_{2} = 6x+77$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}} 
\end{center}

Dans un repère orthogonal, on prend pour unités :

\begin{itemize}
\item un centimètre sur l'axe des abscisses ;
\item un millimètre sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize} 
On considère les deux fonctions affines $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=2x+100$ et $g(x)=6x+77$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement les deux fonctions $f$ et $g$ dans le repère.
\item Lire sur le graphique, la valeur de $x$ pour laquelle $f$ égale $g$ (laisser le trait de construction).
\item Retrouver le résultat précédent par le calcul.
\item Que représente cette valeur de $x$ dans ce problème ?
\end{enumerate} 
\end{document}