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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2004~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression A $ = \dfrac{\np{9009}}{\np{10395}} - \dfrac{2}{5} 
\times \dfrac{3}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le PGCD de \np{9009} et \np{10395}.
		\item Expliquer comment rendre irréductible la fraction 
$\dfrac{\np{9009}}{\np{10395}}$.
		\item En déduire que l'écriture simplifiée de $\dfrac{\np{9009}}{\np{10395}}$ est $\dfrac{13}{15}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer A en donnant le détail des calculs ; on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : $E = (3x - 1)^2 + (3x - 1) (x + 2)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation :	$(3 x - 1) (4x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer les expressions B et C en faisant apparaître chaque étape du 
calcul.

On donnera B sous la forme $a\sqrt{3}$, et C sous forme d'écriture
 scientifique.

\[\text{B}  = \sqrt{75} - 2 \sqrt{300} + \sqrt{12} \qquad \text{C} = \dfrac{13 \times 10^{15} \times 18 \times 10^4}{15 \times 10^7}.\]

\newpage

\begin{center} \textbf{Cette feuille est à rendre avec la 
copie}\end{center}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le quadrillage ci-dessous, construire :

$\bullet~$ la figure \ding{193} image du triangle \ding{192} par la symétrie d'axe d.

$\bullet~$ la figure \ding{194} image du triangle \ding{192} par la symétrie de centre O.

$\bullet~$ la figure \ding{195} image du triangle \ding{192} par la translation
 de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

$\bullet~$ la figure \ding{196} image du triangle \ding{192} par la rotation
 de centre B, d'angle $90\degres$  dans le sens des aiguilles d'une
 montre.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{unit=5mm} \begin{pspicture}(-12,-10)(16,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-12,-10)(16,10)
\psline(-2.5,9.5)(14.5,-7.5)
\pspolygon[linewidth=1.3pt](-1,2)(-1,4)(2,2)
\qdisk(0,0){2pt} \qdisk(-4,0){2pt}
\uput[u](-0.3,2){\ding{192}}
\uput[dl](-4,0){E} \uput[dl](-1,2){A}
\uput[ul](-1,4){B} \uput[r](2,2){C}
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-0.5,7){(d)} 
\end{pspicture} \end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox[l]{0.6\textwidth}{\textsl{L'unité est le centimètre. La figure 
ci-contre n'est pas à l'échelle.}

\textsl{On ne demande pas de refaire cette figure.}

On considère un cône de sommet S,
de rayon de base OM =  3 cm et de hauteur SO = 8 cm.

\begin{enumerate}\item Calculer la longueur SM (on donnera la valeur 
exacte).

\item Calculer le volume V, du cône :

On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^3$ près.

\item On considère un point O$'$ du segment [SO] tel que
SO$'$ = 4 cm.

On coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par O$'$.

On obtient ainsi un petit cône.\end{enumerate}}
\hfill
\parbox[r]{0.38\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,6)
\psellipse(2.2,1)(2.2,1)
\psline(0,1.1)(2.2,5)(4.4,1.1)
\psline[linestyle=dotted](2.2,5)(2.2,1)(4.4,1)
\uput[ur](2.2,5){S} \uput[ul](2.2,1){O} \uput[r](4.4,1){M} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{a.} Quel est le coefficient $k$ de réduction ?

\textbf{b.} Calculer le volume V$_{2}$ du petit cône :

On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^3$ près.

On rappelle que : volume du cône 
$ = \dfrac{\pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}}{3}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME  \hfill 12 points}

\bigskip

Une course à pied est organisée dans un collège. Un plan est distribué aux 
élèves à l'avance mais les parcours sont inconnus :

\medskip

\parbox[l]{0.45\textwidth}{$\bullet~$ Le plan n'est pas à 
l'échelle.

$\bullet~$ Départ et arrivée de chaque circuit au point D.

$\bullet~$ Les chemins possibles sont le long des segments
tracés sur le plan.

$\bullet~$ AB = 400 m ; AC = 300 m ; BC = 500 m ; ED =  180m.

$\bullet~$ $\widehat{\text{ADE}}$ et $\widehat{\text{DFB}}$ sont des angles  droits.

$\bullet~$ circuit $6\up{e}$ : 432 m ;

circuit $5\up{e}$ : 576 m ;
 
circuit $4\up{e}$ : 720 m ;

circuit $3\up{e}$ : 840 m.} \hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=8mm}\begin{pspicture}(7.5,4)
\pspolygon(0,0)(7.5,0)(0,3.5)
\psline(2.2,2.5)(2.2,0)(3.3,1.9)
\psframe(2.21,-0.01)(1.91,0.29)
\rput{-27}(3.3,1.97){\psframe(0,0)(0.3,-0.3)}
\uput[u](0,3.5){C} \uput[dl](0,0){A} 
\uput[u](2.2,2.5){E} \uput[d](2.2,0){D} 
\uput[ur](3.3,1.9){F} \uput[d](7.5,0){B} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

Tristan qui est en $3\up{e}$ fait équipe avec Cynthia, 
une élève de $5\up{e}$.

\textbf{\textsl{ Dans tout le problème :}}

\textbf{\textsl{les longueurs doivent être données au mètre près et les angles au degré 
près,}}\\
\textbf{\textsl{les résultats de plusieurs questions sont donnés, vous pouvez donc les 
utiliser dans les questions suivantes même si vous n'avez pas réussi à 
les démontrer.}}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On donne à Tristan le questionnaire ci-dessous afin de l'aider à 
trouver son circuit et celui de Cynthia. Ce questionnaire rapporte des points
à l'équipe.

Rédiger les réponses à ce questionnaire :

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	  \begin{enumerate}
	  	\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.    
		\item En déduire que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer les longueurs BD et BE.
		\item En déduire que AD = 160 m et CE = 200 m.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $\cos \widehat{\text{ABC}}$ calculer
la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
		\item En déduire que FB = 192 m et FD = 144 m.
	\end{enumerate}
\item Calculer les longueurs des circuits suivants :
	\begin{enumerate}
		\item DECAD ;    
		\item DBFD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Cynthta a un circuit de 576 m et doit en faire $x$ tours.

Tristan a un circuit de 840 m et doit en faire $y$ tours.

Pour trouver leurs nombres de tours Tristan a droit deux indices :

1 - \og À vous deux, vous allez faire \np{5928} m \fg ;

2 - \og À vous deux vous allez faire  8 tours \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire un système d'équation traduisant ces deux indices.
\item Résoudre ce système pour trouver le nombre de tours que chacun doit faire.
\end{enumerate}
\end{document} 