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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2009~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\begin{center}

Cette page doit être rendue avec la copie \end{center}

\textbf{Exercice 1 : QCM}

\medskip

Une seule des trois réponses proposées est correcte. Entourez-la. Aucune justification n'est demandée. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&A 		&B 		&C \\ \hline
$\dfrac{3}{5} +    \dfrac{3}{5} \times  \dfrac{2}{3}$  est égal à :&$\dfrac{4}{5}$& $\dfrac{12}{30}$&$1$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
L'écriture scientifique de \np{65100000} est :& 
$6,51 \times 10^7$ &$651 \times 10^5$ &$6,51 \times 10^{-7}$\\ \hline
$(3x - 2)^2$  est égal à : &$9x^2 - 4$ &$3x^2 - 12x + 4$ &$9x^2 - 12x + 4$ \rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
Le nombre de diviseurs communs à 40 et 60 est: &4& 6& 8 \\ \hline
Un véhicule effectue 50~km en 2~h puis 100~km en 3~h. 
Sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est:& 27 km/h &30 km/h &32 km/h \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Heimiri et son frère Tehui souhaitent gâter leur maman pour la fête des mères. Ils disposent de \np{18000}~F et profitent des soldes.
 
\begin{enumerate}
\item Dans la vitrine d'une bijouterie, ils aperçoivent de superbes boucles d'oreilles à \np{12000}~F.
 
Calculer le prix des boucles d'oreilles après une remise de 25\:\% ? 
\item Dans la même bijouterie, ils aperçoivent une magnifique bague. 

Après une remise de 20\:\%, le prix de la bague est de \np{7840}~F.

Quel était son prix initial ? 
\item En s'apprêtant à sortir de la bijouterie, Heimiri est sous le charme d'un pendentif en nacre.
 
Voici ce qu'indique l'étiquette : 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,1)
\psframe(0,-1)(2,1)\rput(1,0.75){Pendentif} \rput(1,0){\np{2800}~F}
\rput(1,-0.5){\np{2100}~F} 
\psline(0.5,-0.1)(1.5,0)
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{0.75cm}

Déterminer le pourcentage de remise effectuée sur le prix de ce pendentif. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse.}

\emph{Toute trace de recherche même incomplète. sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
la ville A compte \np{60000}~voitures et la ville B compte \np{18000}~voitures.
 
Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leurs couleurs, dans les villes A et B. 

On demande à un élève ce qu'il constate. Voici ce qu'il a répondu :
 
\og  On peut dire qu'il y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A \fg.

A t-il raison ?

\bigskip

\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(12,4.5) 
\pscircle(2,2){2} \pscircle(8.4,2){2}
\pswedge[fillstyle=vlines](2,2){2}{0}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines](2,2){2}{-126}{0}
\pswedge[fillstyle=crosshatch](2,2){2}{-180}{-126}
\rput(3.7,3.7){25\:\%} \rput(0.3,3.7){25\:\%}
\rput(3.7,0.3){35\:\%} \rput(0.3,0.3){15\:\%}
\rput(2,4.4){\textbf{Ville A}}  
\psframe(4.4,0.4)(6,3.6)
\psframe(4.6,0.6)(5,1) \rput(5.5,0.8){Autre}
\psframe[fillstyle=crosshatch](4.6,1.4)(5,1.8)\rput(5.5,1.6){Bleu}
\psframe[fillstyle=hlines](4.6,2.2)(5,2.6)\rput(5.5,2.4){Noir}
\psframe[fillstyle=vlines](4.6,3)(5,3.4)\rput(5.5,3.2){Blanc}
%%%%%%%%%%%%%%%
\pswedge(2,2){2}{90}{108}
\pswedge[fillstyle=vlines](8.4,2){2}{-126}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines](8.4,2){2}{144}{234}
\pswedge[fillstyle=crosshatch](8.4,2){2}{108}{144}
\rput(10.4,0.7){60\:\%} \rput(8.1,4.1){5\:\%}
\rput(7,3.8){10\:\%} \rput(6.6,0.6){25\:\%}
\rput(8.4,4.4){\textbf{Ville B}}  
\psframe(10.8,0.4)(12.4,3.6)
\psframe(11,0.6)(11.4,1) \rput(11.9,0.8){Autre}
\psframe[fillstyle=crosshatch](11,1.4)(11.4,1.8)\rput(11.9,1.6){Bleu}
\psframe[fillstyle=hlines](11,2.2)(11.4,2.6)\rput(11.9,2.4){Noir}
\psframe[fillstyle=vlines](11,3)(11.4,3.4)\rput(11.9,3.2){Blanc}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{L'unité de longueur est le centimètre}

\medskip
 
On donne : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Les points C, D et A sont alignés. 
\item  Les points B, E et A sont alignés. 
\item (DE) $\perp$ (AD) 
\item AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD =  3,2 
\item M $\in$ [AC] et N $\in$ [AB] tels que AM = 4 et AN = 5. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5)
%\psgrid
\psline(0,1)(10,1) \psline(0,4.5)(10,0)
\psline(1.5,0)(1.5,5) \psline(3,0)(3,5)
\psframe(3,1)(3.2,1.2)
\uput[u](7.8,1){A} \uput[ur](1.5,3.82){B} \uput[dr](1.5,1){C} \uput[dr](3,1){D} 
\uput[ur](3,3.17){E} \uput[dr](2.2,1){M} \uput[ur](2.3,3.45){N}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.2,1)(2.3,3.45) 
\rput(8,2.5){La figure n'est pas en vraie grandeur} 
\end{pspicture}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point. 
		\item  En déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
	\end{enumerate} 
\item Calculer DE. 
\item Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier. 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les trois solides suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la boule de centre O et de rayon SO tel que SO = 3~cm 
\item  la pyramide SEFGH de hauteur 3~cm dont la base est le carré EFGH de c\^oté 6~cm 
\item  le cube ABCDEFGH d'arête 6~cm.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Ces trois solides sont placés dans un récipient.
 
Ce récipient est représenté par le pavé droit ABCDIJKl de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD de côté 6 cm.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cube ABCDEFGH en cm$^3$. 
\item Calculer le volume de la pyramide SEFGH en cm$^3$. 
\item Calculer le volume de la boule en cm$^3$.(on arrondira à l'unité près) 
\item En déduire le volume occupé par les trois solides à l'intérieur du pavé ABCDIJKl en cm$^3$. 
\item  \textbf{Dans cette question, écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Pourra t-on verser dans ce récipient 20~cl d'eau sans qu'elle ne déborde ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Schéma :}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(5.25,8)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.3,5.9){1.3}
\psdots(2.3,5.9)
\pspolygon(0,0)(2.8,0)(4.7,0.9)(4.7,2.9)(4.7,3.6)(2.8,2.8)(0,2.8)%ABCGFEA
\psline(4.7,3.6)(4.7,7.7)(1.9,7.7)(0,6.8)(2.8,6.8)(4.7,7.7)%GKLIJK
\psline(2.8,2.8)(2.8,6.8)%FJ
\psline(0,2.8)(0,6.8)%EI
\psline(2.8,0)(2.8,2.8)%BF
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.8,0){B} \uput[r](4.7,0.9){C} \uput[ul](1.9,0.9){D} 
\uput[l](0,2.8){E} \uput[dr](2.8,2.8){F} \uput[r](4.7,3.6){G} \uput[ul](1.9,3.7){H} 
\uput[ul](0,6.8){I} \uput[u](2.8,6.8){J} \uput[ur](4.7,7.7){K} \uput[ul](1.9,7.7){L}
\uput[ur](2.3,5.9){O} \uput[l](2.3,4.6){S} 
\psline[linestyle=dotted](0,2.8)(2.3,4.6)(4.7,3.6)(2.8,2.8)(2.3,4.6)(1.9,3.7)(0,2.8)%ESGFSHE
\psline[linestyle=dotted](4.7,3.6)(1.9,3.7)%GH 
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.9,0.9)(4.7,0.9)%ADC
\psline[linestyle=dotted](1.9,0.9)(1.9,3.7)%DH
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\textbf{La figure n'est pas en vraie grandeur}
\medskip
\begin{itemize}
\item Le volume d'une pyramide se calcule grâce à la formule : 

$V = \dfrac{1}{3} \times  h \times B$ où $h$ est la hauteur de la pyramide et $B$ l'aire de sa base. 
\item Le volume d'une boule se calcule grâce à la formule :
 
$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times  r^3$ où $r$  est le rayon de la boule. 
\item 1~dm$^3$ = 1~L 
\end{itemize}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip
 
Les parties A, B et C sont indépendantes

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

La moitié d'un terrain de basket a été partagée en 3 zones de jeu différentes notées R, M et E. Elles sont repérées dans la figure ci-dessous.

\medskip

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
%\psgrid
\psframe(7.2,5)
\psarc[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,0){3.2}{0}{180}
\psarc[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.7,2){1}{0}{180}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.1,0)(2.7,2)(4.7,2)(5.3,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=lightgray](2.7,2)(4.7,2)
\psframe(7.7,1.4)(8.1,1.8)\rput(8.9,1.6){Zone E}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.7,2.2)(8.1,2.6)
\rput(8.9,2.4){Zone R}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.7,3)(8.1,3.4)\rput(8.9,3.2){Zone M}
%\rput(2.2,0){\raquette}
\end{pspicture}

\end{center}

On a relevé ci-dessous, pour chacun des quatre quart temps du match, tous les lancers effectués depuis chaque zone.

\medskip

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm}}
Premier quart temps& Second quart temps\\
\begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline 
Zone de lancer		& R &M 	&E \\ \hline
Nombre de lancers	&7	&5	&3\\ \hline
\end{tabular}&
\begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline 
Zone de lancer		& R &M 	&E \\ \hline
Nombre de lancers	&8	&5	&2\\ \hline
\end{tabular}\\
~&~\\
Troisième quart temps& Quatrième quart temps\\
\begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline 
Zone de lancer		& R &M 	&E \\ \hline
Nombre de lancers	&9	&5	&2\\ \hline
\end{tabular}&\begin{tabular}{|p{2.8cm}|*{3}{c|}}\hline 
Zone de lancer		& R &M 	&E \\ \hline
Nombre de lancers	&6	&5	&3\\ \hline
\end{tabular}\\
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le nombre total de lancers réalisés lors des quatre quart temps du match :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Zone de lancer 		&R	&M	&E	&Total\\ \hline 
Nombre de lancers 	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Calcul de fréquences 
\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence des lancers effectués depuis la zone E lors du match et donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible. 
\item Calculer la fréquence des lancers effectués en dehors de la zone E lors du match.
 
Donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simplifiée possible. 
\end{enumerate}

\item Pendant le match, sur les 60~lancers effectués, 51 ont été réussis dont 27 depuis la zone R. On sait aussi que $\dfrac{3}{4}$ des lancers effectués dans la zone M ont été réussis.

Calculer le nombre de lancers réussis dans la zone E.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Le graphique ci-dessous représente la hauteur du ballon lors d'un lancer en fonction du temps.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=6.875,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.05,-0.2)(1.5,4.6)
\multido{\n=0.+0.01}{151}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)}
\multido{\n=0+0.05}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)}
\multido{\n=0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.6)}
\multido{\n=0+0.04}{116}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)}
\multido{\n=0+0.4}{5}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(1.5,\n)}
\psaxes[comma,linewidth=1.5pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-0.05,-0.2)(1.5,4.6)
\uput[u](1.4,0){Temps (en s)}\uput[d](0.1,0){0,1} \uput[l](0,0.2){0,2}
\uput[r](0,4.7){Hauteur du ballon (en m)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{0}{1}{2.4 x dup mul 7 mul sub 7.6 x mul add}
\psline[linewidth=1.5pt](0.92,3)(1.05,3)
\rput(1.35,2){panier}\psline{->}(1.275,2)(1,2.9)
\psframe*(1.05,2.8)(1.06,3.86)
\psline[linewidth=1.8pt](1.055,3.4)(1.058,3.4)(1.21,2.84)(1.21,0)
\end{pspicture}
\end{center} 

En vous aidant du graphique, répondre aux questions suivantes :
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur du panier ? 
\item À quelle hauteur se trouve le ballon 0,1~s après le lancer ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? 
		\item  Au bout de combien de temps le ballon atteint-il cette hauteur maximale?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip

Le joueur A passe le ballon au joueur B situé à 7,2~m de lui. La passe dure 0,4~s.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la vitesse moyenne du ballon, en m/s, lors de cette passe. 
\item Convertir en km/h. 
\end{enumerate}
\end{document}