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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet  Pondichéry avril 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{PREMIÈRE PARTIE : Activités numériques 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice  1}

\medskip

$A  = (2x - 3)(2x + 3) - (3x + 1)(2x - 3).$

\begin{enumerate} 
\item Développer puis réduire $A$.
\item Factoriser  $A$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(-x + 2) =  0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice  2}

\medskip

B $= \dfrac{2 - \dfrac{1}{3}}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}$ \quad ; \quad 
C $= - \dfrac{4 \times 10^{-3} \times (- 5) \times 10^9}{3 \times 10^6}$ 
\quad ; \quad D $ = \dfrac{\left(3 + \sqrt{11}\right)^2 -
 6\sqrt{11}}{3}$. 

Montrer, en détaillant les calculs que B =  C = D.

\bigskip

\textbf{Exercice  3}

\medskip

Une personne dispose de 6~euros ; elle peut dépenser cette somme soit
 en achetant 10~croissants et un cake soit en achetant 4 croissants
 et deux cakes.

Calculer le prix d'un croissant et celui d'un cake.

\bigskip

\textbf{Exercice  3}

\medskip

Ce tableau rend compte des moyennes obtenues à un devoir de 
mathématiques par  trois classes d'élèves de $3\up{e}$.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classes 	&$3\up{e}$ A	&$3\up{e}$ B 	&$3\up{e}$ C\\ \hline
Effectifs	&22				&24			&17 \\ \hline
Moyennes	&10				&10,5			&12\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif moyen d'une classe de $3\up{e}$.
\item Calculer la note moyenne obtenue par l'ensemble des élèves de ces trois classes.
\item 19 élèves de $3\up{e}$ A, 17 élèves de 
$3\up{e}$ B et 16 élèves de $3\up{e}$ C ont obtenu une	note supérieure ou égale
à 10.

Calculer  à $1\:\%$ près, le pourcentage d'élèves de ces trois classes ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE : Activités géométriques 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice  1}

\medskip

\parbox[c]{0.6\textwidth}{SABCD est  une pyramide régulière dont  la base carrée  a un côté de mesure 2~cm. La hauteur SO est variable,  elle est notée $x$ (en cm).

\textbf{1.} Calculer le volume de cette pyramide pour $x = 6$  cm.

\textbf{2.} Dans cette question, $x$ varie entre 0 et 10 cm.

\textbf{a.} Démontrer que le volume de la pyramide en fonction de
$x$ est $V(x) = \dfrac{4}{3}x$.

\textbf{b.} Tracer la représentation graphique de la fonction $V$ : 
$x \longmapsto \dfrac{4}{3}x$.} \hfill
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4,3)
\pspolygon(0,0)(2.7,0)(3.6,1.6)(2,2.7)%ADCSA
\psline(2.7,0)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(3.6,1.6)%AC
\psline[linestyle=dotted](2.7,0)(1.4,1.6)(3.6,1.6)%DBC
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.4,1.6)(2,2.7)(2,0.9)%ABSO
\uput[ul](0,0){A} \uput[ur](1.4,1.6){B} \uput[ur](3.6,1.6){C} 
\uput[r](2.7,0){D} \uput[d](2,0.9){O} \uput[u](2,2.7){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{c.} Par lecture graphique et en  laissant apparents les tracés 
effectués, dire quel est le volume de la pyramide si $x = 3$ cm 
puis donner la hauteur de la pyramide pour laquelle son volume est égal à 10 cm$^3$.

\bigskip

\textbf{Exercice  2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un demi-cercle ($\mathcal{C}$) de centre 
O, de diamètre [AB] tel que AB $ = 6$ cm. Placer M sur ($\mathcal{C}$) tel que BM  = $3,6$ cm.
\item Justifier la nature du triangle AMB puis calculer AM.
\item Calculer $\sin  \widehat{\text{MBA}}$ puis en déduire la mesure de  $\widehat{\text{MBA}}$ arrondie au degré.
\item P est le point de (AB) tel que PA = 4,5~cm.

La parallèle  (MB) passant par P coupe [AM] en R.

Calculer AR et RP.
\item K est le point de [BM] tel que BK =  0,9 cm.

Montrer que les droites (PK) et (AM) sont parallèles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TROISIÈME PARTIE Problème 12 points}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O, I, J) placer les  points suivants :

\[\text{A} (-1~;~1),\quad	\text{B}(3~;~ 3), \quad \text{C}(5~;~-1) 
\quad \text{et} \quad \text{D}(1~; -3).\]

L'unité est le centimètre.
\item Calculer les  coordonnées de  $\vect{\text{AB}}$ et 
$\vect{\text{DC}}$.

En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
\item Calculer la distance BC.
\item On admet que AB = $2\sqrt{5}$ et AC $=  2\sqrt{10}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ABC est un triangle isocèle et 
rectangle.
		\item Préciser alors, en justifiant la réponse, la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\item Soit M le milieu de [AC].

Placer le  point E tel que $\vect{\text{AE}} = 
\vect{\text{AM}} + \vect{\text{AB}}$.
\item Sans justification, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de BMC par la symétrie de centre M ?
		\item Quelle est l'image de AMB par la symétrie d'axe BM ?
		\item Quelle est l'image de AMB par la rotation de centre M, d'angle $90~\degres$ et dans le sens contraire des aiguilles d'une 
montre ?
		\item  Tracer et colorier l'image de AMB par  la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}