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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{Brevet des collèges  Pondichéry avril 2003}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne :

 A $= \dfrac{1}{5} - \dfrac{6}{5} : \dfrac{10}{35}$ \quad B $ = 
 \left(2\sqrt{3} - 4\right)\left(2\sqrt{3} + 4\right)$ \quad C $ = 
 \dfrac{2 \times 10^9 \times 7 \times 10^{-6}}{35 \times 10^2}$.

En indiquant toutes les étapes de calcul, calculer A, B et C.

Quels sont les deux nombres égaux ?

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
9x + 3y& = &15\\
2x + y& =& 1\\
\end{array}\right.$

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une enquête a été réalisée dans 80 restaurants d'une même catégorie.

La question posée est « Quel est l'effectif de votre personnel salarié ? »

Les réponses sont données dans le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de salariés		& 2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	& 8\\ \hline
Nombre de restaurants	&5 	&7 	&14 &17 &21 &10 &6\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Quel est le pourcentage de restaurants dont le nombre
 de salariés est inférieur ou égal à 4 ?
\item Calculer le nombre moyen de salariés par restaurant.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres 210 et 135.
\item Sophie veut faire une couverture en patchwork en cousant
ensemble des carrés de tissu de grandeurs identiques mais de motifs
différents. Les dimensions de la couverture doivent être de 210 cm sur
135 cm. Sachant qu'elle veut utiliser le moins de carrés possibles,
quelle doit être leur dimension? (Expliquer la démarche.)
\item Combien devra-t-elle utiliser de carrés ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox[l]{0.5\textwidth}{Le cône ci-contre a pour base	
un disque de rayon 6 cm et la génératrice [SA]  mesure 10 cm. 
(Les figures ne sont pas à l'échelle.)

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de la hauteur [SO].

\item Calculer la mesure, arrondie au degré près, de l'angle 
$\widehat{\text{ASO}}$.\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(5.5,4)
\psellipse(1.2,0.4)(1.2,0.4)
\psellipse(4,0.4)(1.25,0.4)
\psellipse(4,1.4)(0.75,0.25)
\psline(2.75,0.4)(3.3,1.5) \psline(5.25,0.4)(4.7,1.45)% arêtes du tronc
\psline(0,0.4)(1.2,3.5)(2.4,0.4)% arêtes du cône
\psline(1.2,3.5)(0.55,0.1)%SA
\psline[linestyle=dotted](0.65,0.15)(1.25,0.4)(1.2,3.5)
\psline(1.1,0.3)(1.1,0.45)(1.25,0.55)
\uput[ur](1.2,3.5){S} \uput[r](1.25,0.4){O}
\uput[dl](0.65,0.15){A}
\uput[r](2,2.8){cône} \uput[u](4,1.7){tronc de cône}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{3.} Montrer que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_1$ du cône est $96\pi$.

\textbf{4.} On enlève la partie supérieure du cône en le coupant par 
un plan parallèle à la base et passant par le milieu de la hauteur.
 
On rappelle que la partie enlevée est une réduction du cône initial.

\hspace{0,5cm} \textbf{a.} Quel est le coefficient de réduction ?

\hspace{0,5cm} \textbf{b.} Montrer que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$_2$ de la 
partie enlevée est $12\pi$.

\hspace{0,5cm} \textbf{c.} En déduire la valeur exacte, en cm$^3$, du volume V$'$ du tronc de cône.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textsl{Les constructions sont à faire sur papier millimétré.}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité  est le centimètre.

Placer les points suivants

\[\text{A}(- 2~;~ -3)\quad  \text{B}(1~;~ 1)\quad  \text{C}(- 3~;~- 1).\]

\item Vérifier par le calcul que AB = 5 cm.
\item On donne AC $= \sqrt{5}$ cm et BC $= 2\sqrt{5}$ cm.
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
		\item Calculer son aire.
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de A par rapport à C, et E le 
symétrique de B par rapport à C.

Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier la  réponse.
\item Compléter :

$\vect{\text{BA}} +  \vect{\text{AC}} = \ldots \qquad  
\vect{\text{BD}}  + \vect{\text{BA}} = \ldots$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Une crèche propose deux tarifs pour la garde d'un enfant.

Tarif A : Pour une fréquentation occasionnelle, 15 euros par jour de garde.

Tarif B : Un forfait mensuel de 80 euros plus 5 euros par jour de garde.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En janvier, Grégoire a fréquenté la crèche 4 jours et Aurélien 15 jours.

Calculer la dépense pour chacun des deux enfants avec le tarif A, puis
avec le tarif B.

\item On appelle $x$ le nombre de jours de fréquentation en un mois.
	\begin{enumerate}
		 \item Exprimer, en fonction de $x$, la somme $A(x)$ payée avec
 le tarif A.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, la somme $B(x)$ payée avec le tarif B.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $5x + 80 < 15x$.

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Toutes les lectures graphiques seront indiquées par des pointillés.

 On considère maintenant les fonctions A et B définies par

\[A(x) = 15x \quad \text{et} \quad  B(x) = 5x + 80.\]

\begin{enumerate}
 \item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère
 orthogonal.

Pour cela :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] placer l'origine du repère en bas et à gauche ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, prendre 1 cm pour une journée de crèche ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, prendre 1 cm pour 10 euros.
\end{itemize}

Construire alors les représentations graphiques des fonctions A et B.

\item Les représentations graphiques se coupent en E. Par lecture
 graphique, déterminer :
	\begin{enumerate}
		 \item quelle est l'abscisse du point E ? Que 
représente-t-elle ?
		\item quelle est l'ordonnée du point E ? Que représente-t-elle ?
	\end{enumerate}
\item Lire sur le graphique la somme dépensée pour une fréquentation
de 12 jours avec le tarif B.

Vérifier par le calcul.
\item Résoudre graphiquement l'équation : $A(x) = 90$.

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
%%%%   Fin Pondichéry avril 2003
\end{document}