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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{avril 2007}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry avril 2007~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne :

\begin{tabular}{lll}
A $ = \dfrac{9}{7} -  \dfrac{2}{5} \times \dfrac{15}{8}$&
B $ = \dfrac{6 \times 10^{-7} \times 15 \times 10^{11}}{8 \times \left(10^2\right)^4}$& 
C $ =  2\sqrt{180} + 5\sqrt{80} - 3\sqrt{125}$\\
\end{tabular}

\medskip

\emph{Dans chaque cas, indiquer les étapes de calculs}

\begin{enumerate}
\item  Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  Calculer B et donner son écriture scientifique, puis son écriture décimale.
\item  Écrire C sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier.
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression suivante :

\[ E =  (3x - 5)^2 + (3x - 5)(7x - 4).\]

\begin{enumerate}
\item  Développer puis réduire $E$.
\item  Factoriser $E$.
\item  Calculer $E$ pour $x = - 2$.
\item  Résoudre l'équation $(3x - 5)(10x - 9) =  0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

Voici les résultats au lancer de javelot lors d'un championnat d'athlétisme. Les longueurs sont exprimées en mètres.
 
\[\fbox{36 	42 	37 	43 	38 	44 	32 	40 	44 	36 	46 	39  40
40 	41	41	45	37	43 	43 	46	39	44	47	48}\]

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant \emph{sur la feuille annexe}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Longueur $\ell$ du	lancer (en mètres)&\footnotesize $30 \leqslant\ell <  35$&\footnotesize	$35 \leqslant \ell <40$&\footnotesize	$40  \leqslant\ell < 45$&\footnotesize	$45 \leqslant\ell < 50$&	Total\\ \hline
Nombre de sportifs	&		&7		&		&5		&\\  \hline
Fréquence			&0,04	&		&		&0,2	& \\ \hline
Valeur centrale		&32,5	&		&42,5	&		&\multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-5}
\end{tabularx}

\medskip
	
\item  En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d'un lancer.
\item  Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un cercle de diamètre [AB] et un point C appartenant à ce cercle.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature du triangle ABC.
\item On donne AC =  39 mm et BC =  52 mm. Montrer que AB =  65 mm.
\item Le point D est tel que : AD =  25 mm et BD =  60 mm.

Le triangle ABD est-il rectangle ?
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\parbox{0.65\textwidth}{	La figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.

AC =  3 cm
	
AE =  4,5 cm
	
AB =  4 cm
	
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AD et BD.
\item On donne : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm

Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.65\textwidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,6)
\psline(0.4,0)(2.8,6)
\psline(3.3,0)(0,5.5)
\psline(0,0.2)(3.4,1)
\psline(0,0.95)(3.3,1.7)
\uput[r](1.6,2.9){A}  \uput[ul](0.8,1.1){B}  \uput[ur](2.3,1.5){C}  \uput[dl](0.5,0.3){D}  
\uput[dl](2.8,0.85){E}  \uput[dl](0.6,4.5){F}  \uput[r](2.4,5){G}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.6,4.5)(2.4,5)  
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur votre copie, construire un carré ABCD de côté 5 cm.

O étant le centre du carré, placer E, symétrique de O par rapport à D.
\item Recopier et compléter les égalités suivantes :

$\vect{\text{AB}} = \ldots \ldots \hspace{2,9cm} 	\vect{\text{AD}}= \ldots \ldots$

$\vect{\text{AC}} + \vect{\text{CD}} = \ldots \ldots \hspace{2cm} \vect{\text{BD}} + \vect{\text{AB}} = \ldots \ldots$
\item Quelle est l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$ ?

Quelle est l'image de D par la rotation de centre O, d'angle 90~\degres dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?
\item  Placer F tel que $\vect{\text{EF}} = \vect{\text{CO}}$
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère ECOF ? 
		\item  En déduire que D est le milieu du segment [FC].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes. La feuille annexe est à rendre avec votre copie}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

DVDLOC est un magasin qui propose différentes formules de location de DVD.

\begin{itemize}
\item Formule 1 : chaque DVD est loué 3,50~\euro.
\item Formule 2 : on paye un abonnement annuel de 12~\euro, puis 2~\euro{} par DVD loué.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter sur la feuille ANNEXE le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de DVD loués		&2	&	6\\ \hline
Prix en euro avec la formule 1	&	&\\ \hline
Prix en euro avec la formule 2 	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
\medskip
	
\item  On note $x$ le nombre de DVD loués.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, le prix en euro à payer pour la location de $x$ DVD par la formule 1. 
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, le prix en euro à payer pour la location de $x$ DVD par la formule 2.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation $2x + 12 \leqslant  3,5x$.
		\item  Déterminer le nombre de DVD à partir duquel la formule 2 est la plus avantageuse.
	\end{enumerate}
\item  Sur la feuille ANNEXE, tracer dans le repère les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x) = 3,5x$ et $g(x) = 2x + 12$.
\item  Carine ne possède pas de carte d'abonnement et elle dispose de 18 \euro. Indiquer à l'aide du graphique et en marquant. en couleur les pointillés nécessaires, le nombre maximum de DVD
qu'elle peut louer.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Romain se rend à vélo chez son ami David qui a loué un DVD chez DVDLOC.

Sachant qu'il a 3,75 kilomètres à parcourir et qu'il roule à la vitesse moyenne de 15 km/h, quel temps mettra-t-il pour faire ce trajet ?
\item 	Après avoir regardé le film, Romain propose à David d'aller rendre ce DVD au magasin de location. Sachant qu'il roule pendant 36 minutes, toujours à la vitesse moyenne de 15 km/h, déterminer la distance qui sépare le magasin du domicile de David.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE \hfill À RENDRE AVEC LA COPIE\\
I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}
\end{center}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueur $\ell$ du	lancer (en mètres)& $30 \leqslant 35$&	$35 \leqslant 40$&	$40  \leqslant 45$&	$45 \leqslant 50$&	Total\\ \hline
Nombre de sportifs	&		&7		&		&5		&\\  \hline
Fréquence			&0,04	&		&		&0,2	& \\ \hline
Valeur centrale		&32,5	&		&42,5	&		&\multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-5}
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{center}\textbf{II - PROBLÈME 	Partie A}

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de DVD loués&	2&	6\\ \hline
Prix en euro avec la formule 1&&\\ \hline
Prix en euro avec la formule 2 &&\\ \hline
\end{tabularx}
\end
{center}
	
\vspace{0,5cm}
	
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.5cm}	
\begin{pspicture}(10,30)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(10,30)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(10,30)
\uput[d](10,0.2){Nombre de}
\uput[d](10,-0.5){DVD loués}
\rput{90}(-0.8,28){Prix en euro}
\end{pspicture}
\end{document}