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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small avril 2012}
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\begin{center}
 {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry   avril 2012~\decofourright
}}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points }

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110~cm de longueur et de 88~cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante :

\medskip
 
\textbf{\og Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte. \fg}

\medskip

 
\begin{enumerate}
\item Peut-il choisir de découper des plaques de 10~cm de côté ? Justifier votre réponse. 
\item Peut-il choisir de découper des plaques de 11~cm de côté ? Justifier votre réponse. 
\item On lui impose désormais de découper des carrés les plus grands possibles. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle sera la longueur du côté d'un carré ? 
		\item Combien y aura-t-il de carrés par plaque ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation}

\medskip
 
La note de restaurant suivante est partiellement effacée.  

Retrouvez les éléments manquants; en présentant les calculs effectués dans le tableau fourni en \textbf{Annexe 1}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|X>{\raggedleft \arraybackslash}X|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{RESTAURANT \og la Gavotte \fg }\\ \hline
4 menus à 16,50~\euro{} l'unité	& \ldots\ldots \\ 
1 bouteille d'eau minérale 		&\ldots\ldots\\ 
3 cafés à 1,20~\euro{} l'unité	&\ldots\ldots\\  
\textbf{Sous total} 			&\ldots\ldots\\ 
Service 5,5\:\% du sous total 	&4,18~\euro{}\\ 
\textbf{Total} 					&\ldots\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Dans un pot au couvercle rouge on a mis 6 bonbons à la fraise et 10 bonbons à la menthe.
 
Dans un pot au couvercle bleu on a mis 8 bonbons à la fraise et 14 bonbons à la menthe.
 
Les bonbons sont enveloppés de telle façon qu'on ne peut pas les différencier.
 
Antoine préfère les bonbons à la fraise.
 
Dans quel pot a-t-il le plus de chance de choisir un bonbon à la fraise ?
 
Justifier votre réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points }

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Un jeune berger se trouve au bord d'un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord inférieur du puits et le fond du puits pour en estimer la profondeur.

Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.

\begin{enumerate}
\item En s'aidant du schéma ci-dessous (il n'est pas à l'échelle), donner les longueurs CB, FG, RB en mètres
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,9.5)
%\psgrid
\psline[linewidth=2pt](0,6)(3,6)\psline[linewidth=2pt](7,6)(10,6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillstyle=vlines](0,6)(10,6)(10,0)(0,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](3.4,6.1)(6.6,6.1)(6.6,3)(3.4,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,8.5)(3.4,8.5)(3.4,3)(6.6,3)(6.6,8.5)(7,8.5)(7,2)(3,2)(3,8.5)
\psline{<->}(3.4,6.5)(6.6,6.5)\uput[u](5,6.5){diamètre}\uput[d](5,6.5){75 cm}
\psline{->}(6.,4)(6.6,4)\psline{->}(8.2,4)(7,4)\uput[u](9.15,4){épaisseur du mur : 20 cm}
\psline(3.4,3)(7,9.2)\psline(7,8.5)(7,9.2)\rput(9,9.2){hauteur du regard : 1,80 m}
\psline[linewidth=0.2pt](7,8.5)(8.5,8.5)\rput(9.,8.75){hauteur du rebord : 1 m}
\uput[ur](3.4,3){F}\uput[ul](6.6,8.5){C}\uput[dr](7,8.5){B}\uput[dr](7,3){G}
\rput(10.3,6){sol}\psline[linewidth=0.2pt](2.5,3)(7.5,3)\uput[ul](7,9.2){R}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculer la profondeur BG du puits. 
\item Le berger s'aperçoit que la hauteur d'eau dans le puits est 2,60 m.
 
Le jeune berger a besoin de 1 m$^3$ d'eau pour abreuver tous ses moutons. 

En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?
\end{enumerate}
 
\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Voici la figure à main levée d'un quadrilatère : 
\begin{enumerate}
\item Reproduire en vraie grandeur ce quadrilatère.
\item Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange ? 
\item Marie soutient que OELM est un carré, mais Charlotte est sûre que ce n'est pas vrai.
 
Qui a raison ? Pourquoi ?
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\def\paral{\psline(-0.1,0.1)(0.1,-0.1)\psline(-0.05,0.1)(0.15,-0.1)}
\begin{pspicture}(5,4)
%\psgrid
\psdots(0.25,3.5)(4,3.75)(4.75,0.5)(1,0.25)%OELM
\pscurve(0.25,3.5)(2.2,3.625)(4,3.75)
\pscurve(4,3.75)(4.5,2.2)(4.75,0.5)
\pscurve(4.75,0.5)(2.8,0.3)(1,0.25)
\pscurve(1,0.25)(0.6,1.8)(0.25,3.5)
\pscurve(1,0.25)(2.6,1.9)(4,3.75)

\rput(2.2,3.6){\paral}\rput{80}(4.45,2.4){\paral}\rput(2.8,0.3){\paral}\rput{80}(0.6,1.8){\paral}
\uput[ul](0.25,3.5){O}\uput[ur](4,3.75){E}\uput[dl](1,0.25){M}\uput[d](4.75,0.5){L}
\rput(2.8,0.7){4 cm}\rput{45}(2.5,2.3){5,6 cm}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points }

\bigskip  

\parbox{0.5\linewidth}{On rappelle que l'aire d'un triangle se calcule par la formule :

\begin{center}$\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} $\end{center} 
}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\pspolygon(0,0.5)(5,0.5)(2,3.5)
\psline(2,3.5)(2,0.5)
\psframe(2,0.5)(2.3,0.8)
\uput[d](2.5,0.5){base}\uput[r](2,2){hauteur}
\end{pspicture}}

\medskip

Rémy dispose de 96~m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle forme donner à son enclos pour que celui-ci ait \textbf{la plus grande surface possible}.
 
\begin{center}\textbf{Toutes les parties sont indépendantes} \end{center} 

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Sa première idée est de réaliser un rectangle avec les 96 m de grillage.
 
Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item la longueur est le double de la largeur. 
\item son périmètre est 96~m.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Calculer l'aire de ce rectangle de 96~m de périmètre. 

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Sa deuxième idée est de réaliser un carré. 

Calculer l'aire d'un carré de 96~m de périmètre. 

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Sa troisième idée est de réaliser un hexagone régulier. 

Le schéma à main levée ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de 
centre 0 et de rayon 16 m. Le segment [OH] est une hauteur du triangle équilatéral OBA.}\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\psdots(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300)%CDEFAB
\pscircle(0,0){2}
\pscurve(2;0)(1.7;30)(2;60)
\pscurve(2;60)(1.8;90)(2;120)
\pscurve(2;120)(1.7;150)(2;180)
\pscurve(2;180)(1.8;210)(2;240)
\pscurve(2;240)(1.7;270)(2;300)
\pscurve(2;0)(1.8;-30)(2;300)
\pscurve(0;0)(1;2)(2;0)
\pscurve(0;0)(1;59)(2;60)
\pscurve(0;0)(1;121)(2;120)
\pscurve(0;0)(1;179)(2;180)
\pscurve(0;0)(1;242)(2;240)
\pscurve(0;0)(1;298)(2;300)
\pscurve(0;0)(0.8;-92)(1.732;-90)
\uput[r](2;0){C}\uput[ur](2;60){D}\uput[ul](2;120){E}\uput[l](2;180){F}\uput[dl](2;240){A}\uput[dr](2;300){B}\uput[ul](1.732;-90){H}\uput[u](0,0){O}
\psframe(0,-1.7)(0.2,-1.5)
\end{pspicture}}


\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur OH, exprimée en m. 

En donner l'arrondi au centimètre près. 
\item Utiliser ce résultat pour calculer l'aire du triangle OBA, exprimée en m$^2$ et arrondi au 1/10. 
\item En déduire l'arrondi à l'unité de l'aire d'un hexagone régulier de 96~m de périmètre. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 4}

\medskip
 
Sa quatrième idée est de réaliser un octogone régulier de 96~m de périmètre. 

La figure en \textbf{annexe 2} représente le plan réalisé par Rémy.
 
Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle IMN.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que MN = 12~m dans la réalité. 
\item En prenant pour échelle 1~cm pour 3~m, représenter dans le cadre en \textbf{annexe 3} le triangle IMN, puis le point K. Laisser apparents tous les traits de construction.
\item Mesurer sur votre plan la longueur IK.
 
Combien de mètres cela représente-t-il dans la réalité ? 
\item En déduire l'aire du triangle MIN, puis, à partir de cette valeur, calculer l'aire d'un octogone régulier de 96~m de périmètre.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie 5}

\medskip

Les recherches ont permis à Rémy de remarquer que l'aire d'un polygone régulier de 96~m de périmètre semble augmenter quand on augmente le nombre de ses côtés. Il imagine qu'un enclos circulaire aurait peut-être une surface encore plus grande.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de périmètre 96~m ? 
\item En déduire l'aire d'un disque ayant pour périmètre 96~m. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} \textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE} \end{center}

\vspace{1cm}
 
\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip
 
\textbf{Activités numériques, exercice 2}

\bigskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\hline
RESTAURANT \og la Gavotte \fg	&				&Calculs effectués\\ \hline 
4 menus à 16,50~\euro{} l'unité	&\ldots \ldots	&\dotfill\\ 
1 bouteille d'eau minérale		&\ldots \ldots	&\dotfill\\ 
3 cafés à 1,20~\euro{} l'unité 	&\ldots \ldots	&\dotfill\\
\textbf{Sous total}				&\ldots \ldots	&\dotfill\\ 
Service 5,5\:\% du sous total	& 4,18~\euro{}	&\dotfill\\ 
\textbf{Total}					&\ldots \ldots	&\dotfill\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
 
\textbf{ANNEXE 2}
\textbf{ Problème, partie 4}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psdots(2;0)(2;45)(2;90)(2;135)(2;180)(2;225)(2;270)(2;315)(2;0)(2;0)(0;0)%CDEFAB
\pscircle(0,0){2}\psline(0;0)(1.852;22.5)
\uput[r](2;0){M}\uput[ur](2;45){N}\uput[ul](2;90){P}\uput[l](2;135){Q}\uput[dl](2;180){R}\uput[dl](2;225){S}\uput[d](2;-90){T}\uput[dr](2;-45){U}\uput[ul](0;0){I}\uput[ul](1.732;22.5){K}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](2;0)(2;45)(2;90)(2;135)(2;180)(2;225)(2;270)(2;315)(2;0)
\psline[linewidth=1.25pt](2;0)(2;180)
\psline[linewidth=1.25pt](2;45)(2;225)
\psline[linewidth=1.25pt](2;90)(2;270)
\psline[linewidth=1.25pt](2;135)(2;315)

\end{pspicture}

\end{center}

\bigskip

\textbf{ANNEXE 3 Problème, partie 4. 2.}

\vspace{0,5cm}

\begin{pspicture}(12,8)
\psframe(12,8)
\end{pspicture} 
\end{document}