\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Pondichéry avril 2004},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry avril 2004~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

On pose :

\[\text{A}  = - \dfrac{12}{7} + \dfrac{2}{7} \div \dfrac{3}{5} \qquad \qquad \text{B} = \dfrac{15 \times \left(10^{-3}\right)^2}{6 \times 10^5 \times 10^3}\]

\begin{enumerate}
\item Exprimer A sous forme de fraction irréductible en indiquant toutes les étapes des calculs. 
\item Donner l'écriture scientifique de B en indiquant toutes les étapes des calculs. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression : $C = (x + 5)^2 - 7x(x + 5)$.

\medskip 
\begin{enumerate}
\item Développer, puis réduire $C$.
\item Factoriser $C$. 
\item Résoudre l'équation $(x + 5) (- 6x + 5) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère les nombres suivants : 

D $ = \sqrt{63} \times  11 \sqrt{7} \times 2\sqrt{175}$

E $ = \sqrt{63} - 11\sqrt{7} + 2\sqrt{175}$

Écrire les nombres D et E sous la forme $p\sqrt{7}$, où $p$ est un nombre entier. 

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Déterminer le plus grand diviseur commun à \nombre{4464} et \nombre{5828} en faisant apparaître la méthode utilisée. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{OAB un triangle rectangle en A. 

D appartient à la droite (OB) et C appartient à la droite (OA).

On donne  en millimètres : 

OC = 28 ; 	CD = 21 ;  OD = 35 ; OA = 42
  
\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ODC est rectangle en C.
\item Démontrer que les droites (DC) et (AB) sont parallèles.
\item Calculer les longueurs OB et AB. 
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(6,5)
\pspolygon(6,2.3)(6,0.9)(0.95,4)(0.9,2.9)%ABDC 
\uput[u](6,2.3){A}  \uput[d](6,0.9){B}  \uput[d](0.9,2.9){C}  \uput[u](0.95,4){D}  \uput[u](3.2,2.6){O}
\pspolygon*(6,2.3)(6,2.05)(5.8,2.1)(5.8,2.35)  
\end{pspicture}}

(La figure donnée n'est pas en vraie grandeur). 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un cône a pour rayon de base OM = 3 cm et pour hauteur OS = 14 cm.

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item On appelle V le volume de ce cône en cm$^3$. Montrer que V $= 42 \pi$. 
\item Dans ce cône, on verse d'abord du chocolat fondu jusqu'au point O$'$, puis on complète avec de la crème glacée à la pistache jusqu'au point O.
 
Le cône formé par le chocolat fondu, de volume V$'$ en cm$^3$, est une réduction du cône initial, de volume V en cm$^3$.
 
Sachant que O$'$S vaut 3,5 cm, par quel calcul simple passe-t-on de OS à O$'$S ? de V à V$'$ ?

En déduire la valeur de V$'$ en fonction de $\pi$. 
\item Quel  est le pourcentage de chocolat fondu dans ce cône ?
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(4,6.8)
\psline(0,5.7)(1.8,0.8)(3.6,5.7)\psline[linestyle=dotted](0,5.7)(3.6,5.7)
\psline[linestyle=dotted](1.8,5.7)(1.8,0.8)
\psline[linestyle=dotted](1.1,2.65)(2.5,2.65)
\psellipse(1.8,5.7)(1.8,0.85) \psellipse[linestyle=dotted](1.8,2.65)(0.65,0.25)
\uput[d](1.8,0.8){S} \uput[u](1.8,5.7){O}\uput[ur](1.8,2.65){O$'$}
\uput[r](3.5,5.7){M}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant le quadrillage fourni (Annexe 1), construire : 
	\begin{enumerate}
		\item La figure F$_{2}$ image de la figure F$_{1}$ par la symétrie d'axe (AB).
		\item La figure F$_{3}$ image de la figure F$_{1}$ par la symétrie de centre A.
		\item La figure F$_{4}$ image de la figure F$_{3}$ par la symétrie de centre B. 
	\end{enumerate}
\item Quelle est la transformation qui permet de passer de la figure F$_{1}$ à la figure F$_{4}$ (on précisera les éléments caractéristiques) ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Ce problème est accompagné de deux tableaux à compléter sur la feuille \og Annexe 2 \fg{} fournie  à joindre à votre copie. 

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Une association de jeunes dessinateurs décide de publier un livret présentant les ?uvres de chacun de ses membres. Ils ont le choix entre les tarifs de deux imprimeurs : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] Tarif A  : 2,4 ~\euro{} par exemplaire. 
\item[] Tarif B  : 2,16~\euro{} par exemplaire auxquels on ajoute 30~\euro{} de frais de livraison. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $x$ le nombre d'exemplaires imprimés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau 1 sur la feuille « Annexe 2 ». 
\item Écrire, en fonction de $x$, le prix payé pour le tarif A, puis pour le tarif B. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Sur une  feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal en plaçant l'origine en bas à gauche. 

Prendre 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 exemplaires
\item  sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 50 euros. 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire dans le repère précédent les représentations graphiques des fonctions suivantes :

$p_{1} ~:~x \longmapsto  2,4x$ 

$p_{2} ~:~x \longmapsto 2,16x + 30$
\item Les deux représentations graphiques se coupent en un point M. Calculer les coordonnées de M. 
\item Déduire des questions 1. et 2. la condition pour laquelle le tarif B est le plus intéressant.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Finalement, l'association a imprimé et vendu 240 exemplaires du livret de trois façons différentes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item par l'intermédiaire du site internet de l'association ; 
\item par l'intermédiaire d'un libraire ; 
\item par l'intermédiaire des membres de l'association. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le site internet de l'association a permis de vendre 30\:\% du total des livres imprimés, 
\item le libraire a vendu 60 exemplaires, 
\item le reste a été vendu par les membres de l'association,  
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

compléter le tableau 2 sur la feuille « Annexe 2 ».
\item Représenter sur la feuille « Annexe 2 » la répartition des ventes du livret par un diagramme circulaire.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(20,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(20,20)
\pspolygon[linewidth=1.5pt](2,7)(5,11)(2,11)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](9,8)(12,11)
\uput[dr](3,8){F$_{1}$} \uput[ul](9,8){A} \uput[ul](12,11){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre  d'exemplaires imprimés&50 && \\ \hline
Prix selon le tarif A en  euros&&& 540 \\ \hline
Prix selon le tarif B en  euros&& 354 &\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Tableau 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Intermédiaire 				&libraire 	&site internet 	&membres de l'association 	&Total \\ \hline
Nombre d'exemplaires vendus &60			&				&							&240\\ \hline
Pourcentage du total 		&			&30 			&							&100\\ \hline
\end{tabularx}
 
\vspace{1.5cm}

\textbf{Diagramme circulaire (Troisième partie du problème - question 2) }
\end{center}
\end{document}