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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{avril 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry avril 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : A $=	\dfrac{6}{3} -  \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}$ ~et  B $ = \dfrac{5 \times 10^8\times 4}{0,25 \times 10^{-4}}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner A sous la forme d'une fraction irréductible en précisant toutes les étapes des calculs.
\item   Donner l'écriture scientifique de B en précisant toutes les étapes des calculs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en cm.
La mesure du côté du carré est $\sqrt{3}+3$. Les dimensions du rectangle sont $\sqrt{72} + 3\sqrt{6}$ et $\sqrt{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du carré ; réduire l'expression obtenue. 
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}'$ du rectangle.
\item Vérifier que $\mathcal{A} = \mathcal{A}'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y& =& 66\\
x + 3y &=& 57\\
\end{array}\right.\]

\item  Vérifier que pour la solution $(x~;~y)$ trouvée, on a  $\dfrac{x}{y}=
\dfrac{4}{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par une classe de Troisième de 25 élèves au dernier devoir de mathématiques

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(11,6)
\psaxes[Ox=7]{->}(0,0)(11,6)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(11,\n)}
\psline[linewidth=3pt](1,0)(1,2)
\psline[linewidth=3pt](2,0)(2,3)
\psline[linewidth=3pt](3,0)(3,1)
\psline[linewidth=3pt](4,0)(4,3)
\psline[linewidth=3pt](5,0)(5,5)
\psline[linewidth=3pt](6,0)(6,4)
\psline[linewidth=3pt](7,0)(7,1)
\psline[linewidth=3pt](8,0)(8,3)
\psline[linewidth=3pt](9,0)(9,2)
\psline[linewidth=3pt](10,0)(10,1)
\uput[d](12,0){Notes}\uput[l](0,6){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip


\begin{enumerate}
\item  Calculer la moyenne des notes.
\item  Déterminer la médiane des notes.
\item  Calculer le pourcentage des élèves ayant obtenu une note strictement supérieure à 13.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que:
AC = 3 et BC = 6.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire la figure; la compléter au fur et à mesure.
\item  Calculer la valeur exacte de AB.
\item  Calculer $\cos \widehat{\text{ACB}}$  ; en déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\item  Tracer la médiatrice du segment [BC] ; elle coupe la droite (AC) en E et la droite (AB) en O. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le triangle BEC est isocèle, puis démontrer qu'il est équilatéral. 
		\item  Démontrer que la droite (BA) est la médiatrice du segment [EC]. 
		\item  Citer deux transformations du plan par lesquelles le triangle BCO a pour image le triangle BOE ; en préciser les éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\parbox{0.6\textwidth}{Un tronc d'arbre a la forme d'un cylindre de 5 m de hauteur, dont la base est un disque de centre O et de 20 cm de rayon.

Dans ce tronc, on veut tailler une poutre parallélépipédique de 5 m de hauteur dont la base est un carré ABCD, de centre O et de 40 cm de diagonale.} \hfill
\parbox{0.38\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,2){2}
\psframe(0.5858,0.5858)(3.41421,3.41421)
\psline[linestyle=dashed](0.5858,0.5858)(3.41421,3.41421)
\psline[linestyle=dashed](0.5858,3.41421)(3.41421,0.5858)
\uput[ul](0.5858,3.41421){A}  \uput[dl](0.5858,0.5858){D}
\uput[dr](3.41421,0.5858){C}  \uput[ur](3.41421,3.41421){B}  
\uput[u](2,2){O}  
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume exact du tronc d'arbre puis son arrondi au cm$^3$.
\item  Montrer que l'aire du triangle AOB est égale à 200 cm$^2$ ; en déduire l'aire du carré ABCD, puis le volume de la poutre.
\item  Calculer le pourcentage de bois utilisé. Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; I, J).
\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé, placer les points A(2~;~4), B(8~;~8), C(10~;~5) et 
D(4~;~1).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$.
		\item Calculer les longueurs AC et DB. 
		\item Préciser la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\item On appelle K le point d'intersection des diagonales du quadrilatère ABCD. Déterminer les coordonnées du point K.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

ABC est un triangle tel que :

\[\text{AB = 5cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm.}\]

\medskip

\textbf{\textsc{Première partie}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Première figure}

Dessiner le triangle ABC ; placer le point E du segment [AB] tel que
	BE = 3 cm ;  tracer la parallèle à la droite (AC) passant par E ; elle coupe [BC] en F.
\item  Calculer les longueurs FE et BF.
\item  Calculer la longueur FC.

Le triangle EFC est-il isocèle en F ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Deuxième partie}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Deuxième figure}

Dessiner le triangle ABC ; placer un point E du segment [AB]. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par E ;  elle coupe [BC] en F. On note $x$ la longueur BE  ; on a donc $0 \leqslant x \leqslant 5$.
\item  Exprimer les longueurs FE et BE en fonction de $x$ ; en déduire que

\[\text{FC} = 8 - 1,6x.\]

\item  Résoudre l'équation $8 - 1,6x = 2x$. Donner la solution sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  On prend pour $x$ la valeur trouvée à la question précédente.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le triangle EFC est isocèle de sommet F.
		\item Prouver que la droite (CE) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Troisième partie}}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f(x) = 2x \quad\text{et}\quad g(x) = 8  - 1,6x.\]

\begin{enumerate}
\item  Construire les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans le repère fourni ci-après en se limitant à des valeurs de $x$ comprises entre 0 et 5.
\item  Utiliser ces graphiques pour déterminer un encadrement par deux nombres entiers consécutifs de la solution trouvée dans la question 3 de la deuxième partie ; laisser apparents les traits utilisés pour répondre à cette question.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(6,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=15]{->}(0,0)(6,12)
\uput[d](6,0){$x$} \uput[l](0,12){$y$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}