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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%réglages de pages
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Brevet des collèges}
\lfoot{Centres étrangers Liban}
\rfoot{juin 2010}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 \begin{center}
{\Large \textbf{Brevet Centres étrangers Liban juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

On propose deux programmes de calcul 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X}
\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c}{Programme B}\\
Choisir un nombre. &Choisir un nombre.\\ 
Ajouter 5.& Soustraire 7.\\ 
Calculer le carré du résultat obtenu.& Calculer le carré du résultat obtenu.\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit $5$ comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est $4$. 
\item On choisit $-2$ comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ? 
		\item Quels nombres faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ?
	\end{enumerate} 
\item Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la m\^eme probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge. 
\item Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune. 
\item Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes.
 
Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ? 
\item On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10~boules rouges, 6~boules noires, 4~boules jaunes et les boules bleues. 

On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{1}{5}$, calculer le nombre de boules bleues.  
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire \`a choix multiples (QCM.) Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.}

\medskip
 
Pour chaque question, indiquer sur la copie son numéro et recopier la réponse exacte.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = - 2x + 3$}\\ \hline 
\textbf{1.} $f(x)$ est de la forme $ax + b$.
 La valeur de $a$ est : &3&$-2 $&2\\ \hline
\textbf{2.} L'image de $0$ par $f$ est : &1& 1,5& 3\\ \hline
\textbf{3.} La droite qui représente la fonction $f$ passe par le point&
A$(-1~;~1)$ &B$(-1~;~5)$& C$(1~;~-18)$\\ \hline
\textbf{4.} L'antécédent de $4$ par la fonction $f$ est :&$-5$&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{7}{2}$&$- \dfrac{1}{2}$\\ \hline 
\textbf{5.} La droite qui représente la fonction $f$ coupe l'axe des ordonnées en&D(1,5~;~0) &E(0~;~3)&F(0~;~2)\\ \hline
\end{tabularx} 

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Compléter le tableau donné en annexe.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(10,4)
\pspolygon(0.3,1.9)(1,0.2)(8.5,3.4)(9.7,0.85)%EDAC
\rput{19}(1,0.2){\psframe(0.25,0.25)}
\rput(5,-0.5){Figure 1}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0.3,1.9)(1,0.2)(8.5,3.4)(9.7,0.85)(4.03,1.52)
\uput[u](0.3,1.9){E} \uput[dr](1,0.2){D} \uput[ur](8.5,3.4){A} \uput[dr](9.7,0.85){C} \uput[u](4.05,1.55){B} 
\rput(5,3.5){(AC) // (DE)}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\pscircle(3.3,2.6){2.55}
\pspolygon(1,1.5)(5.45,1.2)(3.3,5.15)
\psline(5.45,1.2)(0.8,3.2)
\uput[l](1,1.5){A} \uput[r](5.45,1.2){C} \uput[u](3.3,5.15){E} \uput[ul](0.8,3.2){B}
\psarc(3.3,5.15){6mm}{-120}{-60}\rput(3.3,4){60 \degres}
\psarc(5.45,1.2){6mm}{155}{176}\rput(4.2,1.5){20 \degres}
\rput(1,0.25){Figure 2} 
\end{pspicture}\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.5)
\pspolygon(1.8,0.6)(4.6,0.6)(1.4,3.9)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.8,0.6)(4.6,0.6)(1.4,3.9)
\uput[dl](1.8,0.6){A} \uput[dr](4.6,0.6){B} \uput[u](1.4,3.9){C}
\uput[d](3.2,0.6){4,5 cm} \uput[ur](3.1,2.4){7,5 cm}\uput[l](1.5,2.5){5,5 cm}
\rput(2.5,-0.5){Figure 3}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(5,4.5)
\pspolygon(0.7,0.5)(3.5,1.2)(4.1,4)(1.3,3.3)%DCBE
\psline(0.7,0.5)(4.1,4)%DB
\psline(3.5,1.2)(1.3,3.3)%EC
\uput[ul](0.7,0.5){D} \uput[dr](3.5,1.2){C} \uput[ur](4.1,4){B} \uput[ul](1.3,3.3){E} \uput[u](2.4,2.3){A} \rput(2.5,-0.5){Figure 4}
\rput(3.2,0){BCDE est un losange de centre A}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Rappel : volume d'une pyramide =} $\dfrac{(aire~ de~ la~ base) \times  hauteur}{3}$

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
ABCDEFGH est un cube d'arête AB = 12 cm.

I est le milieu du segment [AB] ;
 
J est le milieu du segment [AE] ;
 
K est le milieu du segment [AD]·
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle AIK. 
\item Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI. 
\item Quelle fraction du volume du cube représente 
le volume de la pyramide AIKJ ? Écrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur $1$. 
\item Tracer le patron de la pyramide AIKJ. 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(4.1,4.1)%EHDA
\psline(4.1,0)(5.3,1.2)(5.3,5.3)(4.1,4.1)%HGCD
\psline(5.3,5.3)(1.2,5.3)(0,4.1)%CBA
\psline(0.6,4.7)(2.05,4.1)(0,2.05)%IKJ
\psline[linestyle=dashed](0.6,4.7)(0,2.05)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1.2)(5.3,1.2)%EFG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.2)(1.2,5.3)%FB
\uput[ul](0,4.1){A} \uput[ul](1.2,5.3){B} \uput[ur](5.3,5.3){C} 
\uput[ul](4.1,4.1){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[l](1.2,1.2){F} 
\uput[r](5.3,1.2){G} \uput[dr](4.1,0){H} \uput[ul](0.6,4.7){I} 
\uput[l](0,2.05){J} \uput[u](2.05,4.1){K}  
\end{pspicture}}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Probl\`eme}\hfill 12 points}

\medskip

Questions enchaînées

\bigskip
 
\emph{On pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème}

\medskip
 
Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le centimètre.

\medskip
  
ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et ABC = 120~\degres.
 
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H.
 
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psline(0,0.5)(10,0.5)
\pspolygon(0,0.5)(5,0.5)(6.5,3.2)%CBA
\psline[linestyle=dashed](6.5,3.2)(6.5,0.5)
\psframe(6.5,0.5)(6.75,0.75)
\uput[ur](6.5,3.2){A} \uput[d](5,0.5){B} \uput[d](0,0.5){C} \uput[d](6.5,0.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure en vraie grandeur. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$. En déduire que BH = 3. 
		\item Prouver que AH $= 3\sqrt{3}$, puis calculer l'aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte). 
		\item  Prouver que AC = 14.
	\end{enumerate} 
\item M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5.
 
La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la figure. 
		\item Prouver que NM $= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 
 
		\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
\medskip
 
Déterminer l'aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l'unité près de cette aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\medskip
 
\textbf{ANNEXE}

\bigskip
 
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Figure 1 &Figure 2 &Figure 3 &Figure 4\\ \hline 
\begin{tabular}{l}Le triangle ABC est \\
rectangle en A ?\\\end{tabular} &\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}\\ \hline
\begin{tabular}{l}
Numéro(s) de la ou \\
des propriétés permet-\\
tant de le prouver\\\end{tabular}
 &&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}
 
\textbf{Liste des propriétés :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. 
\item Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. 
\item Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle. 
\item  Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180~\degres. 
\item Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre. 
\item Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange. 
\item Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure. 
\item Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté. 
\end{enumerate}
\end{document}