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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{septembre 2002}}
\rfoot{\small{Reims}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,15cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims~\decofourright\\septembre 2002}}
\end{center}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications.}

\emph{Le barème en tiendra compte}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

On donne A $ = (2x - 3)(x - 4) - (2x - 3)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire A.
\item Calculer A lorsque $x = \dfrac{3}{2}$, puis lorsque $x = 3\sqrt{2}$.
\item Factoriser A.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3) (- x - 1) =  0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Au cours de la diffusion d'un film dans une salle de cinéma de 288 places, dont toutes les places sont occupées, on a noté, dans un tableau, la répartition par tranches d'âges de tous les spectateurs.
\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau ci-dessous en prenant soin de détailler le calcul de la fréquence en pourcentage de la classe d'âge [15 ; 25[.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classe d'âge&	Effectif&	Fréquence en pourcentage\\ \hline
[15 ; 25[&	90& \\ \hline
[25 ; 35[&	54&\\ \hline
[35 ; 45[	&72&\\ \hline
[45 ; 55[&&\\ \hline
[55 ; 65[	&&	12,50\\ \hline
Total&	288&	100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Calculer la moyenne de cette série statistique, en remplaçant chaque classe par sa valeur centrale (par exemple, la classe [15; 25[ sera remplacée par la valeur 20, la classe [25 ; 35[ sera remplacée par la valeur 30, etc.).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

Soit $f$ la fonction affine telle que $f(x) = \dfrac{2}{3} x + 1$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'image de 3 par la fonction $f$ ? Quelle est l'image de $- 3$ ?
\item  Sur une feuille de papier millimétré, tracer la droite qui représente la fonction $f$ (Sur les deux axes du repère orthonormal, l'unité de longueur choisie est 1~cm.)
\item  Déterminer graphiquement le nombre $x$ tel que $f(x) = 5$ et retrouver le résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas à refaire sur la copie, Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{
A, B et C sont trois points d'un cercle $\mathcal{C}$ (voir figure).\\
On sait que AB =  3 cm.
 
La hauteur AH mesure 2,5~cm.
 
On trace le diamètre [AE].

\medskip
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la nature du triangle ACE ? Justifier la réponse.
\item  Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{ABC}}$  et	$\widehat{\text{AEC}}$ sont égaux.
\item  En utilisant le triangle ABH, calculer la valeur exacte de $\sin \widehat{\text{ABH}}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AEC}}$ arrondie au degré
 \end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(5,5)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}
\pspolygon(0.5,1)(4.43,1)(1.2,4.6)
\psline(1.2,4.6)(1.2,1)
\psline(1.4,1)(1.4,1.2)(1.2,1.2)
\psline[linestyle=dashed](1.2,4.6)(3.8,0.4)
\qdisk(2.5,2.5){1pt}
\uput[ul](1.2,4.6){A}   \uput[dl](0.5,1){B}   \uput[dr](4.43,1){C} 
\uput[dr](3.8,0.4){E}   \uput[d](1.2,1){H}   \uput[ur](2.5,2.5){O} 
 \end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle ABD tel que AB =  6~cm,  AD = 8~cm et BD =  10~cm.
\item   Démontrer que ce triangle est rectangle.
\item   Placer le point C tel que $\vect{\text{BC}} = \vect{\text{AD}}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
\item   Placer sur le segment [AB] le point K tel que AK = 4,5~cm, puis tracer la parallèle à (BD) passant par K. Elle coupe la droite (AD) en S. Calculer la longueur du segment [AS].
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{PQRS est un carré. La flèche indique  le sens direct.

 Pour chacune des questions Q$_{1}$,  Q$_{2}$,  Q$_{3}$,  Q$_{4}$, une seule réponse est exacte. \\Recopier, sans justification, cette bonne réponse sur la copie.} \hfill
 \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(3,3)
\psframe(3,3) \psarc{->}(1.75,1.5){2cm}{-25}{25}
\uput[ul](0,3){P}   \uput[ur](3,3){Q}  \uput[dr](3,0){R}  \uput[dl](0,0){S}  
 \end{pspicture}}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{X|}}\hline
Q$_{1}$ &$\vect{\text{PQ}}+\vect{\text{QR}}=\vect{\text{PR}}$ & $\vect{\text{SR}} + \vect{\text{RQ}} = \vect{\text{QS}}$ &	$\vect{\text{SP}} +\vect{\text{PQ}}= \vect{\text{SR}}$\\ \hline
Q$_{2}$&$\vect{\text{SP}} + \vect{\text{SR}}= \vect{\text{QS}}$&$\vect{\text{RS}}+ \vect{\text{RQ}} = \vect{\text{RP}}$&$\vect{\text{RQ}} + \vect{\text{RP}} = \vect{\text{RS}}$\\ \hline
Q$_{3}$&L'image de P par la	translation de vecteur $\vect{\text{SR}}$ est R &R  a pour image S par la translation de vecteur $\vect{\text{QP}}$&	Les vecteurs  $\vect{\text{PR}}$ et $\vect{\text{SQ}}$  sont égaux.\\ \hline	
Q$_{4}$&L'image de Q par la rotation de centre R et d'angle 90\degres{}  dans le sens indiqué sur la figure est P&L'image de Q par la  rotation de centre R et d'angle 45\degres{}  dans	le sens indiqué sur la figure est P &L'image de Q par la rotation de centre R et d'angle 90\degres{} dans le sens indiqué sur la figure est S.\\ \hline
 \end{tabularx}

\newpage

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\bigskip	

\textbf{Première partie}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{ABCDEF est un hexagone régulier	inscrit dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre
O et de rayon R = 26~cm. On rappelle que tous les côtés de cet
hexagone mesurent 26~cm (figure 1 ci-contre).

L'hexagone ABCDEF est la base d'une
pyramide régulière de sommet S et
de hauteur SO = 83~cm (figure 2).

Le point H est le milieu de [AB].	(On rappelle que les faces latérales
de cette pyramide sont des triangles isocèles en S.)} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\rput(0,-2.75){\emph{Figure} 1}
\pscircle(0,0){2.5cm}
\psline(1.8,1.2)(1.62,1.11)(1.7,1)
\SpecialCoor
\pspolygon(2.5;0)(2.5;60)(2.5;120)(2.5;180)(2.5;240)(2.5;300)
\psline(0;0)(2.165;30)
\uput[r](2.5;0){A} \uput[ur](2.5;60){B} \uput[ul](2.5;120){C} \uput[l](2.5;180){D} 
\uput[dl](2.5;240){E} \uput[dr](2.5;300){F} \uput[l](0;0){O} \uput[d](2.165;30){H} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item  Le triangle SOB est rectangle en O. Calculer SB$^2$.
\item  Que représente la droite (SH) pour le triangle SAB ? Justifier.
\item  Montrer que SH$ = 86$~cm.
\item  Calculer, en cm$^2$, l'aire du triangle SAB.
\item  En déduire que l'aire latérale de la pyramide (aire de la pyramide sans la base) est \np{6708} cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(4,4)
\pspolygon(0.08,1.2)(0,0.3)(1.29,0)(2.6,0.4)(2.58,1.2)(1.3,3.2)%EFABCSE
\psline(1.3,3.2)(0,0.3)%SF
\psline(1.3,3.2)(1.29,0)%SA
\psline(1.3,3.2)(2.6,0.4)%SB
\psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.35,0.75)(1.95,0.2)%SOH
\psline[linestyle=dashed](0.08,1.2)(1.5,1.5)(2.58,1.2)%EDC
\psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.5,1.5)%SD
\uput[d](1.29,0){A} \uput[dr](2.6,0.4){B} \uput[r](2.58,1.2){C} 
\uput[ur](1.5,1.5){D} \uput[l](0.08,1.2){E} \uput[ul](0,0.3){F} 
\uput[ur](1.35,0.75){O} \uput[dr](1.95,0.2){H} \uput[u](1.3,3.2){S} 
\uput[d](1.5,-0.5){\emph{Figure} 2} 
\end{pspicture} &
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(4,4) 
\pspolygon(0.08,1.2)(0,0.3)(1.29,0)(2.6,0.4)(2.58,1.2)(1.3,3.2)%EFABCSE
\psline(1.3,3.2)(0,0.3)%SF
\psline(1.3,3.2)(1.29,0)%SA
\psline(1.3,3.2)(2.6,0.4)%SB
\psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.35,0.75)%SOH
\psline[linestyle=dashed](0.08,1.2)(1.5,1.5)(2.58,1.2)%EDC
\psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.5,1.5)%SD
\psline(0.7,2.25)(0.7,1.8)(1.3,1.7)(1.92,1.85)(1.9,2.25)%E'F'A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](1.9,2.25)(1.4,2.45)(0.7,2.25)%C'D'E'
\uput[dl](1.3,1.7){A$'$} \uput[r](1.92,1.85){B$'$} \uput[ur](1.9,2.25){C$'$} 
\uput[ur](1.4,2.45){D$'$} \uput[ul](0.7,2.25){E$'$} \uput[dl](0.7,1.8){F$'$} 
\uput[d](1.29,0){A} \uput[dr](2.6,0.4){B} \uput[r](2.58,1.2){C} 
\uput[ur](1.5,1.5){D} \uput[l](0.08,1.2){E} \uput[ul](0,0.3){F} 
\uput[ur](1.35,0.75){O} \uput[dr](1.95,0.2){H} \uput[u](1.3,3.2){S}
\uput[d](1.5,-0.5){\emph{Figure} 3} 
\end{pspicture} &
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(4,4)
\psline(0.08,1.2)(0,0.3)(1.29,0)(2.6,0.4)(2.58,1.2)%EFABC
\psline(0.08,1.2)(0.7,2.25)(0.7,1.8)(0,0.3)%EE'F'F
\psline(0.7,1.8)(1.3,1.7)(1.29,0)%F'A'A
\psline(1.3,1.7)(1.92,1.85)(2.6,0.4)%A'B'B
\psline(1.92,1.85)(1.9,2.25)(2.58,1.2)%B'C'C
\psline(1.9,2.25)(1.4,2.45)(0.7,2.25)%C'D'E'
\psline[linestyle=dashed](0.08,1.2)(1.5,1.5)(2.58,1.2)%EDC
\psline[linestyle=dashed](1.4,2.45)(1.5,1.5)%D'D
\uput[d](1.29,0){A} \uput[dr](2.6,0.4){B} \uput[r](2.58,1.2){C} 
\uput[ur](1.5,1.5){D} \uput[l](0.08,1.2){E} \uput[ul](0,0.3){F} 
 \uput[dr](1.95,0.2){H}
\uput[dl](1.3,1.7){A$'$} \uput[r](1.92,1.85){B$'$} \uput[ur](1.9,2.25){C$'$} 
\uput[ur](1.4,2.45){D$'$} \uput[ul](0.7,2.25){E$'$} \uput[dl](0.7,1.8){F$'$} 
\uput[d](1.5,-0.5){\emph{Figure} 4} 
 \end{pspicture}  \\
 \end{tabularx}
 
\vspace{0,5cm}	

\textbf{Deuxième  partie}

\medskip

Pour fabriquer l'abat-jour d'une lampe, on a coupé cette pyramide d'un plan parallèle à la base (figure 3). On obtient ainsi un tronc de pyramide qui servira d'abat-jour (figure 4). Ainsi la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ est une réduction de la pyramide SABCDEF.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On donne SO$' = 33,2$ cm.

Calculer $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}$ et expliquer comment obtenir l'aire latérale de AB$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ à partir de l'aire latérale de SABDCDEF.

Calculer alors l'aire de l'abat-jour en cm$^2$.
\item  On suppose maintenant que SO$' = x$, avec $0 < x < 83$.

Montrer que l'aire $\mathcal{A}$ de l'abat-jour vérifie :

$\mathcal{A} = \np{6708} - \dfrac{\np{6708}}{\np{6889}}x^2$
\end{enumerate}
\end{document}