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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2001}}
\rfoot{\small{Reims}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Reims septembre 2001 \decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés soit des étapes de ca/ads, soit d'explications. Le barème en tiendra compte.}

\emph{Les quatre exercices sont indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les expressions numériques :

A $ = \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{6}$ \quad 	et  	B $= \dfrac{\left(10^5\right) \times 30 \times 10^{-2}}{5 \times 10^2}$.

Calculer A, et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Calculer B, et exprimer le résultat sous la forme d'un nombre entier.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soient les nombres
D $= \left(2\sqrt{5} + 2\right)\left(\sqrt{5} - 2\right)$ 	et E $ = \left(\sqrt{5} - 1\right)^2$.

Montrer, en développant, qu'ils sont égaux.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

On considère l'expression suivante : $F = (2x - 3)^2 - (2x - 3) (2 - x)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire l'expression $E$
\item  Factoriser $E$.
\item  Résoudre l'équation $(2x - 3) (3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le PGCD de $280$ et de $315$.
\item Le sol d'une pièce rectangulaire a pour dimensions 280 cm et 315 cm.\\
On veut le recouvrir entièrement de dalles carrées identiques dont le côté est un nombre entier de centimètres, sans faire de découpe.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la longueur du côté de la plus grande dalle possible.
		\item Combien de dalles faudra-t-il pour recouvrir ainsi toute la pièce.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(12,10)
\psframe(12,10)
\psline(0,1)(3,1) \psline(10,1)(12,1)
\psline(0,8)(3,8)   \psline(10,8)(12,8)  
\psline(0,9)(3,9)   \psline(10,9)(12,9) 
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,8)(\n,10)}
\multido{\n=10+1}{2}{\psline(\n,8)(\n,10)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=10+1}{3}{\psline(\n,0)(\n,1)}
\uput[d](6,-0.5){\emph{Le schéma ci-dessus n'est pas à l'échelle}}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{La figure représente une pyramide SABCD, de base le rectangle ABCD, dont l'arête [SD] est perpendiculaire à la face ABCD.

On donne :

AB = 72 mm, BC =  30 mm et SD~=~75~mm.

\emph{Cette figure n'est pas en vraie grandeur et elle n'est pas à refaire sur la copie.}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psline(4.6,1.1)(1.2,4.6)(3.4,0)(0,0)(1.2,4.6)%CSBAS
\psline(3.4,0)(4.6,1.1)%BC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1.1)(4.6,1.1)%ADC
\psline(0.6,2.4)(2.25,2.4)(2.8,2.9)%EFG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.1)(1.2,4.6)%DS
\psline[linestyle=dashed](0.6,2.4)(1.2,2.9)(2.8,2.9)%EHG
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3.4,0){B} \uput[r](4.6,1.1){C} 
\uput[dr](1.2,1.1){D} \uput[l](0.6,2.4){E} \uput[dr](2.35,2.5){F} 
\uput[ur](2.8,2.9){G} \uput[ul](1.7,2.9){H} \uput[u](1.2,4.6){S} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle ABCD, en mm$^2$. Calculer le volume de la pyramide SABCD, en mm$^3$.
\item  Calculer SA. Arrondir cette longueur au mm.

Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{QSD}}$ arrondie au degré.
\item  On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face ABCD, passant par le point H du segment [SD] situé à 50 mm de S.

Soit EFGH la section obtenue.

La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de réduction sous la forme d'une fraction irréductible.
		\item En déduire l'aire du rectangle EFGH en mm$^2$ et le volume de la pyramide SEFGH en mm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,3)
\pspolygon(0,0)(4,0)(5.5,2)(1.5,2)
\uput[ul](1.5,2){A}  \uput[ur](5.5,2){B}  \uput[dr](4,0){C}  \uput[dl](0,0){D}  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

ABCD un parallélogramme donné.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire le point E tel que $\vect{\text{AC}} = \vect{\text{DE}}$, puis le point F, image de E par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item  Quelle est la nature du quadrilatère DCFE ? Justifier la réponse.
\item  Construire 1e point H tel que 	$\vect{\text{CB}}+ \vect{\text{CF}} = \vect{\text{CH}}$.
\item  Montrer que 1e point C est le milieu commun des trois segments [AH], [BE] et [DH].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\emph{Les deux parties sont indépendantes, sauf pour la dernière question du problème.}

\emph{L'unité choisie, pour tout le problème est le centimètre.}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement (c'est-à-dire par le calcul) le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&2,4x\\
y & =& - 0,8x + 24\\
\end{array}\right.\]

\item  On pose : $f(x) =  2,4x$	et 	$g(x)  = - 0,8x + 24$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau :
		
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	& 0	&10\\ \hline
$f(x)$ 	& 	& \\ \hline
$g(x)$ 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Représenter les deux fonctions $f$ et $g$, pour $x$ compris entre 0 et 10, sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormal (unité 1 cm).
	\end{enumerate}
\item  Retrouver graphiquement le résultat de la question 1.\\
Pour cela, on fera apparaître de façon bien visible sur le graphique les
tracés nécessaires ainsi que les coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{ABC est un triangle tel que
(en centimètres)

AB =10,   BC = 8 et AC =  6} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,3.2)
\pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
\uput[u](0,3){A} \uput[ur](4,0){B} \uput[dl](0,0){C}
\end{pspicture}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. 
\item  M est un point quelconque do segment [AB].

La droite parallèle à la droite (BC) passant par M coupe le segment [AC] en D.
 
Trouver deux quotients égaux à $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}$	(on justifiera la réponse). 
\item   On pose AM $= x$ (on a donc $0 \leqslant x \leqslant 10$).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que AD $ =  0,6x$ 	et	MD $ =  0,8x$.
		\item  Exprimer MB et DC en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item   On veut chercher le point M du segment [AB] tel que les périmètres du triangle ADM et du trapèze BCDM soient égaux ; calculer
alors la valeur commune des deux périmètres.

Répondre à cette question en écrivant un système linéaire de deux
équations à deux inconnues et en résolvant celui-ci à l'aide de la première partie du problème.
\end{enumerate}
%%%%%  Fin Reims septembre 2001
\end{document}