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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  juin 2002}
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\rfoot{\small{Bordeaux}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet technologique - Bordeaux  juin 2002~\decofourright}}} \end{center}

\normalsize{}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center} 
\textbf{À traiter obligatoirement} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Effectuer les calculs suivants en précisant les étapes : 

\[\text{A} = - 7 - (2 - 7) + 8 \times \dfrac{1}{2} \qquad	\text{B} = 5(3 - 8) - 2(- 1 - 3)\]

\item  On donne les quatre fractions : 

\[\text{C} =  - \dfrac{1}{2} \qquad;\qquad 	\text{D} = 
\dfrac{7}{5}\qquad;\qquad \text{E} = -\dfrac{4}{3}\qquad;\qquad \text{F} = 
\dfrac{3}{10}\]

	\begin{enumerate}
		\item  Ranger ces fractions dans l'ordre croissant. 
		\item  Calculer : D + E. 
		\item  Calculer : E ~$\times$~ F. 

Les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles. 
\end{enumerate}
\item Calculer la valeur numérique de l'expression : G = 
$3,8 \times 10^5 \times 5 \times 10^3$. 

Donner le résultat :
	\begin{enumerate}
		\item  sous la forme d'un nombre décimal ;
		\item  en notation scientifique. 
	\end{enumerate}
\item  Développer et réduire :

\[\text{H} =  3(x - 5) + 5x\qquad ;\qquad \text{J} =  (x - 2)(x + 3)\]

\item  Résoudre les équations : 

$\bullet~8x - 5 = 3x + 2$ ;

$\bullet~\dfrac{5}{2} = \dfrac{y}{3}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{DEUXIÈME PARTIE\hfill  12 points}

\textbf{Le candidat doit traiter au choix soit l'exercice A, soit l'exercice B.}

\begin{center}\textbf{EXERCICE A : GÉOMÉTRIE}

\textbf{LES CONSTRUCTIONS DEMANDÉES SE FERONT SUR L'ANNEXE 1.} \end{center}

\parbox{0.65\linewidth}{On donne la figure ci-contre.

OA = OB = OM ; AB = 6cm ;  BC = 9cm.

Le triangle ABC est rectangle en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter cette figure sur l'annexe 1 à grandeur réelle, en respectant les cotes notées en cm. 
\item  Indiquer l'échelle utilisée pour le dessin donné ci-contre 
(justifier votre réponse). 
\item  Tracer la figure symétrique de la figure AMBCA par rapport à 
l'axe (BC).
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,5)
\psarc(1,2){1}{180}{360} \psline(0,2)(2,2)(2,5)(0,2)
\psline{<->}(0,.5)(2,.5) \psline{<->}(2.7,2)(2.7,5)
\uput[d](1,.5){6} \uput[dr](1,1){M} \uput[l](0,2){A}
\uput[u](1,2){O} \uput[r](2,2){B} \uput[r](2,5){C}
\uput[l](2.7,3.5){9} \psline[linestyle=dotted](1,2)(1,1)
\psframe(2,2)(1.8,2.2)
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}]  En utilisant la relation de Pythagore, calculer, en centimètre, la
longueur réelle du segment [AC] (arrondir à 0,1). 

\item[\textbf{5.}]  Calculer, en centimètre, le périmètre réel de la figure AMBCA (arrondir à 0,1

\item[\textbf{6.}]  En utilisant $\tan \widehat{\text{BAC}}$, calculer, en degré, la
mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ (arrondir à l'unité).

\item[\textbf{7.}]  Tracer la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Passe-t-elle
par le point O ? Justifier la réponse. 

\item[\textbf{8.}]  Tracer la droite passant par O et parallèle à (AC). Elle coupe (BC)
en D.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère AODC ?
		\item  Calculer en cm$^2$, I*aire du triangle ABC.
		\item  On admet que le point D est le milieu de [BC]. Calculer en 
cm$^2$ l'aire du triangle OBD.
		\item  Calculer en cm$^2$ l'aire du quadrilatère AODC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Formulaire : Périmètre du cercle :}  $\pi \times$ D ;

\hspace{2cm}\textbf{Aire du triangle :}	$\dfrac{1}{2} \times b \times h$.

\newpage

\begin{center} \textbf{EXERCICE B : STATISTIQUES} \end{center}


Dans un collège de 480 élèves, le bureau du foyer a procédé à deux enquêtes sur la totalité de la population scolaire. 

\textbf{Enquête 1 :} Temps consacré chaque semaine par les élèves à regarder
la télévision :

\begin{center} \begin{tabular}{| c | c |}\hline
\textbf{Durée (en h)} & \textbf{Effectif :} $n$\\ \hline
[0 ;  4[&	15\\ \hline
[4 ;  8[&	60\\ \hline
[8 ;  12[&	135\\ \hline
[12 ; 20[&	150\\ \hline
[20 ; 28]&	120\\ \hline
\textbf{Total}&	480\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\textbf{Enquête 2 :} Les types de musique préférés par les 
élèves :

\begin{center} \begin{tabular}{| c | c |}\hline
\textbf{Type} &	\textbf{Effectif}\\ \hline
Rock&	120\\ \hline
Rap/Raï &	110\\ \hline
Techno & 80\\ \hline
Variété française & 80\\ \hline
Variété étrangère & 70\\ \hline
Autre & 20\\ \hline
Total & 480\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

Répondre aux questions 1 et 2 sur l'annexe 2 (À REMETTRE 
AVEC LA COPIE)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau 1 ;
		\item  Calculer, en heure, la durée moyenne hebdomadaire. consacrée à regarder la télévision (arrondir à l'unité). 
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau 2. 

 Répondre aux questions 3 et 4 sur l'annexe 3 (À REMETTRE AVEC LA COPIE)
\item  Représenter les résultats du tableau 2 par un diagramme circulaire
(ne pas oublier la légende). 
\item  Le prix moyen d'un CD a augmenté entre octobre 2001 et
juin 2002. 

Prix du CD en octobre 2001 : 130 F ;

Prix du CD en juin 2002 : 22 euros.

1 euro = 6,55957 F

Calculer, en euro, le montant de l'augmentation (arrondir à 0,01). 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{TROISIÈME PARTIE \hfill 12 points}

\textbf{À traiter obligatoirement} \end{center}

Dans un atelier de découpe de cartons. on peut fabriquer trois modèles de
surfaces S$_{1}$,~ S$_{2}$,~ et S$_{3}$ d'aires respectives A$_{1}$,~ 
A$_{2}$ et A$_{3}$. 

Chaque modèle est défini par une (ou deux) cotes fixe(s) et une cote $x$ variable,
voir schémas ci-dessous non à l'échelle (\textbf{les cotes sont en centimètre}).

\begin{center}
\psset{unit=0.705cm}
 \begin{pspicture}(17,4.5)
\psline(0,0)(4,0)(4,1.6)(0,4.2)(0,0)
\psline(6,0)(11,0)(6,2.3)(6,0)
\psline(13,0)(16.5,0)(16.5,3.5)(13,3.5)(13,0)
\psline{<->}(0,-0.4)(4,-0.4) \psline{<->}(-0.4,0)(-0.4,1.6)
 \psline{<->}(-0.4,1.6)(-0.4,4.2)
\psline{<->}(6,-0.4)(11,-0.4) \psline{<->}(5.6,0)(5.6,2.3)
\psline{<->}(13,-0.4)(16.5,-0.4) \psline{<->}(12.6,0)(12.6,3.5)
\psline[linestyle=dotted](0,1.6)(4,1.6)
\uput[d](2,-0.4){24} \uput[d](8.5,-0.4){30}  \uput[d](14.75,-0.4){20}
\uput[l](-0.4,0.8){10} \uput[l](-0.4,2.9){$x$} 
\uput[l](5.6,1.15){$x$}
\uput[l](12.6,1.75){$x$}
\psframe(0,0)(.3,.3)  \psframe(4,0)(3.7,.3)  \psframe(0,1.6)(.3,1.3) 
\psframe(6,0)(6.3,.3) 
\psframe(13,0)(13.3,.3)  \psframe(16.5,0)(16.2,.3)  
\psframe(16.5,3.5)(16.2,3.2)
\rput(2,1.4){S$_{1}$} \rput(8,1.1){S$_{2}$} \rput(14.75,1.7){S$_{3}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,8cm}

On sait que $x$ peut varier de 0 à 40. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le cas où $x = 24$ calculer, en cm$^2$ les 
aires $\mathcal{A}_{1},~\mathcal{A}_{2}$ et $\mathcal{A}_{3}$ des surfaces  S$_{1}$,~ S$_{2}$ et S$_{3}$.

\textbf{RAPPEL :} aire du triangle $\dfrac{1}{2} \times b 
\times h$ ; aire du rectangle = longueur $\times$ largeur
\item  On donne les quatre fonctions $f,~ g,~ h$ et $k$ 
définies par :

\[f(x) = 15x \quad ;\quad g(x) = 12x + 240 \quad ; \quad h(x) = 
20x\quad ;\quad k(x) = 30x.\] 

Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous. 

Cocher les cases qui établissent la correspondance existant entre certaines de
ces fonctions et les expressions des aires $\mathcal{A}_{1},~\mathcal{A}_{2}$ et $\mathcal{A}_{3}$.

(une case a déjà été cochée et il n'y a qu'une croix par colonne)

\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{| l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} & $\mathcal{A}_{1}$ & $\mathcal{A}_{2}$ & $\mathcal{A}_{3}$\\ \hline
$f(x) = 15x$ &&  \times & \\ \hline
$g(x) = 12 x + 240$ & & & \\ \hline
$h(x) = 20x$ & & & \\ \hline
$k(x) = 30x$ & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs, ci-dessous

\[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{ |l | *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&0 	&18	&25	&40\\ \hline
$f(x) = 15x$		&	&	&	&\\ \hline
$g(x) = 12 x + 240$	&	&	&	& \\ \hline
$h(x) = 20x$ 		&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item  La fonction $f$ définie par $f(x) = 15x$, pour $x$ variant de 0 à 40,
est représentée graphiquement dans l'annexe \no 4. Sur cette annexe et dans le même repère, représenter graphiquement les fonctions $g$ et $h$ (pour $x$ variant de 0 à 40). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   Lire graphiquement chacune des valeurs $f(x),~ 
g(x)$ et $h(x)$ pour $x = 24$ (faire apparaître les tracés qui permettent de lire ces
valeurs). Noter les réponses sur votre copie. 
		\item   Comparer ces valeurs avec celles de $\mathcal{A}_{1},~\mathcal{A}_{2}$ et $\mathcal{A}_{3}$
obtenues à la question \textbf{1)}. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item   Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle on a
$g(x) = h(x)$. (Faire apparaître le tracé qui permet de lire cette valeur). 
		\item   Résoudre l'équation : $12 x + 240 = 20 x$. 
		\item  Comparer avec la valeur obtenue graphiquement. 
		\item  En déduire la cote $x$ pour laquelle ces surfaces S$_{1}$ et 
S$_{3}$ ont la même aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE \No 1 (À remettre avec la copie)} \end{center}
    
\vspace{1cm}
    
\begin{pspicture}(14,6)
\psline(0,0)(5.8,0)
\psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(5.8,-0.1)(5.8,0.1)
\uput[ul](0,0){A} \uput[ur](5.8,0){B} 
\end{pspicture}
    
\newpage
    
\begin{center}\textbf{ANNEXE \No 2 (À remettre avec la copie)} \end{center}
    
\vspace{1cm}
        
\textbf{1.} Tableau 1 (Enquête 1) \textbf{a}
        
\begin{center}\begin{tabular}{| c | c | c | c |}\hline
\textbf{Durée (en h)} & Effectif $n$ & Centre de classe $x$ & 
Produit : $x \times n$\\\hline
[0 ; 4[ & 15 & 2 &30\\ \hline
[4 ; 8[ & 60 & & \\ \hline
[8 ; 12[ & 135 & & \\ \hline
[12  ; 20[ & 150 & & \\ \hline
[20 ; 28[ & 120 & & \\ \hline
Total & 480 & & \\\hline
\end{tabular}
 \end{center}
        
 \textbf{b.} Calcul de la moyenne :
        
\vspace{4cm}
        
 \textbf{2} Tableau 2 (Enquête 2)
        
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}\hline
\textbf{Type} & Effectif & Fréquence en \% & Angle au centre en 
    degré\\
& & (arrondi à l'unité) & (arrondi à l'unité)\\ \hline
Rock & 120 & 25 & 90 \\ \hline
Rap/Raï & 110 & & \\ \hline
Techno & 80 & & \\ \hline
Variété française & 80 & & \\ \hline
Variété étrangère & 70 & & \\ \hline
Autre & 20 & & \\ \hline
Total & 480 & 100 & 360\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
     
\newpage
     
\begin{center}
\textbf{ANNEXE \No 3 (À remettre avec la copie)} 
\end{center}     
     
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6.4,6.4)
\pscircle(3.2,3.2){3.2}
\psline(3.2,3.2)(6.4,3.2)
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{4.} Solution de la question 4

\newpage

\rotateright{ 
    
\vspace{0,5cm}
    
\begin{pspicture}(22,16)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2]
\rput(8,17){\textbf{ANNEXE \No 4 (À remettre avec la copie)}}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){2} \uput[d](5,0){10} 
\uput[d](10,0){20} \uput[d](15,0){30} \uput[d](20,0){40} 
\uput[d](22,0){$x$}
\uput[l](0,1){50} \uput[l](0,4){200} \uput[l](0,8){400} 
\uput[l](0,12){600} \uput[l](0,16){800} \uput[l](0,15){$y$}
\pstextpath[r](1mm,1mm){\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(20,12)}{$f(x) = 15x$}
\end{pspicture}}
\end{document}
