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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small   L'année 2001}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Brevet  2001 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2001}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large 

\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2001} \dotfill 3 \medskip

\hyperlink{AmeriqueduNord}{Amérique du Nord mai 2001} \dotfill 6 \medskip

\hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane juin 2001} \dotfill 9 \medskip

\hyperlink{Asie}{Asie juin 2001}  \dotfill 11 \medskip

\hyperlink{AsieInde}{Asie du Sud-Est Océan Indien  juin 2001} \dotfill 13 \medskip

\hyperlink{Reunion}{La Réunion  juin 2001} \dotfill 16 \medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers  juin 2001} \dotfill 18 \medskip

\hyperlink{Espagne}{Espagne  juin 2001} \dotfill 21 \medskip

\hyperlink{Metropole1}{Métropole groupement 1  juin 2001} \dotfill 24 \medskip

\hyperlink{Metropole2}{Métropole groupement 2  juin 2001} \dotfill 27 \medskip

\hyperlink{Metropole3}{Métropole groupement 3  juin 2001} \dotfill 30 \medskip

\hyperlink{Metropole4}{Métropole groupement 4  juin 2001} \dotfill 33 \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2001}\dotfill  38 \medskip

\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane  septembre 2001}  \dotfill 41  \medskip

\hyperlink{Parissep}{Groupement 1 septembre  2001} \dotfill 43  \medskip
 
\hyperlink{Clermontsep}{Groupement 2 septembre 2001} \dotfill 48  \medskip
 
\hyperlink{Grenoblesep}{Groupement 3 septembre 2001} \dotfill 51  \medskip
 
\hyperlink{Reimssep}{Groupement 4 septembre 2001} \dotfill 54  \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie  septembre 2001} \dotfill 58 \medskip

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2001} \dotfill 61  \medskip}  
\newpage
 ~
 \newpage
%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2001
\hypertarget{Pondichery}{}

\lhead{\small Brevet des collèges}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{avril 2001}}
\rfoot{\small{Pondichéry}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Pondichéry
  avril 2001\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \np{1756} et \np{1317} (on détaillera les calculs nécessaires).
\item Un fleuriste a reçu \np{1756} roses blanches et \np{1317} roses rouges.

Il désire réaliser des bouquets identiques (c'est-à-dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs.
	\begin{enumerate}
		\item Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.
		\item Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\psframe(0.2,0.2)(4.3,4.3)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.2,1)(3.3,1)(3.3,4.3)(1.7,4.3)(1.7,2.8)(0.2,2.8)%JIHEFG
\psline{<->}(0,0.2)(0,4.3)\uput[l](0,2.25){4}
\psline{<->}(0.2,4.5)(1.7,4.5)\uput[u](0.95,4.5){2}
\psline{<->}(3.3,4.5)(4.3,4.5)\uput[u](3.8,4.5){$x$}
\uput[ul](0.2,4.3){A} \uput[ur](4.3,4.3){B} \uput[dr](4.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} 
\uput[ur](1.7,4.3){E} \uput[ul](1.7,2.8){F} \uput[ur](0.2,2.8){G} \uput[ul](3.3,4.3){H} 
\uput[dr](3.3,1){I} \uput[dr](0.2,1){J} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\begin{enumerate}\item Dans la figure ci-contre AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés. Calculer AH en fonction de $x$ ; en déduire l'aire de AHIJ puis préciser, dans la liste ci-dessous, la (ou les) expression(s) algébrique(s) qui correspond(ent) à l'aire de la partie hachurée.

$M = (4 - x)^2 - 2^2$

$N = (4 - x - 2)^2$

$P = 4^2 - x^2- 2^2$
\item Développer et réduire l'expression 

$Q = (4 - x)^2 - 4$.

\medskip

\item Factoriser $Q$.
\item Calculer $Q$ pour $x = 2$. Que traduit ce résultat pour la figure ?
\end{enumerate}
}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\bigskip


\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psellipse(3,4.3)(2.5,0.55)
\psellipse(3,0.3)(1.05,0.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.9,0.3)(3.1,2.5)
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[](3,12.5){1.65}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](3,12.5){1.65}{0}{180}}%
\psline(0.7,4.1)(3,2.4)(5.3,4.1)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{Un verre est composé d'un pied surmonté
 d'un cône de révolution.

L'épaisseur du verre est supposée négligeable.

Le cône a pour sommet $S$ et sa base est un disque de diamètre $[AB]$.

On donne $AB = 12$~cm et $SA = 7,5$~cm.

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur $SI$ du cône.
\item Calculer le volume maximal de liquide que peut contenir ce
  verre. Ce volume sera noté $\cal{V}$.

Donner la valeur exacte de $\cal{V}$ en $cm^{3}$ puis sa valeur
arrondie à 1~mm$^3$ près.
\item On remplit ce verre d'eau de telle sorte que la surface du
  liquide soit dans un plan parallèle à celui qui contient le disque
  de base du cône et que le niveau de l'eau atteigne le point $A'$ du
  segment $[SA]$ tel que $SA'=5$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume $\cal{V'}$ d'eau en fonction du volume
  $\cal{V}$ ; justifier la réponse.
		\item En déduire la valeur arrondie de $\cal{V'}$ au cm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\emph{La figure ci-contre est donnée à titre indicatif.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Une société commerciale d'accès à internet propose trois formules :
\begin{itemize}
\item \textbf{Formule A} : L'accès à internet est gratuit et on ne
  paye que les communications soit 9~F par heure.
\item \textbf{Formule B} : Il s'agit d'un forfait mensuel de 180~F,
  c'est-à-dire que, pour 180~F par mois, on ne paye pas les
  communications et l'accès à internet est illimité.
\item \textbf{Formule C} : Pour cette formule, un accord est passé
  avec la société de télécommunications et, moyennant 21,60~F par
  mois, les communications restent payantes mais leur prix est réduit
  de 20\%.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme il est précisé ci-dessus, le prix d'une heure de
  communications téléphoniques coûte 9~F. Calculer le prix d'une heure
  de communications si ce tarif est réduit de 20\%.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
		
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
Nombre d'heures de connexion en un mois & 5 heures & 15 heures &25 heures\\
\hline
Prix payé en francs avec la formule A &&&\\
\hline
Prix payé en francs avec la formule B &&&\\
\hline
Prix payé en francs avec la formule C &&&\\
\hline
\end{tabular} 

\medskip

		\item Déduire du tableau ci-dessus quelle est la formule la plus
  avantageuse pour 5, 15, puis 25 heures de connexion.
	\end{enumerate}  
\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ d'heures de connexion, le
  prix en francs payé en un mois :
	\begin{enumerate}
		\item pour la formule A ;
		\item pour la formule B ;
		\item pour la formule C.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions suivantes :

\begin{itemize}
\item la fonction linéaire $f$ telle que $f : x \longmapsto 9x$ ;
\item la fonction affine $g$ telle que $g : x \longmapsto 7,2x+21,6$ ;
\item la fonction affine $h$ telle que $h : x \longmapsto 180$ ;
\end{itemize}

Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère $(O, I,
J)$ les droites $(D_{f})$, $(D_{g})$ et $(D_{h})$ qui représentent
respectivement les fonctions $f$, $g$ et $h$.

On prendra 0,5~cm pour une unité en abscisses et 1~cm pour 10 unités
en ordonnées et on se limitera à des valeurs de $x$ comprises entre 0
et 25.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=9x\\
y=7,2x+21,6\\
\end{array}
\right.
\]
		\item Donner une interprétation graphique de la solution du système
  précédent.
	\end{enumerate}
En utilisant une lecture graphique réalisé à la question 4, préciser
pour quelles valeurs de $x$ chacune des trois formules est la plus
avantageuse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2001
\newpage
%%%%%%%%%   Amérique du Nord mai 2001
\hypertarget{AmeriqueduNord}{}

\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Amérique du Nord }}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Amérique du Nord
  juin 2001~\decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,15cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer A et B et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\[\text{A} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{15} \qquad \text{B} =  \dfrac{ 5 \times 10^2 \times 0,3 \times 10^{- 6}}{ 25 \times 10^{- 5}}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

Calculer la valeur exacte de l'aire du carré ABCD et de l'aire du rectangle AEFD ci-dessous sachant que : AB $= \sqrt{3} - 1$  et BE $= 2$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4)
\psframe(0.5,0.5)(5.5,3.5)
\psline(3.5,0.5)(3.5,3.5)
\def\barbar{\psline(-0.05,-0.1)(0.05,0.1)\psline(0,-0.1)(0.1,0.1)}
\rput(2,0.5){\barbar}\rput(2,3.5){\barbar}
\rput{-90}(0.5,2){\barbar}\rput{-90}(3.5,2){\barbar}
\uput[ul](0.5,3.5){A} \uput[u](3.5,3.5){B} \uput[d](3.5,0.5){C} 
\uput[dl](0.5,0.5){D} \uput[ur](5.5,3.5){E} \uput[dr](5.5,0.5){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip 

On considère l'expression : 

\[A = (2x + 1)^2 - (x - 5)(2x + 1). \]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$. 
\item Factoriser $A$. 
\item Résoudre l'équation : $(2x + 1)(x + 6) = 0$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4} 

\medskip 

Voici le diagramme en bâtons représentant la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par une classe de 3\up{e}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20](0,0)(9.1,7.9)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(9,\n)}
\uput[l](0,7.8){Effectifs} 
\uput[r](9,0){Notes}
\multido{\n=8+1,\na=1+1}{9}{\uput[d](\na,0){\n}}
\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,3)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,5)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,2)
\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,4)
\psline[linewidth=2pt](6,0)(6,2)
\psline[linewidth=2pt](7,0)(7,7)
\psline[linewidth=2pt](9,0)(9,2)
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne de la classe à ce devoir. 
\item Quelle est l'étendue de cette série de notes ? 
\item Calculer le pourcentage d'élèves ayant obtenu une note supérieure à 10. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

On considère la figure ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm} 
\begin{pspicture}(9,4.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.4,0.4)(8.4,0.4)(3.3,4.2)%MNL
\psline(3.3,4.2)(3.3,0.4)%LK
\psline(6.3,0.4)(7.1,1.4)%SR
\psframe(3.3,0.4)(3.6,0.7)
\rput{-34}(7.08,1.4){\psframe(0,0)(0.3,-0.3)}
\uput[dl](0.4,0.4){M} \uput[u](3.3,4.2){L} \uput[d](3.3,0.4){K} 
\uput[d](6.3,0.4){S} \uput[ur](7.1,1.4){R} \uput[d](8.4,0.4){N} 
\end{pspicture}
\end{center}

On donne MN = 8~cm ; ML = 4,8~cm et LN = 6,4~cm. 

\emph{On ne demande pas de refaire la figure sur la copie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle LMN est rectangle. 
\item Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{LNM}}$. 
\item Soit K le pied de la hauteur issue de L. 

Montrer que LK = 3,84 cm. 
\item Soit S le point de [MN] tel que NS = 2~cm, la perpendiculaire à (LN) passant par S coupe [LN] en R. 

Calculer RS. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip 

Dans un repère orthonormé (O, I, J) tel que OI = OJ = 1~cm, placer les points M$(- 2~;~- 4)$ et N$(2~;~- 2)$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle OMN est isocèle en M. 
\item Construire le point P, image de N par la translation de vecteur $\vect{\text{MO}}$. 
\item Quelle est la nature du quadrilatère OMNP ? Justifier. 
\item Calculer les coordonnées de K, point d'intersection de [ON] et de [MP]. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{La troisième partie peut être traitée indépendamment des deux premières parties.}

\medskip 

Voici un solide constitué d'un parallélépipède surmonté d'une pyramide à base rectangulaire. 

La hauteur totale du solide est : SI = 12 cm. 

Le parallélépipède a pour longueur EF = 10 cm, pour largeur HE = 6 cm et pour hauteur BF $= x$. 

\begin{center}
\begin{pspicture}(6.5,5.5)
\pspolygon(0.3,1.2)(0.3,2.3)(2,1.6)(2,0.5)%HDAE
\pspolygon(2,1.6)(2,0.5)(5.9,1)(5.9,2.1)%AEFB
\psline[linestyle=dashed](5.9,2.1)(4.2,2.7)(0.3,2.3)(5.9,2.1)
\psline[linestyle=dashed](5.9,1)(4.2,1.6)(0.3,1.2)(5.9,1)
\psline[linestyle=dashed](2,0.5)(4.2,1.6)
\psline[linestyle=dashed](2,1.6)(4.2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](4.2,2.7)(4.2,1.6)
\psline(0.3,2.3)(3.2,4.9)(2,1.6)%DSA
\psline(5.9,2.1)(3.2,4.9)
\psline[linestyle=dashed](4.2,2.7)(3.2,4.9)(3.2,1.1)
\uput[l](2,1.6){A} \uput[r](5.9,2.1){B} \uput[ur](4.2,2.7){C} 
\uput[l](0.3,2.3){D} \uput[d](2,0.5){E} \uput[r](5.9,1){F} 
\uput[d](4.2,1.6){G} \uput[u](3.2,4.9){S} \uput[l](0.3,1.2){H}
\uput[d](3.2,1.1){I}\uput[dr](3.2,2.2){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Première partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer le volume $V_1$ du parallélépipède en fonction de $x$. 
\item Montrer que le volume $V_2$ de la pyramide est égal à $240 - 20x$. 
\item Entre quelles valeurs $x$ peut-il varier ? 
\item Trouver $x$ pour que $V_1 = V_2$ ; quelle est alors la valeur commune de ces volumes ? 
\item Pour quelles valeurs de $x$ le volume de la pyramide est-il inférieur à 200 cm$^3$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip 

Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal; placer l'origine en bas à gauche et choisir comme unité 1cm sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 20~cm$^3$ sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $f\::\: x \longmapsto 60x$ 
\item[$\bullet~~$]  $g \::\: x \longmapsto 240 - 20x$ 
\end{itemize}

\item  Expliquer comment retrouver par lecture graphique les résultats de la question \textbf{4.} de la première partie. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip 

On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le milieu de sa hauteur [SO]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la section obtenue en expliquant la démarche.
\item Dessiner cette section en vraie grandeur. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord mai 2001
\newpage
%%%%%%%%%   Antilles-Guyane juin 2001
\hypertarget{Antillesjuin}{}

\lhead{\small Brevet des collèges juin 2001}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Antilles}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Antilles-Guyane
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item$\text{A} = \dfrac{7}{6}+\dfrac{11}{3}\times\dfrac{5}{4}$.

Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction
irréductible.
\item $\text{}B = \dfrac{3 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-2}}{8 \times 10^4}$.

Donner l'écriture décimale, puis l'écriture scientifique de B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 2}}

\medskip

\[C = (3x - 1)^2 - 4x(3x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Calculer $C$ pour $x = 0$ ; pour $x = \sqrt2$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation $(3x - 1)(x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 3}}

\medskip

\par Une marchande vend des mangues et des ignames :
\begin{itemize}
\item Madame FRUIT achète 6~kg de mangues et 2~kg d'ignames pour
  14~\euro.
\item Madame LEGUME achète 3~kg de mangues et 8~kg d'ignames
  pour 24,50~\euro.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Écrire un système d'équations traduisant les données.
\item Résoudre le système pour trouver le prix de 1~kg de mangues
  et celui de 1~kg d'ignames.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 1}}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.5)
\pspolygon(0.3,1.5)(4.3,0.3)(2,3.3)(0.3,3.3)
\uput[dl](0.3,1.5){A}\uput[dr](4.3,0.3){D}\uput[ur](2,3.3){C}\uput[ul](0.3,3.3){B}
\psframe(0.3,3.1)(0.5,3.3)
\end{pspicture}}
\hfill \parbox{0.59\linewidth}{Sur la figure suivante (les unités ne
sont pas respectées), on~a :

\medskip

$\widehat{\text{ABC}}$ est un angle droit ; AD = 10\,cm ; CD = 8\,cm;
AB = 3,6\,cm; et BC = 4,8\,cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure en grandeur réelle.
\item Calcule la tangente de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. En déduire une
  valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{BAC}}$.
\item Calculer la longueur AC et montrer que le triangle ACD est
  rectangle.
\item Montrer que le triangle ABC est une réduction du triangle
  ACD dont on précisera le coefficient de réduction.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 2}}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
%\psgrid
\psline(0,0.3)(7,0.3)\psline(0,3.2)(7,3.2)
\psline(0.5,3.2)(3.2,0.3)
\psline(1.5,0.3)(3,3.2)
\uput[u](0.5,3.2){A} \uput[u](3,3.2){B} \uput[d](1.5,0.3){C} 
\uput[d](3.2,0.3){D} \uput[d](6,0.3){E} \uput[r](2.1,1.48){M}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6,0.3) 
\end{pspicture}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{Sur la figure, la droite (AB) est parallèle à la droite (CD) et les longueurs en cm sont 

MA = 5, MB = 3,75, MC = 3, CD = 6, 

DE = 7,5.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs MD et AB.
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DE}}$ sont
  égaux. En déduire que les droites (AD) et (BE) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{\textbf{Exercice 3}}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(2,7)
\rput(0,0){\pstEllipse[linestyle=dashed]{1.5}{0.25}{0}{180}}
\rput(0,0){\pstEllipse{1.5}{0.25}{-180}{0}}
\rput(0,5){\pstEllipse[linestyle=dashed]{1.5}{0.25}{0}{180}}
\rput(0,5){\pstEllipse{1.5}{0.25}{-180}{0}}
\psline(-1.5,0)(-1.5,5)\psline(1.5,0)(1.5,5)
\psarc(0,5){1.5}{0}{180}
\psline{<->}(1.7,5)(1.7,0)\rput{90}(1.9,2.5){8\,cm}
\psline{<->}(-1.5,5)(0,5)\uput[u](-0.75,5){3\,cm}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.6\linewidth}{Une boîte est formée d'un cylindre de
hauteur $8$\,cm, surmontée d'une demi-sphère de rayon $3$\,cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $\cal V$ de la boîte en cm$^3$ (on donnera
  une valeur approchée au mm$^3$).
\item Cette boîte est agrandie avec un coefficient $k = 2$. Calculer le
  volume ${\cal V}'$ de la boîte agrandie. (Pour les calculs, on
  prendra 
  
  $\pi\approx3,14$.)
\end{enumerate}
}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de
longueur est le centimètre. On utilisera une feuille de papier
millimétré pour la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter les points M$(1~;~-2)$; N(2~;~1) et P(5~;~0).
\item Montrer que, en cm, MN $=\sqrt{10}$, NP $=\sqrt{10}$ et
  MP $= 2\sqrt5$.
\item En déduire que le triangle MNP est rectangle et isocèle en
  N.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit K le centre du cercle $(\Gamma)$ circonscrit au triangle
  MNP. Calculer les coordonnées de K et construire K.
		\item Montrer que le rayon $r$ du cercle $(\Gamma)$ est égal à $\sqrt5$~cm.
	\end{enumerate}
\item Construire l'image du triangle MNP dans la rotation de centre
  N, d'angle 90\degres\ qui va dans le sens inverse des aiguilles d'une
  montre. On notera A, B, C les images respectives des points
  M, N et P.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le cercle $(\Gamma)$.\par Construire le point
  D$(2~;~-3)$ et montrer que le point D appartient au cercle
  $(\Gamma)$.
		\item Montrer que $\widehat{\text{NDP}} = \widehat{\text{NMP}} = 45$\degres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Asie juin 2001
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Asie}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Asie 
  juin 2001~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $E = (x + 2)^2 + (2x - 3)(x + 2)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ lorsque $x=-1$.
\item Déterminer les solutions de l'équation $(x+2)(3x-1)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la
    plus simple possible :

\[A = \frac{222}{667}+\frac23.\]

\item Donner l'écriture scientifique de $B=(-2)^4\times5^3$, puis
  celle de $C=B+1$.
\item Soit
  $D=1 - \left(\sqrt{\np{2001}} + \sqrt{\np{2000}}\right)\times\left(\sqrt{\np{2001}}-\sqrt{\np{2000}}\right)$.
  
Vérifier que $D$ est égal à 0.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
\begin{enumerate}
  \item \np{2000} et \np{2001} sont-ils, chacun, divisible par 2, par 3 ou
    par 5 ? Justifier.
  \item \np{2000} et \np{2001} sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,5.5)
\psline(0.2,1)(3.3,0.2)(4.9,2)%DCB
\psline[linestyle=dashed](4.9,2)(1.8,2.8)(0.2,1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](1.8,2.8)(1.8,5.2)%AS
\psline(1.8,5.2)(4.9,2)(3.3,0.2)(1.8,5.2)(0.2,1)%SBCSD
\psline(1.8,3)(1.6,2.82)(1.6,2.62)
\psline(1.8,3)(2,2.9)(2,2.7)
\uput[u](1.8,5.2){S} \uput[dr](1.8,2.8){A} \uput[r](4.9,2){B} \uput[dr](3.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,1){D} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{La pyramide non régulière,
  représentée ci-contre, a pour base un carré et sa hauteur $SA$ est
  égale à $AB$.\par Si l'on dispose correctement trois pyramides
  identiques à celle-ci, on peut reconstituer un cube dont l'arête est
  la hauteur de la pyramide.}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un menuisier dispose d'une pièce de bois de forme cubique,
d'arête 8~cm et dessine une vue en perspective du travail qu'il veut
réaliser pour obtenir une des trois pyramides, ici la pyramide
$SABCD$.

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5.7,6.8)
\psline(0.2,1.2)(3.4,0.2)(5,2.4)(5,5.7)(3.4,3.5)(3.4,0.2)%DCBB'C'C
\psline(5,5.7)(1.8,6.7)(0.2,4.5)(0.2,1.2)%B'SD'D
\psline(0.2,4.5)(3.4,3.5)(3.4,0.2)%D'C'C
\uput[dl](0.2,1.2){D}  \uput[dr](3.4,0.2){C} \uput[r](5,2.4){B} \uput[ur](5,5.7){B'} 
\uput[u](1.8,6.7){S} \uput[ul](0.2,4.5){D'} \uput[u](3.4,3.5){C'} \uput[ul](1.8,3.4){A}
\pspolygon[linestyle=dashed](1.8,6.7)(1.8,3.4)(0.2,1.2)%SAD
\psline[linestyle=dashed](5,2.4)(1.8,6.7)(3.4,0.2)%BSC
\psline[linestyle=dashed](1.8,3.4)(5,2.4)%AB 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
    \item Calculer les longueurs AC, puis SC.
    \item Démontrer que le triangle SBC est rectangle en B.
    \item Dessiner en vraie grandeur les faces $SAB$ et SBC de la
      pyramide. (On pourra les juxtaposer.)
    \item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
  \end{enumerate}}
  
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
  
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(7,5.8)
\psline(0,0.5)(7,0.5)
\psline(0,2.1)(7,2.1)
\psline(0,0)(5.9,5.8)
\psline(3.3,0)(4.2,5.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](5.1,5)(4.06,5)
\uput[ul](2.1,2.1){A} \uput[ur](3.6,2.1){B} \uput[dr](0.5,0.5){C} \uput[dr](3.4,0.5){D} 
\uput[dr](5.1,5){E} \uput[dl](4.06,5){F} \uput[r](3.9,3.9){O} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Pour tout l'exercice, l'unité de  longueur est le centimètre.
  
Les points $E$, $O$, $A$, $C$ d'une
part et $F$, $O$, $B$, $D$ d'autre part sont alignés dans cet
ordre.\par De plus, les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.\par On donne OA = 2,4 ; OC = 6 ; OD = 5; AB = 1,5;
OE = 1,8 ; OF = 1,5.
  
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Calculer OB et CD.
\item Démontrer que les droites (EF) et (CD) sont parallèles.
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Soit $(O~;~I,~J)$ un repère orthonormal du plan. (Unité le cm.)

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Placer les points $A(-1~;~2)$; $B(3~;~4)$; $C(2~;~-4)$.
  \item Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$.
  \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
  \item Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
  \item Construire le point $N$, image de $M$ dans la translation de
    vecteur $\vect{BC}$.
  \item Calculer les coordonnées de $N$.
  \item Démontrer que $(MN)$ coupe $[AC]$ en son milieu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On donne la fonction affine $f$ définie par $x\mapsto0,5x+2,5$ et la
fonction $g$ définie $x\mapsto-2x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment s'appelle une fonction telle que $g$ ?
\item Calculer les coordonnées de points nécessaires pour tracer les
    représentations graphiques de $f$ et $g$.
\item Tracer ces représentations graphiques dans le même repère que
    pour la partie {\bf A}. On note $(d_1)$ la représentation
    graphique de $f$ et $(d_2)$ la représentation graphique de $g$.
\item Résoudre le système $\left\{
\begin{array}{r c l}
- 0,5x + y	&=	&2,5\\
2x + y	&=	&0\\
\end{array}\right.$.

Quelle observation faite sur le graphique confirme-t-on ainsi ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Asie juin 2001
\newpage
%%%%%%%%  Asie du Sud-Est Océan Indien
\hypertarget{AsieInde}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Asie du Sud-Est Océan Indien}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Asie du Sud-Est Océan juin 2001 Indien~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip 

On considère la fraction $\dfrac{\np{5148}}{\np{1386}}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le PGCD des nombres \np{5148} et \np{1386}. 
\item Utiliser le résultat de la question précédente pour rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{5148}}{\np{1386}}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $T$ suivante : 

\[T = (2x - 1)^2 - (2x - 1) (x + 5).\] 

\begin{enumerate}
\item En développant et en réduisant, prouver que l'expression $T$ peut s'écrire : 

$T = 2x^2 -  13x + 6$. 
\item En utilisant l'expression obtenue à la question 1., calculer $T$ pour $x = \dfrac{1}{3}$ et pour $x = \sqrt{2} + 1$. 

On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible. 
\item Factoriser l'expression $T$, puis déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $T$ est égale à $0$. 

\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'inconnue $(x~;~y)$ suivant : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 432\\
2x + 3y &=& 398 
\end{array}\right.\]

\item  Un torréfacteur met en vente deux sortes de mélange de café. Le mélange A est composé de 60\,\% d'Arabica et de 40\,\% de Robusta et coûte 86,40~F le kilogramme. Le mélange B est composé de 40\,\% d'Arabica et de 60\,\% de Robusta et coûte 79,60~F le kilogramme. On appellera $x$ le prix du kilogramme d'Arabica, $y$ le prix du kilogramme de Robusta. 

Quel est le prix du kilogramme d'Arabica et du kilogramme de Robusta ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

Construire un cercle de centre O et de diamètre [AB], avec AB = 6~cm. 

Placer sur ce cercle un point C tel que : BC = 3,6~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ACB ? Justifier. 

Démontrer que la longueur AC est égale à 4,8~cm. 
\item Déterminer par le calcul la mesure de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$. En déduire la 
mesure de l'angle $\widehat{\text{COB}}$. (On arrondira les deux mesures à l'unité.) 
\item Soit E le milieu du segment [OB]. Tracer la parallèle à (BC) passant par E ; elle coupe le segment [AC] en F. Calculer les longueurs exactes des segments [AF] et [FE]. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} 

\medskip 

Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. L'unité est le centimètre.

 On considère les points suivants : A(2~;~3), B(6~;~1) et C$(- 1~;~- 3)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer les points. 
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC]. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$. 
		\item Construire le point D, image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. Calculer les coordonnées de D. 
	\end{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs AD et BC. 

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

On considère une pyramide régulière SABCD, à ba	se carrée.

On note [SH] sa hauteur et on donne : AB = 6 cm et SH = 8 cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,8)
\pspolygon(0.5,0.5)(5,0.8)(6.4,3)(3.05,7.5)%ABCSA
\psline(3.05,7.5)(5,0.8)%SB
\psline[linestyle=dotted](6.4,3)(1.9,2.7)(0.5,0.5)(6.4,3)%CDAC
\psline[linestyle=dotted](5,0.8)(1.9,2.7)%BD
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(3.3,3.7)(5,0.8)%AOB
\psline[linestyle=dotted](6.4,3)(3.3,3.7)(1.9,2.7)%COD
\psline[linestyle=dotted](3.05,7.5)(1.9,2.7)%SD
\psline[linestyle=dotted](3.05,7.5)(3.4,1.8)%SOH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5,0.8){B} \uput[r](6.4,3){C} 
\uput[l](1.9,2.7){D} \uput[d](3.4,1.8){H} \uput[ur](3.3,3.7){O} 
\uput[u](3.05,7.5){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AH $ = 3\sqrt{2}$ et calculer AS.
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item Soit O le point de [SH] tel que : SO = 6~cm. On crée ainsi une deuxième pyramide régulière OABCD, à base carrée.

Calculer le volume de la partie comprise entre les deux pyramides SABCD et OABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Dans cette partie, la longueur OH sera notée $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Entre quelles valeurs peut-on faire varier $x$ ?
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume de la pyramide OABCD.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume $V$de la partie comprise entre les deux pyramides SABCD et OABCD.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction affine suivante :

\[ f\::\: x \longmapsto  96 - 12x\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0), f(8)$ et $f(1,5)$. 
		\item Quel est le nombre qui a 66 pour image par $f$ ? 
		\item Tracer la représentation graphique $(d)$ de la fonction affine $f$ (On choisira pour unité 1~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~cm$^3$ sur l'axe des ordonnées.) 
		\item Par lecture graphique, donner la valeur de $x$ telle que le volume $V$ soit égal à la moitié du volume de la pyramide SABCD. Expliquer. 
		
Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Asie du Sud-Est Océan Indien
\newpage
%%%%%%%%  La Réunion juin 2001
\hypertarget{Reunion}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{La Réunion}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - La Réunion
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On a effectué une enquête dans un groupe de 760 élèves :
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en justifiant par un
  calcul chaque résultat.
\[\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
{\bf Age}&{\bf Nombre d'élèves}&{\bf Pourcentage}\\
\hline
14 ans&95&\\
\hline
15 ans&&25\%\\
\hline
16 ans&475&\\
\hline
Totaux&760&\\
\hline
\end{tabular}
\]
\item Calculer la moyenne d'âge pour ce groupe de 760 élèves.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère $\text{A} =\dfrac{9}{5} - \dfrac{7}{5}\times\dfrac{2}{11}$ et
$\text{B} = 7\sqrt{12}+\sqrt3+15\sqrt{27}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction
irréductible.
\item Ecrire B sous la forme $a\sqrt3$, où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $C = (2x - 3)^2 + (x + 5)(2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Calculer $C$ pour $x = -\dfrac{2}{3}$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 2)(2x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.3,3.6)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.1,0.3)(3.1,3.3)%EST
\psline(3.1,0.3)(3.1,3.3)
\psframe(3.1,0.3)(3.3,0.5)
\uput[dl](0.3,0.3){E} \uput[dr](4.1,0.3){S}
 \uput[u](3.1,3.3){T} \uput[d](3.1,0.3){H}  
\end{pspicture}}
\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{Le triangle ci-contre représente un
triangle EST, isocèle en E.

[TH] est la hauteur issue de T.

\emph{Il n'est pas demandé de reproduire la figure.}

On sait que :

\begin{itemize}
\item ES = ET = 12\,cm (les dimensions ne sont pas respectées sur la
figure) ;
\item l'aire du triangle EST est de 42\,cm$^2$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que TH = 7\,cm.
\item Calcule l'angle $\widehat{\text{TES}}$ (on donnera sa valeur arrondie au degré près).
\item En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{EST}}$.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6.9)
\psline(0.3,0.3)(2.8,0.3)(3.7,1)(1.9,6.5)(2.8,0.3)(0.3,0.3)(1.9,6.5)%ABCSBAS
\psline(0.9,2.8)(2.4,2.8)(3,3.2)%RVT
\psline[linestyle=dashed](0.9,2.8)(1.5,3.2)(3,3.2)%RUT
\psline[linestyle=dashed](1.9,6.5)(1.9,0.6)%hauteurS...
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.2,1)(3.7,1)(0.3,0.3)(1.2,1)(2.8,0.3)%ADCADB
\psline[linestyle=dashed](1.9,6.5)(1.2,1)%SD
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](2.8,0.3){B} \uput[r](3.7,1){C} 
\uput[l](1.2,1){D} \uput[l](0.9,2.8){R} \uput[u](1.9,6.5){S} 
\uput[r](3,3.2){T} \uput[l](1.5,3.2){U} \uput[dr](2.4,2.8){V} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{SABCD est une pyramide régulière à
base carrée telle que AB=4,5\,cm et de hauteur SH = 4,8\,cm.

(Les dimensions ne sont pas respectées sur la figure.)
{\em On rappelle que le volume d'une pyramide est donnée par la formule: $${\cal
V}=\frac{\mbox{aire de la base}\times\mbox{hauteur}}{3}$$ }}
\par

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du carré ABCD.
		\item Prouver que le volume de la pyramide SABCD est de
32,4\,cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item Le quadrilatère RVTU est la section de cette pyramide par un
plan parallèle à la base.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de cette section ? Justifier la réponse.
		\item On rappelle que la pyramide SRVTU est une réduction de la
pyramide SABCD ; on sait, de plus, que SV $=\dfrac{2}{3}$SB.

Calculer le volume de SRVTU.
		\item Représenter la section RVTU en vraie grandeur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill}

\bigskip

{\em Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$. L'unité
choisie est le centimètre. Faire une figure et la compléter au fur et
à mesure.}
\par
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A(4~;~5)$, $B(0~;~-3)$ et $C(-6~;~0)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $AB = \sqrt{80}$\,cm, $AC = \sqrt{125}$\,cm et
$BC = \sqrt{45}$\,cm.
		\item En déduire que $ABC$ est un triangle rectangle. Préciser l'angle
droit.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construis le point $D$ tel que $\vect{AB}=\vect{DC}$.
		\item Démontrer que $ABCD$ est un rectangle.
		\item Calculer les coordonnées de $\vect{AB}$.
		\item Vérifier à l'aide d'un calcul que les coordonnes du point $D$
sont $(-2~;~8)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point $K$ milieu du segment $[AC]$.
		\item Que représente le point $K$ pour le quadrilatère $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont le centre et le rayon du cercle $({\mathcal C})$
circonscrit au triangle $ABC$ ? Justifier.
		\item Montrer que le point $D$ est sur le cercle $({\mathcal C})$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ l'image du point $A$ dans la translation de vecteur
$\vect{CB}$.

Montrer que la droite $(CF)$ coupe le segment $[AB]$
en son milieu.
\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin La Réunion juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2001
\hypertarget{Etranger}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Afrique}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Afrique
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les nombres : 

\[\text{A} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} : \left(1 - \dfrac{1}{10} \right)\quad \text{et} \quad \text{B} = \sqrt{17} + \sqrt{48}.\]

\begin{enumerate}
\item En indiquant les calculs effectués, calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $b$ entier positif le plus petit positif possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Voici la série, ordonnée dans l'ordre croissant, des 15 notes obtenues en mathématiques par un élève au cours du premier semestre :

\[4-6-6-9-11-11-12-13-13-13-14-15-17-18-18\]

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence de la note 13 ?
\item Quelle est la note moyenne ?
\item Quelle est la note médiane ?
\item Quelle est l'étendue de cette série de notes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'inéquation :

\[4x + 7 > 2 - 3x.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre $0$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
		\item Le nombre $(-1)$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $4x + 7 > 2 - 3x$ et représenter ses solutions sur une droite graduée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip
\medskip On donne : $C=(3x - 2)^{2}- 25$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation : $(3x - 7)(x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.2,4.2)
\pspolygon(0.4,0.4)(3.5,0.4)(4.8,1)(2.9,3.6)(1.7,3.6)(0.4,3)%AEFGD'A'
\psline(3.5,0.4)(1.6,3)(3,3.6)%EHG
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(1.6,1)(6.8,1)(6.8,3.6)(2.9,3.6)%ADCC'G
\psline(1.7,3)(0.4,3)%HA'
\psline(1.6,0.4)(1.6,3)
\psline[linestyle=dashed](1.7,3.6)(1.7,1)%DD'
\psline[linestyle=dashed](0.4,3)(5.5,3)(6.8,3.6)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](3.5,0.4)(5.5,0.4)(6.8,1)%EBC
\psline[linestyle=dashed](5.5,0.4)(5.5,3)%BB'
\uput[d](0.4,0.4){A} \uput[d](5.5,0.4){B} \uput[r](6.8,1){C} 
\uput[ul](1.6,1){D} \uput[d](3.5,0.4){E} \uput[ur](4.8,1){F} 
\uput[u](2.9,3.6){G} \uput[ul](1.6,3){H} \uput[l](0.4,3){A'} 
\uput[ul](5.5,3){B'} \uput[u](6.8,3.6){C'} \uput[u](1.7,3.6){D'} 
\uput[d](1.7,0.4){K}
\psframe(1.6,0.4)(1.8,0.6) 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{Le parallélépipède rectangle de la
  figure ci-contre a été coupé par un plan parallèle à l'arête $[BC]$.

On donne EF = 25~cm, HK = 20~cm et 

KE = 15~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la section plane EFGH ?
\item Calculer HE.
\item Que peut-on déduire des questions précédentes pour le
  quadrilatère EFGH ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10.5,6.5)
\psline(0,2.9)(10.5,2)
\psline(0,0.3)(10.5,6.2)
\psline(1.3,0)(3.3,6.5)
\psline(5.7,0)(7.8,6.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](7.8,2.23)(8.8,5.22)
\uput[ul](2.17,2.66){A} \uput[dr](1.63,1.22){B} \uput[dr](4,2.58){O} 
\uput[dl](6.43,2.37){C} \uput[ul](7.08,4.26){D} \uput[d](7.8,2.23){E} 
\uput[ul](8.8,5.22){F}
\rput(1.77,2){3}\rput(3.1,2.8){4}\rput(5.4,2.25){6}\rput(5.6,3.7){8,4}\rput(7.1,2.1){3,3}\rput(7.8,5){4,6}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur la figure ci-dessus, on donne OA = 4~cm, OC = 6~cm, OD = 8,4~cm, AB = 3~cm, DF = 4,6~cm et CE = 3,3~cm.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer OB.
		\item Calculer CD.
	\end{enumerate}
\item Les droites (CD) et (EF) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,2.5)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.5,0.3)(1.6,2)%BCA
\psline[linestyle=dashed](1.6,2)(1.6,0.3)
\psframe(1.6,0.3)(1.8,0.5)
\uput[u](1.6,2){A} \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4.5,0.3){C} \uput[d](1.6,0.3){H}
\uput[ur](3.05,1.15){4}
\psarc(4.5,0.3){1}{150}{180}\rput(3.2,0.6){30~\degres} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{Dans le triangle $ABC$ de hauteur $[AH]$ représenté ci-contre, on donne :

$AC=4$~cm, $BH=1,5$~cm et $\widehat{ACB}=30$\degres.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $AH$.
\item En déduire la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
\end{enumerate}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(5.5,7.6)
\psframe(0.4,0.4)(3.8,5.6)%ABFE
\psline(3.8,0.4)(0.4,2.5)(3.8,5.6)(1.7,7.2)%BSFH
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(1.7,2)(1.7,7.2)(0.4,2.5)(1.7,2)(5.1,2)(5.1,7.2)(1.7,7.2)%ADHSDCGH
\psline[linestyle=dashed](5.1,7.2)(3.8,5.6)%GF
\psline(0.4,5.6)(1.7,7.2)(3.8,5.6)%EHF
\psline(3.8,0.4)(5.1,2)(0.4,2.5)%BCS
\uput[dl](0.4,0.4){A} \uput[d](3.8,0.4){B} \uput[r](5.1,2){C} 
\uput[dr](1.7,2){D} \uput[l](0.4,5.6){E} \uput[dr](3.8,5.6){F} 
\uput[ur](5.1,7.2){G} \uput[ul](1.7,7.2){H} \uput[l](0.4,2.5){S} 
\uput[l](0.4,1.45){$x$}\uput[r](5.1,4.6){6}\uput[dr](4.45,1.2){3}
\uput[d](2.1,0.4){4}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\emph{Les deux parties peuvent être traitées séparément.}

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 4~cm, BC = 3~cm et AE = 6~cm.

Un point quelconque S de l'arête [AE] permet de définir :

\begin{itemize}
\item une pyramide SABCD de hauteur [SA], de base le rectangle ABCD ;
\item une pyramide SEFH de hauteur [SE], de base le triangle rectangle EFH.
\end{itemize}

\emph{On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule} :

$V = \dfrac{1}{3} \times$ \emph{aire de la base} $\times$ \emph{hauteur}.
}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}}
\end{center}

Dans cette partie, on pose SA $= x$~cm ($0 \leqslant x \leqslant 6$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du rectangle ABCD.
		\item Exprimer en fonction de $x$ le volume $V_1$ de la pyramide SABCD.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle EFH.
		\item Exprimer la longueur SE en fonction de $x$.
		\item Montrer que le volume $V_2$ de la pyramide SEFH est $(- 2x+ 12)$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $V_1 = V_2$. Quelle est
  alors la valeur commune des volumes des pyramides SABCD et SEFH
  ?
\item Soit un repère orthogonal où 1~cm sur l'axe des abscisses
  représente 1~cm et 1~cm sur l'axe des ordonnées représente 2~cm$^3$.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement dans ce repère, et pour $0 \leqslant  x\leqslant 6$, les fonctions définies par :

$V_1(x) = 4x$ et $V_2(x) = - 2x + 12$.
		\item Mettre en évidence sur le graphique le résultat de la question 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}}
\end{center}

Dans cette partie, $x = 6$~cm, donc le point S est confondu avec le point E.

On considère à présent la pyramide EABCD de hauteur [EA], de base le rectangle ABCD.
\begin{enumerate}
\item Cette pyramide est coupée par un plan parallèle à son plan de base. La section plane obtenue est A'B'C'D'.

\emph{On rappelle que la pyramide }EA'B'C'D' {}\emph{est une réduction de la pyramide EABCD.}

On donne EA'= 2,4~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le coefficient de la réduction est égal à $\dfrac25$.
		\item En déduire le volume $V'$ de la pyramide réduite EA'B'C'D'.
		\item Calculer alors le volume $V''$ du tronc de pyramide restant.
	\end{enumerate}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle fraction du volume total $V$ le volume $V''$ du tronc de pyramide représente-t-il ?
		\item Exprimer cette fraction en pourcentage.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Centres étrangers juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Espagne juin 2001
\hypertarget{Espagne}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Espagne}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Espagne 
  juin 2001~\decofourright}}} \end{center}

\normalsize{}

\vspace{0,25cm}

\noindent L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 9\,240 et 3\,822.
\item Simplifier la fraction $\dfrac{3\,822}{9\,240}$ pour la rendre irréductible : vous noterez sur votre copie le détail des calculs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère $A = (5x - 1)^2 - (5x - 1)(x + 3)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Calculer $A$ pour $x = 2$.
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $A = 0$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(5~;~-2)$ et B$(-1~;~4)$.
\item Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
\item Montrer, au moyen d'un calcul, que AB $=\sqrt{72}$.
\item Construire le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [AB].
\item Placer un point E sur le cercle $(\mathcal{C})$ tel que : AE = 3 ~cm.
\item Montrer que ABE est un triangle rectangle.
\item Calculer les angles $\widehat{\text{EAB}}$ et $\widehat{\text{EBA}}$, donner une valeur approchée au dixième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.7,4.5)
\psline(0.2,0.2)(2.4,4.1)
\psline(1.6,3.7)(2.4,1.3)
\uput[u](1.6,3.7){A} \uput[d](2.4,1.3){N} \uput[d](0.2,0.2){M} \uput[u](2.4,4.1){B} \uput[l](1.85,3.2){O} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.7\linewidth}{
[AN] et [BM] sont deux segments qui se coupent en un point O comme sur la figure ci-contre et qui vérifient :

AN = 6~cm ; OA = 1,5~cm ;

BO = 2,5~cm ; BM = 10~cm.

Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles : vous justifierez votre réponse en citant avec précision le théorème que vous utilisez.}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Reproduire la figure ci-dessous et la compléter.

La figure $\mathcal{F}$ est composée d'un triangle ABC et d'un
demi-cercle de diamètre [AB].\\[2cm]

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.5,8.5)
\psline(5.2,0)(6.8,8.5) \rput(7.05,8.4){($d$)}
\pspolygon(0.5,5.2)(2.3,6.8)(4,4.2)%ABC
\uput[d](0.5,5.2){A}\uput[ur](2.3,6.8){B}\uput[dr](4,4.2){C}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.2,3.5)\uput[d](2.2,3.5){O}
\uput[r](2,6){$\mathcal{F}$}
\psarc(1.4,6){1.187}{41}{220}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire ${\mathcal{F}}_1$ image de $\mathcal{F}$ par la symétrie
  centrale de centre O.
\item Construire ${\mathcal{F}}_2$ image de $\mathcal{F}$ par la symétrie
  orthogonale d'axe $(d)$.
\item Construire ${\mathcal{F}}_3$ image de $\mathcal{F}$ par la translation  qui transforme A en B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4.8,6.5)
\psframe(0.2,0.2)(3.2,4.5)%EHDA
\psline(3.2,0.2)(4,1.5)(4,5.8)(3.2,4.5)%HGCD
\psline(4,5.8)(1,5.8)(0.2,4.5)%CBA
\psline[linestyle=dashed](3.2,0.2)(2.1,5.1)(0.2,0.2)%HOE
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(2.1,5.1)(4,1.5)%FOG
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1,1.5)(4,1.5)%EFG
\pspolygon[linestyle=dashed](0.9,2)(2.8,2)(3.2,3)(1.45,3)%KRST
\uput[ul](0.2,4.5){A} \uput[u](1,5.8){B} \uput[u](4,5.8){C} \uput[ur](3.2,4.5){D} 
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[dr](1,1.5){F} \uput[r](4,1.5){G} \uput[dr](3.2,0.2){H} 
\uput[ul](0.9,2){K} \uput[dr](2.8,2){R} \uput[ur](3.2,3){S} \uput[ul](1.45,3){T} 
\uput[u](2.1,5.1){O}
\rput(1.6,-0.5){Figure 1} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
\psarc(2.7,3.7){2.55}{-231}{51}
\psellipse(2.7,5.57)(1.7,0.39)
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[](2.7,12.7){2.55}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](2.7,12.7){2.55}{0}{180}}% 
\uput[d](2.7,3.7){O}\psdots(2.7,3.7)\uput[ul](2.7,5.52){I}\uput[ur](4.4,5.57){M}
\psline(2.7,5.57)(4.4,5.57)
\psline[linestyle=dashed](2.7,5.57)(2.7,3.67)(4.4,5.57)
\rput{52}(3.7,4.5){$R = 12$}
\psline{<->}(5.8,5.57)(5.8,1.17)\uput[r](5.8,3.87){$h$}
\rput(2.7,0.5){Figure 2} 
\end{pspicture}}

\medskip

La figure 1 représente une boîte en forme de
parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ de mesures AB = 28~cm, BC = 14~cm
et AE = 20~cm.

Les diagonales de la face $ABCD$ se coupent en un point $O$, les
diagonales de la face $EFGH$ se coupent en O$'$.

À l'intérieur de cette boîte est posée une pyramide de sommet O et
de base EFGH. Notons K le point de $[OE]$ tel que OK = 17 ~cm.

On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face EFGH et
passant par le point K ; on désigne par KRST le rectangle section
de la pyramide par ce plan, où R (respectivement S et T) est le
point d'intersection de ce plan avec l'arête [OH] de la pyramide
(respectivement [OG] et [OF]).

La droite (KR) (respectivement les droites (RS), (ST), (TK))
est parallèle à la droite (EH), (respectivement aux droites (HG),
(GF), (FE)). Le triangle OO$'$E est rectangle en O$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de O$'$E. Donner une valeur approchée
  de O$'E$ au dixième près.
\item Calculer la valeur exacte de OE. Donner une valeur approchée
  de O$'$E au dixième près.
\item Calculer $KR$ et $KT$. On donnera les résultats arrondis au dixième près.
\item On remplit de sable la partie de la boîte non occupée par la pyramide.

Calculer le volume de sable utilisé. Donner le résultat du calcul
arrondi à l'unité près. On rappelle que le volume d'une pyramide est
égal au tiers de la surface de la base par la hauteur.
\item On veut reverser ce sable dans un aquarium représenté figure 2,
qui a la forme d'une calotte sphérique de centre O, de rayon
R = 12~cm, de hauteur $h$ égale à 21~cm, dont l'ouverture est un
cercle de centre I et de rayon IM.
  
\medskip
  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte du rayon IM.
		\item Calculer le volume de l'aquarium, sachant que le volume d'une
  calotte sphérique est donné par la formule : $V = \dfrac{\pi    h^2}3(3R - h)$ où $R$ est le rayon de la sphère et $h$ la hauteur de
  la calotte sphérique.

On donnera le résultat de $V$ arrondi à l'unité près.

L'aquarium est-il assez grand pour contenir tout le sable qu'on a
utilisé à la question 5. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Espagne juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Métropole groupement 1 juin 2001
\hypertarget{Metropole1}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Groupement 1}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 1\footnote{Amiens, Lille, Paris, Créteil, Versailles, Rouen}
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\[\text{A} = \frac{12}5 - \frac35\times\frac79\kern1cm \text{B} = \left(\frac23-3\right)\div\frac19\]

\begin{enumerate}
\item Calculer A et écrire la réponse sous forme de fraction
irréductible.
\item Calculer B et écrire la réponse sous forme d'un entier
relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\[\text{C} = \sqrt{18}\times\sqrt9\kern1cm \text{D} = 5\sqrt{12}+6\sqrt3-\sqrt{300}\]

Écrire C et D sous forme $a\sqrt3$, où $a$ est un entier.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\[E = 4x^2 - 9 + (2x + 3)(x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $4x^2 - 9$. Utiliser alors ce résultat pour factoriser $E$.
\item Développer et réduire $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 3)(3x - 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un premier bouquet de fleurs est composé de 3 iris et 4 roses jaunes :
il coûte 9~\euro.

Un second bouquet est composé de 5 iris et de 6 roses jaunes : il
coûte 14~\euro. On appelle $x$ le prix en euros d'un iris
et $y$ le prix en euros d'une rose jaune.

Écrire un système d'équations traduisant les données de ce
problème et calculer le prix d'un iris et celui d'une rose jaune.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\psline(0,0.6)(5.8,0.6)(1.7,5)
\psline(0,0)(5.7,5)
\psline(0,4)(7,4)
\uput[dr](0.63,0.6){C} \uput[dr](5.8,0.6){B} \uput[l](3.5,3.08){A} 
\uput[ur](2.6,4){M} \uput[ul](4.55,4){N}
\psline(3.32,2.9)(3.48,2.73)(3.66,2.9) 
\end{pspicture}
\end{center}

ABC est un triangle rectangle en $A$ tel que AB = 5~cm et
BC = 7,5~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ au degré près.
\item Le point M est sur la droite (AB), à l'extérieur du segment
[AB] tel que AM=2~cm.

\par La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe la droite
(AC) en N.
\par Calculer la longueur MN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\par Les constructions des questions 1 et 2 sont à faire sur la figure
ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(1,0.5)(4.8,0.5)
\uput[l](1,0.5){A} \uput[r](4.8,0.5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur la figure, on a tracé le segment [AB] tel que
AB = 7~cm. Placer un point C tel que $\widehat{\text{BAC}} = 70$~\degres{} et
$\widehat{\text{ABC}} = 60$~\degres.
\item Construire le cercle circonscrit au triangle ABC, et appeler
  O son centre. On laissera les traits de construction.
\item Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$ en justifiant la
  réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill }

\bigskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Ci-après, on a tracé le segment [BC] tel que BC = 15~cm.

Placer un point A tel que AB = 9~cm et AC = 12~cm.
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le milieu $M$ du segment [BC]. Tracer le cercle de
  diamètre [AB]. Ce cercle recoupe le segment [BC] en D et le
  segment [AM] en E.
		\item Démontrer que les triangles ABE et ABD sont rectangles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F, symétrique du point E par rapport au
  point M.
		\item Démontrer que le quadrilatère BECF est un parallélogramme.
		\item En déduire que les droites (BE) et (CF) sont parallèles, et
  que les droites (AF) et (CF) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Soit H le point d'intersection des droites (AD) et
  (BE). Soit K le point d'intersection des droites (AD) et
  (CF).
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent les droites (AD) et (BE) pour le triangle ABM ?
  
En déduire que les droites (HM) et (AB) sont  perpendiculaires.
  
Démontrer de même que les droites (KM) et (AC) sont perpendiculaires.
		\item On appelle I le point d'intersection des droites (AB) et
  (MH). On appelle J le point d'intersection des droites (AC) et
  (KM).
  
Démontrer que le quadrilatère AIMJ est un  rectangle.
  
En déduire que le triangle HMK est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(1,0.5)(5,0.5)
\uput[l](1,0.5){B}\uput[r](5,0.5){C}
\end{pspicture}
\end{center}
\par{\em Les dimensions ne sont pas respectées}
%%%%%%%%   fin Métropole 1 juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Métropole groupement 2 juin 2001
\hypertarget{Metropole2}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Groupement 2}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 2\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans--Tours, Poitiers,Rennes}
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme la plus simple possible :

\[\text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5}.\]
\item Donner l'écriture décimale de :

\[\text{B} = - 4^2 + 10^3 \times 10^{- 1} + (- 3 )^2.\]

\item Écrire sous la forme $a\sqrt{3}$ o\`u $a$ est un nombre entier :

\[\text{C} = 2\sqrt{27} - 4\sqrt{3} + \sqrt{12}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $A = (7x - 3)^2 - 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $7x(7x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
\item Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.
\par Il veut faire des paquets de sorte que :
	\begin{itemize}
		\item tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
		\item tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
		\item toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient
  utilisées.
	\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
		\item Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires
  dans chaque paquet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\par Le granit est une roche cristalline formée d'un mélange hétérogène de quatre éléments : quartz, feldspath, biotite et minéraux secondaires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un bloc de granit est composé de :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 28\,\% de quartz,
\item 53\,\% de feldspath,
\item 11\,\% de biotite,
\item 19,2~dm$^3$ de minéraux secondaires.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Calculer le volume de ce bloc.
\item Un mètre cube de ce granit a une masse de 2,6~tonnes. 

Calculer  la masse du bloc de granit considéré dans la question 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O~;~I~;~J). L'unité de
longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(2~;~1), B(5~;~5) et C(6~;~2).
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer la distance AB.
\item Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item Donner sans justifier les coordonnées du point D.
\item Calculer les coordonnées du centre de symétrie W du
  parallélogramme ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le dessin ci-dessous, la sphère a pour centre O.

Un plan coupe cette sphère selon un cercle $\mathcal{C}$ de centre H et de
rayon 4,5~cm 

(HA = 4,5~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que HO = 2,2~cm, dessiner le triangle OHA en vraie
  grandeur.
\item Calculer la longueur OA à 1~mm près.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.75,-2.75)(2.75,2.75)
\pscircle(0,0){2.6}
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[](0,5.1){2.05}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,5.1){2.05}{0}{180}}%
\pspolygon[linestyle=dotted](0,0)(0,1.6)(1.75,1.2)
\uput[d](-0.5,1.1){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0,0){O} \uput[u](0,1.6){H} \uput[dr](1.75,1.2){A} 
\end{pspicture}
\end{center}
{\em Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère un triangle $ABC$ tel que AB = 6~cm, AC = 9~cm et
BC $=\sqrt{117}$~cm.

\emph{Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées}.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.4)
\pspolygon(0.7,2.6)(4.55,2.6)(0.7,5.2)
\psline(3.5,0)(3.5,6.4)
\psline(4.1,0)(0.15,6.05)
\psdots(0.7,2.6)(4.55,2.6)(0.7,5.2)(2.4,2.6)(3.5,2.6)(3.5,3.3)(3.5,0.92)
\uput[dl](0.7,2.6){A} \uput[dl](2.4,2.6){E} \uput[dr](3.5,2.6){H} \uput[dr](4.55,2.6){C} 
\uput[ur](3.5,0.92){M} \uput[ur](3.5,3.3){J} \uput[dl](0.7,5.2){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Le point $E$ est le point du segment [AC] tel que
  AE = 4~cm. La médiatrice du segment [EC] coupe le segment [EC]
  en H, le segment [BC] en J et la droite (BE) en M.
  
Prouver que :

\begin{itemize}
\item Les droites (JH) et (AB) sont parallèles;
\item le segment [HC] mesure 2,5~cm.
\end{itemize}

\item Calculer la valeur exacte de longueur JH.
\item Calculer la longueur HM.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

EFG est un triangle isocèle en E tel que FG = 5~cm et
EG = 6~cm. Le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [EG]
coupe le segment [FG] en K.

\emph{La figure ci-dessous n'est pas
  dessinée en vraie grandeur}.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.5,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.15,0.5)(2.825,6)%FGE
\pscircle(3.9875,3.25){3}
\uput[l](0.5,0.5){F} \uput[dr](5.15,0.5){G} \uput[u](2.825,6){E} 
\uput[dl](2.825,0.5){K} \uput[ur](3.9875,3.25){O}
\psdots(0.5,0.5)(5.15,0.5)(2.825,6)(2.825,0.5)(3.9875,3.25)
\uput[ur](6.5,4.8){$\mathcal{C}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure en vraie grandeur (utiliser une feuille à
  part).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que EKG est un triangle rectangle.
		\item Démontrer que K est le milieu du segment [FG].
		\item Calculer la valeur exacte de EK. Donner une valeur approchée à  1~mm près.
	\end{enumerate}
\item Soit S l'image du point E par la translation de vecteur
  $\vect{\text{KG}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point S sur la figure.
		\item Démontrer que ESGK est un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Compléter la figure en plaçant un point P sur un segment [EG]
(ne pas placer P en O).\par Tracer la parallèle à la droite (FG)
passant par P. Elle coupe la droite (EF) en R.\par On nomme $x$
la longueur du segment [EP] exprimée en cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser sans justifier la nature du triangle EPR.
\item Démontrer que PR $= \dfrac56x$.
\item Exprimer en fonction de $x$ le périmètre du triangle EPR.
\item Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à
  $\dfrac{-7x}6 + 17$.
\item Peut-on trouver une position du point P sur le segment [EG]
  pour laquelle le triangle et le trapèze aient le même périmètre ?
  \textbf{Justifier la réponse}.
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Métropole 2 juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Métropole groupement 3 juin 2001
\hypertarget{Metropole3}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Groupement 3}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 3\footnote{Aix--Marseille, Grenoble, Montpellier, Nice--Corde, Toulouse}
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'égalité traduisant la division euclidienne de \np{1512} par 21.
\item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{720}{\np{1512}}$.\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $A$ suivante :

\[A = (x - 2)^2 + (x - 2)(3 x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation : $(x - 2) (4 x - 1) = 0$.
\item Calculer $A$ pour $x = - \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y 	&=& 15\\
2 x + y &=& 21
\end{array}\right.\]

\item Pour financer une partie de leur voyage de fin d'année, des élèves de troisième vendent des gâteaux qu'ils ont confectionnés eux-même.

Un même jour ils ont vendu 15 tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.

Une tarte aux myrtilles est vendue 4~euros et une tarte aux pommes 2~euros.

La somme encaissée ce jour là est 42 euros.

AprÈs avoir mis le problème en équation, déterminer combien ils ont vendu de tartes de chaque sorte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(12,10)
\psline(0,3.7)(3.6,0)
\psline(3.4,10)(10.1,3.2)
\psline(5,10)(11.4,3.3)
\psline(0,2.3)(11.8,5.7)
\psline(1.4,0)(7.2,10)
\uput[u](1.04,2.6){E} \uput[d](2.2,1.4){B} \uput[ul](3.3,3.22){L} 
\uput[l](5.8,7.58){A} \uput[d](8.57,4.8){R} \uput[r](6.38,8.6){C} 
\uput[ur](9.7,5.1){T} 
\end{pspicture}
\end{center}
Les droites (AR) et (CT) sont parallèles.

Les points E, L, R, T sont alignés.

Les points C, A, L, B sont alignés.

On donne :

LC = 6 cm, LT = 9 cm, LA = 4, 8 cm, LB = 2 cm, LE = 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer LR.
\item Les droites (EB) et (CT) sont-elles parallèles ?

\emph{La figure ci-dessus n'est pas conforme aux dimensions données}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{
ABCDEFGH est un pavé droit à base carrée.
On donne AD = 3 cm, CG = 4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide de sommet G et de base ABCD.
\item Calculer DG.
\item On admet que le triangle ADG est rectangle en D.

Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle AGD.

Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donner la valeur arrondie au millimètre.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,6)
\psframe(0.4,0.3)(3.9,3.8)%ADHE
\psline(3.9,0.3)(4.4,2)(4.4,5.5)(3.9,3.8)%DCGH
\psline(4.4,5.5)(0.9,5.5)(0.4,3.8)%GFE
\psline[linestyle=dotted](4.4,2)(0.9,2)(0.9,5.5)%CBF
\pspolygon[linestyle=dotted](0.4,0.3)(0.9,2)(4.4,5.5)%ABGA
\uput[dl](0.4,0.3){A} \uput[l](0.9,2){B} \uput[r](4.4,2){C} \uput[dr](3.9,0.3){D} 
\uput[l](0.4,3.8){E} \uput[ul](0.9,5.5){F} \uput[ur](4.4,5.5){G} \uput[dr](3.9,3.8){H} 
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}}
\end{center}

\parbox{0.6\linewidth}{Soit LAC un triangle rectangle en $A$;

On donne : LA = 9~cm et AC = 12~cm.

[AH] est la hauteur du triangle LAC.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle LAC.
\item Montrer que : LC = 15~cm.
\item En exprimant différemment le calcul de l'aire du triangle LAC, montrer que AH = 7,2~cm.
\end{enumerate}
} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(0.3,3)%ACL
\psline(0.3,0.3)(1.55,2)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.8,0.3){C} \uput[ul](0.3,3){L}
\uput[](1.55,2.15){H} 
\end{pspicture}
}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}}
\end{center}

On place un point $M$ sur le côté [LC] du triangle LAC et on note $x$ la distance L$M$, exprimée en cm ($0 < x < 15$).

\parbox{0.6\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur $M$C.
\item Le segment [AH] peut être considéré comme hauteur à la fois du triangle $M$AC et du triangle LA$M$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du triangle LA$M$, exprimée en cm$^2$, est $3,6x$.
\item Montrer que l'aire du triangle $M$AC, exprimée en cm$^2$, est $54 - 3,6x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ les deux triangles LA$M$ et $M$AC ont-ils la même aire ? Quelle est alors cette aire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(0.3,3)%ACL
\psline(0.3,0.3)(1.55,2)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(3.1,0.85)
\uput[ur](3.1,0.85){$M$}
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.8,0.3){C} \uput[ul](0.3,3){L}
\uput[ur](1.55,2){H} 
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}}
\end{center}

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On choisira l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille de papier millimétré. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre, sur l'axe des ordonnées, 1~cm représente 10 unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f(x) = 3,6x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 54 - 3,6x.\]

\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle $M$AC est égale à 36~cm$^2$ en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.
\item Soit $K$ le point d'intersection des deux droites obtenues.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point $K$.
		\item En utilisant les résultats obtenus à la question II 2. c. :
	\begin{itemize}
		\item Que représente l'abscisse du point $K$ ?
		\item Que représente l'ordonnée du point $K$ ?
	\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Métropole 3 juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Métropole groupement 4 juin 2001
\hypertarget{Metropole4}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Lyon}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 4\footnote{Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Lyon, Reims, Strasbourg}
  juin 2001~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés, soit des étapes de calculs, soit d'explications. Le barème en tiendra compte

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et B, en donnant les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\[\text{A} = 9 \times  \dfrac{3}{2} - 10\qquad  \text{B} = \left(\dfrac{3}{2} \right) - \left(\dfrac{1}{3} \right)^2 \times \left(- \dfrac{5}{2} \right).\]

\item On considère l'expression : 

\[C = (2 x - 5)^2 - (2 x - 5) (3 x - 7)\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $C$.
		\item Factoriser l'expression $C$.
		\item Résoudre l'équation : $(2 x - 5) (2 - x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas en vraie grandeur),

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] ABCD est un carré dont le côté a pour mesure (en centimètres) $x$,
\item[ ] ECF est un triangle rectangle en C,
\item[ ] le point E étant un point du segment [BC].
\item[ ] on donne FC = 4 cm.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,4.2)
\psframe(0.5,0.5)(4,4)
\psline(4,0.5)(8.5,0.5)(4,3)
\uput[l](0.5,4){A}\uput[r](4,4){B}\uput[l](0.5,0.5){D}\uput[d](4,0.5){C}
\uput[d](8.5,0.5){F}\uput[l](4,3){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire, notée $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$, du carré ABCD en fonction de $x$.
		\item Calculer $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ pour $x = 2 + \sqrt{2}$ (on donnera le résultat sous la forme $a + b\sqrt{2}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers).
	\end{enumerate}
\item On suppose que $x$ est supérieur à 1.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la longueur BE est égale à 0,5~cm, calculer, en fonction de $x$, l'aire, du triangle ACF notée $\mathcal{A}_{\text{ACF}}$.
		\item On note $S$ la somme, en fonction de $x$, des deux aires $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ et $\mathcal{A}_{\text{ACF}}$.
		
Vérifier que : $S = x^2 + 2 x - 1$.
		\end{enumerate}		
\item Calculer $S$ pour $x = 2 + \sqrt{2}$.

On donnera le résultat sous la forme $c + d \sqrt{2}$ , où $c$ et $d$ sont des nombres entiers).
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un cirque propose deux tarifs d'entrée : un pour les adultes et un pour les enfants.

Un groupe de trois enfants avec un adulte paie $290$~F.

On peut traduire ces données par l'équation à deux inconnues : $3 x + y = 290$.

Un autre groupe de 5 enfants avec quatre adultes paie $705$~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire alors une deuxième équation et résoudre le système obtenu de deux équations à deux inconnues.
\item Donner le prix d'une entrée pour un enfant et celui d'une entrée pour une adulte
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas à refaire sur la copie. Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-6)(6.5,4)
\pscircle(3,0){3}
\psline(0,0)(6,0) \psline(1.5,-3.5)(1.5,3.5)
\psline(1.5,2.598)(6,-5.196)
\psline(6,-6)(6,4)
\uput[l](0,0){A} \uput[r](6,0){B} \uput[ul](1.5,2.598){C} \uput[dl](1.5,-2.598){D} 
\uput[dr](1.5,0){M} \uput[dr](3,0){O} \uput[r](6,-5.196){T} \uput[u](3.5,3.15){($C$)} 
\end{pspicture}
\end{center}

Le rayon du cercle ($C$) de centre O est égal à 3 cm.

[ AB ] est un diamètre de ce cercle.

Les points C et D appartiennent au cercle et la droite (CD) est la médiatrice du rayon [OA].

La droite ( OC ) coupe en T la tangente au cercle ($C$) au point B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (CM) et (BT) sont parallèles.
\item Calculer, en utilisant la propriété de Thalès, la longueur OT.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle COA est équilatéral.
		\item En déduire une mesure (en degrés) de l'angle $\widehat{\text{MCO}}$, puis une mesure (en degrés) de l'angle $\widehat{\text{DOT}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les tracés demandés dans cet exercice sont à réaliser sur la figure ci dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,10)
\multido{\n=-1+1}{12}{\multido{\na=-1+1}{14}{\psdots(\na,\n)}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1,-1)(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\psarc[linewidth=2pt]{->}(8.2,5.5){0.5cm}{-90}{90}
\uput[r](8.7,5.5){sens de la rotation}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé (O, I, J) représenté sur la feuille annexe \no 1, placer les points suivants :

\[\text{A}(2~;~3), \text{B} (5~;~6) \text{et \:\: C}(7~;~4).\]

\item On admettra que AB $= 3\sqrt{2}$ et que BC $= 2\sqrt{2}$.

Calculer la distance AC et prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Représenter le point D, image du point A par la rotation de centre B et d'angle 90\:\degres. (dans le sens qui est indiqué sur la feuille annexe et qui est le sens contraire des aiguilles d'une montre ).
\item Représenter le point M tel que $\vect{\text{BM}} = \vect{\text{BA}} +\vect{\text{BC}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère BCMA ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le point N image de D dans la translation de vecteur
$\vect{\text{BA}}$.
		\item Expliquer pourquoi les points B, C et D sont alignés.
		\item Démontrer que les points A, M et N sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Une entreprise fabrique des coquetiers en bois qu'elle vend ensuite à des artistes - peintres.

Elle leur propose, à deux tarifs, au choix :

- Tarif \no 1 : 25 F le coquetier.

- Tarif \no 2 : un forfait de 400 F et 15 F le coquetier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix de 30 coquetiers et celui de 50 coquetiers au tarif \no 1 puis au tarif \no 2.
\item On note $x$ le nombre de coquetiers commandés.

En fonction de $x$, les prix $P_{1}$ au tarif \no 1 et $P_{2}$ au tarif \no 2 de $x$ coquetiers sont donc donnés par :

\[P_{1}(x) = 25 x \quad \text{et}\quad  P_{2}(x) = 15 x + 400.\]

Construire, dans le même repère orthogonal donné sur la figure ci-dessous,
les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ qui représentent les deux fonctions $P_{1}$ et $P_{2}$. (on prendra comme unités :

sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 coquetiers commandés,

sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 100 F)

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,10)
\multido{\n=-1+1}{12}{\multido{\na=-1+1}{14}{\psdots(\na,\n)}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(12,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){10}\uput[l](0,1){100}
\uput[d](11,0){coquetiers}\uput[l](0,10){F}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Par simple lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le plus grand nombre de coquetiers qu'un peintre peut acheter avec \np{1200}~F ?
		\item Pour quel nombre de coquetiers, les prix $P_{1}$ et $P_{2}$ sont-ils les mêmes ?
		\item À quelle condition, le tarif \no 2 est-il le plus avantageux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Le coquetier est fabriqué avec un cylindre de 3~cm de rayon et de 6~cm de hauteur que l'on évide en creusant un cône de même base circulaire de centre O que le cylindre et dont le sommet est le centre I de l'autre base du cylindre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.5)(3.5,6.5)
\psline(-3,0)(-3,6)(3,6)(3,0)
\psellipse(0,6)(3,0.45)
\psellipse(0,0)(3,0.45)
\psellipse[linestyle=dashed](0,1.5)(3,0.45)
\psellipse[linestyle=dashed](0,1.5)(0.75,0.23)
\psline[linestyle=dashed](-3,1.5)(3,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3,6)(0,0)(-3,6)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,6)
\uput[ul](0,6){O}\uput[ul](0,1.5){O$'$}\uput[ur](0.75,1.5){A$'$}\uput[dr](0,0){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur exacte du volume (en cm$^3$) d'un coquetier est $36 \pi$ et donner sa valeur arrondie au cm$^3$.
\item On sectionne l'objet par un plan (P) parallèle à la base du cylindre.

Les points O$'$ et A$'$ appartiennent à ce plan (P).
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la longueur OO$'$ est 4~cm et que les droites (OA) et (O$'$A$'$) sont parallèles, démonter que la longueur O$'$A$'$ est égale à 1~cm.
		\item Dessiner la section du coquetier par le plan (P).
(la figure, qui est une couronne, sera non déformée et dessinée en vraie grandeur).
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de cette section.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Métropole 4 juin 2001
\newpage
%%%%%%%%   Polynésie juin 2001
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Polynésie}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie
  juin 2001~\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textsc{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Calculer les nombres A et B en détaillant les calculs.
  
$\text{A} = \dfrac{3}{7} \div \dfrac{4}{21}-\dfrac{5}{2}$ (on donnera le résultat sous
la forme d'une fraction.)

$\text{B} = \dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10}$ (on donnera le résultat sous la forme $10^n$.)
\item Donner l'écriture scientifique du nombre C :

\[\text{C} = 0,007 \times 10^2.\]

\item Écrire D sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des
  entiers, $b$ étant le plus petit possible :

\[\text{D} = 5\sqrt8 - \sqrt{50}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression 

\[E = (3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1).\]

\begin{enumerate}
  \item Développer et réduire $E$.
  \item Factoriser $E$.
  \item Calculer $E$ pour $x = -2$.
  \item Résoudre l'équation $(3x - 1)(4x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textsc{Exercice 3}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition, par âge, des élèves
du club de pirogue du collège.
\begin{center}
  \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    {\bf \^Age des élèves}&11&12&13&14\\
    \hline
    {\bf Nombre d'élèves}&4&7&10&3\\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item Calculer l'effectif total du club.
  \item Calculer l'âge moyen des élèves de ce club.
  \item Calculer le pourcentage d'élèves ayant moins de 14 ans dans ce
    club.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textsc{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les mesures de longueurs sont données en centimètres.\\ 
Les figures ne sont pas en vraie grandeur.}

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6.5)
\psline(0,0)(1.8,6)(4,0)
\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(0,3)(4,3)\psline(0,5)(4,5)
\uput[u](1.8,6){A} \uput[ur](2.2,5){B} \uput[ur](2.9,3){C} \uput[ur](3.8,0.5){D} \uput[ul](0.15,0.5){E} \uput[ul](0.9,3){F} \uput[ul](1.5,5){G} 
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{
Observer la figure ci-contre.\par On donne AB = 2 ; AF = 5; AC = 4; GB = 1,5 ; 
  
AE = 10 ; AD = 8 ; (GB)//(FC).

\medskip

  \begin{enumerate}
    \item Calculer les longueurs AB et FC.
    \item Les droites (FC) et (ED) sont-elles parallèles ?
      Justifier la réponse.
  \end{enumerate}}

\bigskip

\textsc{Exercice 2}

\medskip

\emph{Les mesures de longueurs sont données en centimètres.\\ Les
figures ne sont pas en vraie grandeur.}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-2)(2.2,2.2)
\pscircle(0,0){2}
\rput(0,0){\pstEllipse[linestyle=dashed]{2}{0.25}{0}{180}}
\pstEllipse{2}{0.25}{-180}{0}
\psline(0,0)(0,2)(2,0)(-2,0)
\uput[l](-2,0){A}\uput[u](0,2){S}\uput[r](2,0){B} \uput[d](0,0){O}
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{Une lampe a la forme d'une boule de  centre O et de rayon 30, [AB] est un diamètre et [SO] un rayon de cette boule (voir figure ci-contre).
  
\emph{Rappel :}

Volume d'une boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ 

$R$ : rayon de la boule.

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Calculer le volume de la boule (donner la valeur arrondie au cm$^3$).
  \item On donne SB $= 30\sqrt2$ ; montrer que la droite (SO) est
    perpendiculaire à la droite (AB).
\end{enumerate}}

\bigskip

\textsc{Exercice 3}

\medskip

\par{\em Les mesures de longueurs sont données en centimètres.}
\par{\em Prévoir de la place autour du tracé du triangle $ABC$.}
\begin{enumerate}
  \item Tracer le triangle $ABC$ tel que $BC=4$; $AB=3$; $AC=2$ (on
    appelera cette figure $F_1$).
  \item Construire l'image de $F_1$ par la symétrie d'axe $(AB)$ (on
    l'appelle $F_2$).
  \item Construire l'image de $F_1$ par la symétrie de centre $B$ (on
    l'appelera $F_3$).
  \item Construire l'image de $F_1$ par la translation de vecteur
    $\vect{BC}$ (on l'appelera $F_4$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,4.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(0,4)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\uput[dl](0,0){H}\uput[dr](3,0){R} \uput[u](0,4){J}
\end{pspicture}
\end{center}}\hfill\parbox{0.45\linewidth}{\emph{L'unité de longueur est le mètre.\\ Le dessin n'est pas à l'échelle.}}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Roméo (R) veut rejoindre Juliette (J) à sa fenêtre. Pour
  cela, il place une échelle [JR]. Le mur et le sol sont
  perpendiculaires.
  
On donne HR = 3 et JH = 4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur JR.
\item Calculer $\cos\widehat{\text{HJR}}$ puis la valeur de l'angle
  $\widehat{\text{HJR}}$ arrondie au degré.
\end{enumerate}
\item L'échelle glisse.

On donne JR = 5 et $\widehat{\text{HJR}} = 40 \degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur HR (donne la valeur arrondie au dixième).
		\item Écrire l'expression de $\tan\widehat{\text{HJR}}$ puis calculer la  longueur JH (donner la valeur arrondie au dixième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Pour les questions $1.$, $2.$ et $6.$, utiliser une
  feuille de papier millimétré.}

Dans un repère orthonormé (O ; I, J), l'unité graphique est le
centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Placer les points A(2~;~0); B(3,5~;~6) et C(9~;~5,5).
  \item Placer dans ce repère le point D tel que
    $\vect{\text{AD}}=\vect{\text{AB}}+\vect{\text{AC}}$.
  \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
  \item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC].
  \item Soit la fonction affine $f$ telle que $f(2) = 0$ et
    $f(3,5) = 6$.
    
Trouver l'expression algébrique de $f$.
  \item Tracer la représentation graphique de $f$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%@Titre: Polynésie -- 2001
\par{\em Les mesures de longueurs sont données en centimètres.\par Les
figures ne sont pas en vraie grandeur.}

Observer la figure ci-contre.

 On  donne $AG = 2$; $AF=5$; $AC=4$; $GB=1,5$; $AE=10$; $AD=8$; $(GB)//(FC)$.
 
 \medskip
 
  \begin{enumerate}
    \item Calculer les longueurs $AB$ et $FC$.
    \item Les droites $(FC)$ et $(ED)$ sont-elles parallèles ?
      Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
}
%%%%%%%%
%@metapost:polynesie2001.mp
%@Titre: Polynésie -- 2001
\em Les mesures de longueurs sont données en centimètres.\par Les
figures ne sont pas en vraie grandeur.}
Une lampe a la forme d'une boule de
  centre $O$ et de rayon 30, $[AB]$ est un diamètre et $[SO]$ un rayon
  de cette boule (voir figure ci-contre).
  
\em Rappel:

Volume d'une boule : $V=\dfrac43\pi R^3$\par
$R$: rayon de la boule.

\medskip
\begin{enumerate}
  \item Calculer le volume de la boule (donner la valeur arrondie au cm$^3$).
  \item On donne $SB=30\sqrt2$; montrer que la droite $(SO)$ est
    perpendiculaire à la droite $(AB)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2001
\newpage 
%%%%%%%%  Antilles-Guyane septembre 2001
\hypertarget{Antillessep}{}

\rhead{\small Brevet des collèges septembre 2001}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{Antilles-Guyane}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Antilles-Guyane 
  septembre 2001~\decofourright}}} \end{center}

\normalsize{}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

En écrivant les calculs intermédiaires, exprimer sous la forme d'une fraction irréductible :

\[\text{Q} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{3}}{3}\times \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{5}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers :

S $ = 7\sqrt{63} - 3\sqrt{28} + \sqrt{7}$.
\item Trouver l'entier positif A tel que : $\sqrt{\text{A}} = 13\sqrt{31}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Trois floups et deux glaces coûtent vingt-sept francs ; deux floups et trois glaces coûtent trente francs.

Calculer le prix d'un floup et celui d'une glace.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

Soit l'expression : $E = 49 - (3x - 4)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $E = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Monsieur Dupont possède une propriété ayant la forme du schéma suivant :

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,5)
\psline(0,4)(0,0)(4,0)
\psline(0,0.3)(0.3,0.3)(0.3,0)
\psarc(2,2){2.828}{-45}{135}
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](0,4){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[d](2,0){100 m} \uput[l](0,2){100 m}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{Le côté [AB] du triangle isocèle ABC mesure 100 m, et le demi-cercle a pour diamètre [BC].}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer la valeur exacte de BC. 
\item  Calculer la superficie \emph{réelle} du terrain. P. 
\item  Calculer le périmètre \emph{réel} du terrain.

\emph{N. B. } On utilisera le $\pi$ de la calculatrice ; on arrondira les résultats demandés au centième en précisant clairement les unités.
\item  Soir I le milieu de [AC]. Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABI}}$ (résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire le triangle KLM tel que :

KM =  10 cm	\qquad KL = 5 cm \qquad	 et 	LM =7 cm.

Placer sur [KM] le point N tel que KN = 4 cm.

La parallèle à (LM) passant par N coupe (LK) en R.
\begin{enumerate}
\item  Calculer KR et NR.
\item  Calculer le périmètre du quadrilatère LMNR
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,  I,  J),  l'unité est le centimètre.
\begin{enumerate}
\item  Placer les points :
\[\text{A}(-4~;~5) \qquad \text{B}(2~;~-3) \qquad  \text{C}(-1~;~6)\]
\item  Calculer les distances AB, AC et BC (on donnera les valeurs exactes).
\item  Démontrer alors que le triangle ABC est rectangle et préciser en quel sommet.
\item  On considère la fonction affine $f$ r\'telle que $f(x) =  ax + b$ qui vérifie : 

$f(-4) = 5$  et  $f(-1) = 6$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coefficients $a$ et $b$.
		\item  Construire la représentation graphique de $f$.
	\end{enumerate}
\item  Quelle est l'image par $f$ de $2$ ?
\item  On sait que la droite (AC) coupe l'axe des abscisses ers un point E dont l'ordonnée est $0$. Quelle est son abscisse ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%    Fin Antilles septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Paris septembre 2001
\hypertarget{Parissep}{}

\rhead{\small Brevet des collèges septembre 2001}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{Paris}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 1\footnote{Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen, Versailles}  
  septembre 2001~\decofourright}}}
  
\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit A $= \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \dfrac{5}{14}$ \qquad B $ = 
\dfrac{5 \times 10^{2000}}{20 \times 10^{2001}}$ \qquad C $ = \dfrac{ 5,1 
\times 10^2 - 270 \times 10^{-1}}{4,83 \times 10^2}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer A et mettre le résultat sous la forme d'une fraction 
irréductible.

\item Calculer B et donner l'écriture scientifique du résultat.

\item Démontrer que C est un nombre entier.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit D $ = \sqrt{20} + 3\sqrt{5} - 4 \sqrt{45}$ \qquad E $ = \sqrt{15} \times \sqrt{48}$.

\begin{enumerate}
\item Mettre D sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.

\item Mettre E sous la forme $b\sqrt{5}$ où $b$ est un entier relatif.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $F = (3x + 1)^2 + (3x + 1)(5x - 4)$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 1)(8x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Je suis capitaine d'un navire et j'ai 11 matelots à mon bord.

Mon âge est la moyenne des âges des matelots.

Ma pointure est la médiane des pointures des matelots.

Voici la liste des 11 matelots

\begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prénoms	&Âges &Pointures\\ \hline
Ali 	&20		&	44\\ \hline
Billy	&25		&	43\\ \hline
Carlos	&18		&	41\\ \hline
Djamel	&26		&	39\\ \hline
Emile	&49		&	45\\ \hline
Franck	&41		&	43\\ \hline
Gustave	&57		&	41\\ \hline
Henri	&34		&	44\\ \hline
Igor	&19		&	39\\ \hline
Jules	&52		&	43\\ \hline
Kévin	&22		&	42\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

Trouver mon âge et ma pointure. Justifier les réponses.

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill	12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox[l]{0,45\textwidth}{Michel s'est reculé pour mieux admirer
 un monument en entier.
  
Il se trouve maintenant à 88 m de celui-ci et l'angle entre l'horizontale de ses yeux et le haut du monument est de $37~\degres$
(schéma ci-contre).

Sachant que les yeux de Michel sont à 1,69~m du sol, calculer la 
longueur AC (arrondir à 0,01 m près).} \hfill
\parbox[r]{0,45\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0,0.5)(5.5,0.5)(5.5,5.5)(0,1)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(5.5,1)
\psline{<->}(0,0)(5.5,0)
\psline(5.5,0.5)(6,0.5) \psline(5.5,1)(6,1)
\psline{<->}(6,0.5)(6,1)
\psframe(0,0.5)(0.3,0.8) \psframe(5.5,0.5)(5.2,0.2) \psframe(5.5,1)(5.2,1.3)
\uput[ul](0,1){O} \uput[r](5.5,5.5){A}
\uput[ur](5.5,1){B} \uput[dr](5.5,0.5){C}
\uput[ur](1.2,1){$37\up{o}$}
\uput[u](2.75,0){88 m}
\rput{90}(5.8,0.7){\footnotesize 1,69 m}
\pscurve(-0.6,1.2)(-0.8,1.1)(-1,1)(-0.8,0.9)(-0.6,0.8)
\qdisk(-0.7,1){3pt}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm} 

Voici une liste de monuments connus et leurs hauteurs 
respectives :

\begin{center} \begin{tabular}{l l l r}
Acropole d'Athènes	&50 m&Panthéon&	80 m\\
Arc de triomphe de l'étoile	&49,55 m&Pyramide de Kheops&138 m\\
Notre Dame de Paris&68 m&Basilique St Pierre de Rome&45 m\\
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

De quel monument peut-il s'agir ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox[l]{0,45\textwidth}{Sur la figure ci-contre :

A est le point d'intersection de [BF] et de [CE].

On a AB = 4,2 cm ; AC = 5,6 cm ; BC 7 cm ;
AE = 9,2 cm et AF = 6,9 cm.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles?
Justifier votre réponse.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[l]{0,45\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,5)
\pspolygon(0,0)(5.7,0)(3.4,4.4)(5.9,4.4)
\uput[ul](0,0){E} \uput[r](5.7,0){F} \uput[l](3.4,4.4){B} 
\uput[r](5.9,4.4){C} \uput[r](3.8,2.7){A} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la feuille annexe :

\begin{enumerate}
\item Tracer le symétrique D$_2$ du drapeau D$_1$ par rapport au point O.
\item Tracer le symétrique D$_3$ du drapeau D$_1$ par rapport à la droite (HE).
\item Tracer l'image D$_4$ du drapeau D$_1$ par la translation de vecteur 
$\vect{\text{FG}}$.
\item Tracer l'image D$_5$ du drapeau D$_1$ par la rotation de centre O, d'angle  $90\up{o}$, dans le sens de la flèche.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

La figure est commencée au verso de la feuille annexe. La compléter au 
fur et à mesure des questions.

ABC est un triangle tel que AB =  5 cm et BC =  7,5 cm.

D est le point du segment [AB] tel que AD = 2 cm.

La parallèle à la droite (BC) passant par D coupe le segment [AC] en E.

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Démontrer que DE =  3 cm.
		\item En déduire que le triangle BDE est isocèle.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Justifier que les angles $\widehat{\text{DEB}}$ et 
$\widehat{\text{EBC}}$ sont égaux.
		\item En déduire que la demi-droite [BE) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F tel que 
$\vect{\text{BF}} = \vect{\text{DE}}$.
		\item Démontrer que le quadrilatère BDEF est un losange.
		\item On note I le centre du losange BDEF.

Démontrer que le triangle BDI est rectangle.
	\end{enumerate}
\item Dans le triangle ABC, on a $\widehat{\text{ABC}} =  
60\up{o}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur de [DF] ? Justifier.
		\item Calculer la valeur exacte de BI, et en déduire celle de BE.
		\item Calculer l'aire du losange BDEF.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(9,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-6,-8)(9,7)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,3)(2,3)(0,2)
\def\croix{\psline[linewidth=1.5pt](-0.2,0)(0.2,0) \psline[linewidth=1.5pt](0,-0.2)(0,0.2)}
\rput{45}(0,0){\croix} \rput{45}(1,-1){\croix} 
\rput{45}(-1,3){\croix} \rput{45}(1,4){\croix} 
\rput{45}(4,2){\croix} 
\uput[ul](-1,3){F} \uput[ur](1,4){G} 
\uput[ul](4,2){E} \uput[ul](1,-1){H} 
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](0.3,3){D$_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center} \textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{PROBLÈME}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(0,0)(7.5,0)(2.6,4.3)
\qdisk(1.55,2.55){2pt}
\uput[ul](0,0){B} \uput[u](2.6,4.3){A} 
\uput[ur](7.5,0){C} \uput[ul](1.55,2.55){D} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Groupement 1 septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Groupement 2 septembre 2001
\hypertarget{Clermontsep}{}

\rhead{\small Brevet des collèges septembre 2001}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{Clermont-Ferrand}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 2\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes}
 septembre 2001 \decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans chaque ligne du tableau, trois affirmations sont proposées. Une seule est exacte.

Pour chaque ligne, recopier l'affirmation exacte sur la copie.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Proposition \no 1&	Proposition \no 2&	Proposition \no 3\\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\dfrac{2}{5}+ \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{23}{30}$&$\dfrac{2}{5}+ \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = 3$&$\dfrac{2}{5}+ \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = 0,75$\\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}$\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac{2}{3}$&$\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac{3}{2}$&$\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac{1}{6}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\sqrt{16+9} = 7$&$\sqrt{16+9} = 5$&$\sqrt{16+9} = 12$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$(2x - 5)^2 = 4x^2-14x+25$&$(2x - 5)^2 = 4x^2-20x+25$&$(2x - 5)^2 = 4x^2-25$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$49x^2- 25 = (7x - 5)^2$&$49x^2- 25 = (7x - 5)(7x + 5)$&$49x^2- 25 = (7x - 5)(7x - 5)$\\ \hline
$(x+3)(x-5)- (x - 2) (x + 3) =-8(x+3)$&$(x+3)(x-5)- (x - 2) (x + 3) = (x+3) (2x-7)$&$(x+3)(x-5)- (x - 2) (x + 3) = -3(x+3)$\\ \hline
$(-2)$ est solution de l'équation $(x-2)(2x+4)=0$&$(-2)$ est solution de l'équation $x^2+4=0$&$(-2)$ est solution de l'équation $-2x+4=0$\\ \hline
102 est solution de l'inéquation $2x+1 \leqslant 3$&102 est solution de l'inéquation 
$-2x+1\leqslant 3$&102 est solution de l'inéquation $-2x+1 > 3$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

Le 19 juin 1997  le taux de conversion de l'euro a été fixé à : 1 euro =  \np{6,55957} francs.
\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant en arrondissant les réponses au centième.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nature de l'objet	& Un réfrigérateur&Un sèche-cheveux&Un manteau&Un baladeur\\ \hline
Prix en francs	&		&128	&\np{1200}&	\\ \hline
Prix en euros		&373,50	&	&	&29,73\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On nous conseille une \og bonne \fg{} méthode : pour obtenir le prix (approché) en euros d'un objet qui coûte $S$ francs, ajouter $S$ à la moitié de $S$ puis diviser ce résultat par 10.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la \og bonne \fg{} méthode conseillée revient à dire que le prix en euros d'un objet qui coûte $S$ francs est à peu près $\dfrac{3S}{20}$.
		\item En remarquant que \np{6,55957} est peu différent de $\dfrac{20}{3}$, expliquer pourquoi la méthode proposée permet de convertir rapidement le prix en francs en une valeur approchée du prix en euros.
		\item Si l'on applique la « bonne » méthode conseillée, que trouvera-t-on pour les prix en euros du sèche-cheveux et du manteau de la question 1 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0,0)(5.3,0)(2,2.6)
\psline(2,2.6)(2,0)
\psline(0.8,1)(4.1,1) 
\uput[u](2,2.6){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](5.3,0){C} 
\uput[ur](2,1){D} \uput[d](2,0){H} \uput[ul](0.8,1){M} \uput[ur](4.1,1){N} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{On donne la figure ci-contre dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

Les longueurs réelles sont :
 
AM = 9 cm, MB = 6 cm
  
BH = 9 cm,  HC =  16 cm
   
AC =  20 cm}

\medskip
    
\bigskip

Les droites (MN) et (AH) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (BC) et (AH).

 Les questions sont indépendantes. 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire la figure à l'échelle 1/2 en tenant compte des dimensions réelles.
\item  Calculer la longueur AH en justifiant ce calcul.
\item  Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$ ; en déduire une valeur approchée au degré près de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$.
\item  Justifier que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer la longueur MD en justifiant ce calcul.
\item  Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan muni du repère orthonormé (O, I, J),  placer les points :
\[\text{A}(8~;~ 1) \qquad  \text{B}(4~;~ 8) ~\text{et} ~ \text{C}(- 4~;~ 7)\]
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Donner sans justifier les coordonnées du vecteur 
		$\vect{\text{OC}}$ et les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item  Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OABC ?
	\end{enumerate}
\item   Démontrer que OABC est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Les salaires mensuels de trois commerciaux, Ernest, Gilbert et Henri, sont calculés de la manière suivante.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Pour Ernest t 40\:\%
du bénéfice réalisé grâce à ses ventes mensuelles.
\item[$\bullet~$] Pour Gilbert \np{6000}~F auxquels s'ajoutent 15\:\% 
du montant du bénéfice réalisé grâce à ses ventes mensuelles.
\item[$\bullet~$] Pour Henri : \np{12000}~F (sans tenir compte de ses ventes).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Si le bénéfice réalisé grâce à ses ventes mensuelles est de \np{16000}~francs, montrer que le salaire de Gilbert est alors de \np{8400}~francs.
		\item Au cours d'un mois, Ernest, Gilbert et Henri remarquent que pour chacun d'eux le bénéfice réalisé grâce à ses ventes a été de \np{28000}~F. Calculer le salaire mensuel de chacun d'eux.
		\item Quel est le montant du bénéfice qu'Ernest doit réaliser sur ses ventes s'il veut obtenir \np{12000}~F à la fin du mois?
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $x$ le montant, en francs, du bénéfice réalisé grâce aux ventes mensuelles d'un commercial.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $x$, le salaire mensuel de chacun des commerciaux.
		\item  On a tracé ci-après, dans un repère, la représentation graphique de la fonction $e$ définie par : $e~ :~ x \mapsto  0,40x$ pour les valeurs positive de $x$.
		
De quel commercial a-t-on ainsi représenté le salaire ? Que représente la graduation sur l'axe des abscisses ? Sur l'axe des ordonnées ?
		\item  Dans le même repère, tracer la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g~:~ x \mapsto  0,15x + \np{6000}$ pour les valeurs positives de $x$.
		\item Représenter graphiquement le salaire de Henri dans ce même repère.
\end{enumerate}

\emph{Pour répondre aux questions} 3. a \emph{et} 3. b, \emph{laisser les traits nécessaires à la lecture apparents sur le graphique et rédiger la réponse sur la copie.}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Au cours d'un mois, Ernest, Gilbert et Henri ont remarqué que le bénéfice réalisé grâce à leurs ventes a été identique pour chacun d'eux et d'un montant de \np{32000}~F. En utilisant le graphique, donner une valeur approchée du salaire de chacun d'eux.
		\item  Déterminer graphiquement une estimation du montant du bénéfice réalisé grâce à leurs ventes mensuelles pour lequel Gilbert et Henri obtiendraient le même salaire à la fin du mois.
		\item  Trouver la valeur exacte de ce montant en résolvant une équation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\psset{unit=0.000218cm}
\begin{pspicture}(-5000,0)(50000,22500)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5000,Dy=5000]{->}(0,0)(50000,22500)
\multido{\n=0+2500}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,22500)}
\multido{\n=0+2500}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(50000,\n)}
\psline(0,0)(50000,20000)
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%%   fin Groupement 2 septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Groupement 3 septembre 2001
\hypertarget{Grenoblesep}{}


\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{Grenoble}}
\rfoot{\small{septembre 2001}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 3\footnote{Aix--Marseille,Corse, Grenoble,Montpellier, Nice, Toulouse}
  septembre 2001~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère A $ = \dfrac{5}{6} -  \dfrac{7}{6} \times  \dfrac{1}{14} +  \dfrac{2}{3}$.

Calculer A, en indiquant les étapes.
\item  On considère B $ = 3\sqrt{20} - \sqrt{45} + \sqrt{5}$.

Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de \np{4176} et \np{6960}.
		\item Mettre $\dfrac{\np{6960}}{\np{4176}}$	 sous forme de fraction irréductible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :

$C = (3x - 5) (- 5x + 2) + (3x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Développer $C$. 
\item  Factoriser $C$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un jardinier veut planter des pensées et des primevères pour former deux massifs de fleurs.

Pour le premier massif, il achète 12 pensées et 7 primevères, cela lui coûte 71,30 F.
 
Pour le deuxième massif, il achète 8 pensées et 24 primevères, cela lui coûte 91,40 F.
  
Calculer le prix d'une pensée, d'une primevère.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un apiculteur fait le bilan annuel de la production de miel de ses ruches.

Il établit le tableau ci-dessous :

\medskip

{\small  \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
Production $p$ de miel (en kg)&$18 \leqslant p < 20$&$20 \leqslant p < 22$&$22 \leqslant p < 24$&$24 \leqslant p < 26$&$26 \leqslant p < 28$&$28 \leqslant p < 30$\\ \hline
Nombre de ruches & 2&8&5&2&1&2\\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,25cm}

Calculer la quantité moyenne de miel produite par ruche.

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}

\parbox{0.25\linewidth}{On donne  :

BD = 7

AD = 12

$\widehat{\text{BCD}} = 50\up{o}$} \hfill
\parbox{0.7\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6,4)
\pspolygon(0,3.5)(8,3.5)(5,0)
\psline(5,0)(5,3.5)
\psline(4.8,3.5)(4.8,3.3)(5.2,3.3)(5.2,3.5)
\uput[l](0,3.5){A} \uput[u](5,3.5){B} \uput[r](8,3.5){C} \uput[d](5,0){D} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,25cm}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ (on donnera le résultat arrondi au degré).
\item  Calculer la longueur CD (on donnera le résultat arrondi au dixième).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre et l'unité de volume est le centimètre cube.}

On note $h$ la hauteur d'eau dans un cylindre de rayon 8 et de hauteur 15 (figure 1). 

On place alors au fond de ce cylindre une boule de rayon 6 et on constate que le cylindre est totalement rempli (figure 2).

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psframe[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.35)(3.2,2.5)
\psline(0,0.35)(0,3.5) \psline(3.2,0.35)(3.2,3.5) 
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,0.35)(1.6,0.35)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,2.5)(1.6,0.35)
\psellipse(1.6,3.5)(1.6,0.35)
\psellipse[linestyle=dashed](1.6,0.35)(1.6,0.35)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.6,3.5)(3.2,3.5)
\uput[u](2.4,3.5){8}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.4,0.35)(3.4,2.5)
\uput[r](3.4,1.42){$h$}
\uput[d](1.6,-0.5){\emph{Figure} 1}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psframe[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.35)(3.2,3.5)
\psline(0,0.35)(0,3.5) \psline(3.2,0.35)(3.2,3.5) 
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,0.35)(1.6,0.35)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.6,3.5)(1.6,0.35)
\psellipse(1.6,3.5)(1.6,0.35)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=darkgray](1.6,1.5){1.25}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.4,0.35)(3.4,3.5)
\uput[r](3.4,1.75){$15$}
\uput[d](1.6,-0.5){\emph{Figure} 2}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer en fonction de $\pi$ le volume du cylindre.
\item  Montrer que la valeur exacte du volume de la boule est $288\pi.$
\item  Déduire des questions précédentes la hauteur $h$ de l'eau dans le cylindre avant qu'on y place la boule.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Construire sur le schéma ci-après :

\begin{enumerate}
\item  La figure \ding{203}, image de la figure \ding{202} par la symétrie d'axe (OA).
\item  La figure \ding{204}, image de la figure \ding{202} par la symétrie de centre O.
\item  La figure \ding{205}, image de la figure \ding{202} par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. Numéroter chacune des figures construites.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=8mm}\begin{pspicture}(10,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(10,10)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,5){1}{0}{180}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,4)(1,4)(2,5)(0,5)
\psline[linecolor=gray](0,5)(2,5)
\rput(1,5){\ding{202}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3,6)(4,5)(9,8)
\uput[ur](3,6){A} \uput[ur](4,5){O} \uput[ur](9,8){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Dans tout le problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points :

A(1~;~1,5) \qquad	B(5,5~;~7,5)\qquad 	C$(5~;~- 1,5)$
\item  Calculer la longueur BC (on donnera la valeur exacte).
\item  On donne : AB = 7,5	et	AC = 5.

Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item  Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On considère le triangle ABC rectangle en A obtenu dans la première partie.
\begin{enumerate}
\item  Sur la figure de la première partie, placer le point K du segment [AC] tel que CK = 2 et tracer la perpendiculaire à la droite (AC) passant par K. Cette droite coupe la droite (BC) en L.
\item  Montrer que les droites (AB) et (KL) sont parallèles.
\item Calculer la longueur KL.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On considère un point T du segment [AK].

On note KT $= x ~(x$ est un nombre compris entre $0$ et $3$).

On rappelle que :

$\bullet~$ KL =  3 ;

$\bullet~$ l'aire du triangle ABC est 18,75 cm$^2$.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer l'aire du triangle LTC en fonction de $x$.
\item  Montrer que l'aire du quadrilatère ABLT est $15,75 - 1,5x$.
\item  L'aire du quadrilatère ABLT peut-elle être égale à celle du triangle LTC ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Groupement 3 septembre 2001
\newpage


\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Groupement 4 septembre 2001
\hypertarget{Reimssep}{}

\rhead{\small Brevet des collèges septembre 2001}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{Reims}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 4\footnote{Besançon, Dijon, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg}
  septembre 2001~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés soit des étapes de calculs, soit d'explications. Le barème en tiendra compte.}

\emph{Les quatre exercices sont indépendants.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les expressions numériques :

A $ = \dfrac{7}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{6}$ \quad 	et  	B $= \dfrac{\left(10^5\right) \times 30 \times 10^{-2}}{5 \times 10^2}$.

Calculer A, et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Calculer B, et exprimer le résultat sous la forme d'un nombre entier.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soient les nombres
D $= \left(2\sqrt{5} + 2\right)\left(\sqrt{5} - 2\right)$ 	et E $ = \left(\sqrt{5} - 1\right)^2$.

Montrer, en développant, qu'ils sont égaux.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

On considère l'expression suivante : $F = (2x - 3)^2 - (2x - 3) (2 - x)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire l'expression $E$
\item  Factoriser $E$.
\item  Résoudre l'équation $(2x - 3) (3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de $280$ et de $315$.
\item Le sol d'une pièce rectangulaire a pour dimensions 280 cm et 315 cm.

On veut le recouvrir entièrement de dalles carrées identiques dont le côté est un nombre entier de centimètres, sans faire de découpe.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la longueur du côté de la plus grande dalle possible.
		\item Combien de dalles faudra-t-il pour recouvrir ainsi toute la pièce.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(12,10)
\psframe(12,10)
\psline(0,1)(3,1) \psline(10,1)(12,1)
\psline(0,8)(3,8)   \psline(10,8)(12,8)  
\psline(0,9)(3,9)   \psline(10,9)(12,9) 
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,8)(\n,10)}
\multido{\n=10+1}{2}{\psline(\n,8)(\n,10)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=10+1}{3}{\psline(\n,0)(\n,1)}
\uput[d](6,-0.5){\emph{Le schéma ci-dessus n'est pas à l'échelle}}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\emph{Les deux exercices sont indépendants.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{La figure représente une pyramide SABCD, de base le rectangle ABCD, dont l'arête [SD] est perpendiculaire à la face ABCD.

On donne :

AB = 72 mm, BC =  30 mm et SD~=~75~mm.

\emph{Cette figure n'est pas en vraie grandeur et elle n'est pas à refaire sur la copie.}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5)
\psline(4.6,1.1)(1.2,4.6)(3.4,0)(0,0)(1.2,4.6)%CSBAS
\psline(3.4,0)(4.6,1.1)%BC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1.1)(4.6,1.1)%ADC
\psline(0.6,2.4)(2.25,2.4)(2.8,2.9)%EFG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.1)(1.2,4.6)%DS
\psline[linestyle=dashed](0.6,2.4)(1.2,2.9)(2.8,2.9)%EHG
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3.4,0){B} \uput[r](4.6,1.1){C} 
\uput[dr](1.2,1.1){D} \uput[l](0.6,2.4){E} \uput[dr](2.25,2.4){F} 
\uput[ur](2.8,2.9){G} \uput[ul](1.2,2.9){H} \uput[u](1.2,4.6){S} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle ABCD, en mm$^2$. Calculer le volume de la pyramide SABCD, en mm$^3$.
\item  Calculer SA. Arrondir cette longueur au mm.

Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{QSD}}$ arrondie au degré.
\item  On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face ABCD, passant par le point H du segment [SD] situé à 50 mm de S.

Soit EFGH la section obtenue.

La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de réduction sous la forme d'une fraction irréductible.
		\item  En déduire l'aire du rectangle EFGH en mm$^2$ et 1e volume de la pyramide SEFGH en mm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\begin{center}
\begin{pspicture}(5,3)
\pspolygon(0,0)(4,0)(5.5,2)(1.5,2)
\uput[ul](1.5,2){A}  \uput[ur](5.5,2){B}  \uput[dr](4,0){C}  \uput[dl](0,0){D}  
\end{pspicture}
\end{center}

ABCD un parallélogramme donné.
\begin{enumerate}
\item  Construire le point E tel que $\vect{\text{AC}} = \vect{\text{DE}}$, puis le point F, image de E par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item  Quelle est la nature du quadrilatère DCFE ? Justifier la réponse.
\item  Construire 1e point H tel que 	$\vect{\text{CB}}+ \vect{\text{CF}} = \vect{\text{CH}}$.
\item  Montrer que 1e point C est le milieu commun des trois segments [AH], [BE] et [DH].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes, sauf pour la dernière question du problème.}

\emph{L'unité choisie, pour tout le problème est le centimètre.}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algèbriquement (c'est-à-dire par le calcul) le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&2,4x\\
y & =& - 0,8x + 24\\
\end{array}\right.\]

\item  On pose : $f(x) =  2,4x$	et 	$g(x)  = - 0,8x + 24$.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau :
		
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	& 0	&10\\ \hline
$f(x)$ 	& 	& \\ \hline
$g(x)$ 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Représenter les deux fonctions $f$ et $g$, pour $x$ compris entre 0 et 10, sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormal (unité 1 cm).
	\end{enumerate}
\item  Retrouver graphiquement le résultat de la question 1.\\
Pour cela, on fera apparaître de façon bien visible sur le graphique les
tracés nécessaires ainsi que les coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\parbox{0.45\linewidth}{ABC est un triangle tel que
(en centimètres)

AB = 10,   BC = 8 et AC =  6} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.2,3.2)
\pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
\uput[u](0,3){A} \uput[ur](4,0){B} \uput[dl](0,0){C}
\end{pspicture}}

\vspace{0,25cm}

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. 
\item  M est un point quelconque do segment [AB].

La droite parallèle à la droite (BC) passant par M coupe le segment [AC] en D.
 
Trouver deux quotients égaux à $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}$	(on justifiera la réponse). 
\item   On pose AM $= x$ (on a donc $0 \leqslant x \leqslant 10$).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que AD $ =  0,6x$ 	et	MD $ =  0,8x$.
		\item   Exprimer MB et DC en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item   On veut chercher le point M du segment [AB] tel que les périmètres du triangle ADM et du trapèze BCDM soient égaux ; calculer
alors la valeur commune des deux périmètres.

Répondre à cette question en écrivant un système linéaire de deux
équations à deux inconnues et en résolvant celui-ci à l'aide de la première partie du problème.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Reims septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Polynésie septembre 2001
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lfoot{\small{septembre  2001}}
\rfoot{\small{Polynésie}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie 
  septembre  2001 \decofourright}}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Tous les exercices sont indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne : 

A $ =\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{3} \times \dfrac{7}{5}$.

Calculer A, en détaillant les calculs, et donner le résultat sous la forme d'une fraction.
\item On donne :

B $=2\sqrt{20}- 2\sqrt{5}+\sqrt{45}$.

Écrire B sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et $b$ étant le plus petit possible.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $D = (x - 3)^{2}+(x - 3)(x + 8)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Factoriser $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = 4$.
\item Résoudre l'équation $(x - 3)(2x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\nombre{1 030}x+515y	&=	&\nombre{17 510}\\
x+y		&=	&20\\
\end{array}
\right.
\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver, en indiquant les calculs effectués, le PGCD des nombres \nombre{4539} et \nombre{3471}.
\item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{\nombre{4539}}{\nombre{3471}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; I, J) d'unité graphique le centimètre.
\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$, B(1~;~4) et C$(6~;~-1)$.

On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC ; on donnera les valeurs exactes.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Soit M le milieu de [AC]. Calculer les coordonnées du point M.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{ABC est un triangle rectangle en C.

D est un point du segment [AB].

E est un point du segment [AC].

On donne :

AC = 6 ; BC = 4,5 ; AD = 4 ;

(DE) // (BC).} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,3.25)
\pspolygon(0.1,0.1)(5.8,1)(4,3)%ABC
\psline(3.7,0.7)(2.55,1.95)%DE
\uput[d](0.1,0.1){A}\uput[d](5.8,1){B} \uput[ul](4,3){C} \uput[d](3.7,0.7){D} \uput[ul](2.55,1.95){E}  
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure en grandeur réelle sur votre copie.
\item Prouver que AB=7,5.
\item Calculer AE.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{A}}$.
		\item En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{A}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Dabs ce problème l'unité de longueur est le centimètre et l'unité de volume est le centimètre cube}

\medskip

Un fabriquant de Monoï veut fabriquer deux flacons de m\^eme contenance.

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}} 
\end{center}

\parbox{0.6\linewidth}{On considère le \textbf{flacon 1} représenté ci-contre.

Le \textbf{flacon 1} est constitué de 2 pavés droits.
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du pavé inférieur.
\item Calculer le volume, en fonction de $x$, du pavé supérieur.
\item On appelle $V_{1}$ le volume du flacon 1.

Montrer que $V_{1} = 2x+100$.
\end{enumerate} }\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(4,5.75)
\psframe(0,0)(3,2.85)
\psline(3,0)(3.6,0.8)(3.6,3.85)(3,2.85)
\psline(3.6,3.85)(2.35,3.85) \psline(1.15,3.85)(0.6,3.85)(0,2.85)
\psframe(1.15,3.3)(2.15,4.6)
\psline(2.15,3.3)(2.35,3.5)(2.35,4.8)(2.15,4.6)
\psline(2.35,4.8)(1.3,4.8)(1.15,4.6)
\uput[u](1.8,4.8){2} \uput[r](2.4,4.2){$x$}\uput[dr](2.3,3.38){1}
\uput[r](3.6,2){5}\uput[d](1.5,0){5}\uput[dr](3.3,0.45){4}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}} 
\end{center}

On considère le \textbf{flacon 2} ci-contre.

On donne :

SO = 11 ;  SO$'$ = 5,5 ; AB = 6

BC = 4 ; EF = 3 ; FG = 2.
 
Le \textbf{flacon 2} (ci-dessus à droite) est constitué de :
\begin{itemize}
\item la partie supérieure : un pavé droit.
\item la partie inférieure : une pyramide tronquée à base rectangulaire.\\[5mm]
\end{itemize} 

Rappel du volume d'une pyramide : 

$V=\dfrac{\text{aire \: de \:la \: base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la pyramide SABCD de hauteur SO (représentée à côté du flacon 2).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
		\item On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par le point O$'$ du segment [SO].

Calculer le volume de la pyramide SEFGH.
		\item Montrer que le volume de la partie inférieure du flacon 2 est égale à 77~cm$^{3}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ le volume de la partie supérieure du flacon 2.
		\item On appelle $V_{2}$ le volume du flacon 2.

Montrer que $V_{2} = 6x+77$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}} 
\end{center}

Dans un repère orthogonal, on prend pour unités :

\begin{itemize}
\item un centimètre sur l'axe des abscisses ;
\item un millimètre sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize} 
On considère les deux fonctions affines $f$ et $g$ définies par :

$f(x) = 2x + 100$ et $g(x) = 6x + 77$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement les deux fonctions $f$ et $g$ dans le repère.
\item Lire sur le graphique, la valeur de $x$ pour laquelle $f$ égale $g$ (laisser le trait de construction).
\item Retrouver le résultat précédent par le calcul.
\item Que représente cette valeur de $x$ dans ce problème ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  fin Polynésie septembre 2001
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre   2001
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\rhead{\small Brevet des collèges  novembre 2001}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{Amérique du Sud}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet des collèges  Amérique du Sud novembre 2001}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient A $= - \dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{9} \times \dfrac{3}{4}$
et B $ = \dfrac{4}{3} - 2 \times \dfrac{13+ 1}{13 - 1}$.

\medskip
 
Calculer A et B en faisant apparaître les calculs intermédiaires et en présentant les résultats sous formes simplifiées.
\item  Soient C $= \left(\sqrt{10} - 3\right)\left(\sqrt{10} + 3\right)$ 	et	 D $ = \dfrac{5 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^4}{3 \times 10 \times 2 \times 10^{-1}}$.\\
 
\medskip
  
Montrer par le calcul que C et D sont des nombres entiers.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $E = (x - 4)^2 + (x + 6)(x - 4)$.

Écrire E sous forme d'un produit de facteurs.

Résoudre l'équation $2(x - 4)(x + 1) = 0$.
\item Soit $F =  (2x - 3)^2 -  2(5 - 6x)$.

Développer et réduire l'expression $F$.

Calculer F lorsque $x = 2\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les résultats d'un contrôle de la vitesse des véhicules dans la rue d'une agglomération ont été consignés dans le tableau ci-dessous ; les vitesses sont regroupées en classes de $10$~km/h d'amplitude.

\medskip

{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1,75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Vitesse en km/h&$20 < v \leqslant 30$&	$30<v \leqslant 40$&	$40 < v \leqslant 50$&$50 < v \leqslant 60$	&$	60 < v \leqslant 70$& $70	< v \leqslant 80$\\ \hline
Nombre de véhicules	&	26	&	104&	188&108&	16&	8\\ \hline
\end{tabularx}}

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre total de véhicules contrôlés?.
\item Combien de véhicules, roulent à une vitesse supérieure à la limite autorisée de 50 km/h ?
\item Quel est le pourcentage de ces automobilistes, qui roulent à une vitesse supérieure à 50 km/h, se trouvant en infraction ?
\item Calculer la vitesse moyenne des véhicules dans cette rue de l'agglomération. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$ près.

Rappelons que la vitesse est un facteur fortement aggravant des accidents de la route.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI =  OJ = $1$~cm, on considère les points A$(- 6~;~2)$ et B(5,5~;~3,5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OA, OB et AB ; on donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à $1$~mm près.

En déduire la nature du triangle OAB.

Calculer, à un degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
\item On considère la rotation de centre O et d'angle $90$~\degres ; le sens de cette rotation est le sens des aiguilles	d'une montre.

Construire A$'$OB$'$ image de AOB par cette rotation.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BOA}'}$ ; on donnera une valeur arrondie au degré près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un cube dont l'arête mesure $8$~cm.

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psframe(4,4) \psline(4,0)(5.1,1)(5.1,5)(4,4)
\psline(0,4)(1.1,5)(5.1,5)
\psline(4,4)(0.5,4.5)
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.5)(0.5,0.5)(4,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,1)(5.1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.1,1)(1.1,5)
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,4){B} \uput[u](1.1,5){C} \uput[ur](1.1,1){D} \uput[r](5.1,1){E} 
\uput[r](5.1,5){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[dr](4,0){H} \uput[ul](0.5,0.5){M} \uput[ul](0.5,4.5){N} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume $V$ de ce cube et l'aire A de ses faces.
\item  Soit M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC].\\
Quel est le nom du solide ABNMHG ?

Calculer son volume $v$.

Donner une valeur simplifiée de la fraction $\dfrac{v}{V}$.
\item  On suppose maintenant $M$ sur [AD] et $N$ sur [BC] tels
que A$M$ = B$N = x$.

Écrire le volume $v_{x}$ de ABNMHG en fonction de $x$. Calculer $x$ pour que $v_{x}$ représente $15$\:\%
 du volume $V$ du cube ABCDEFCH.
\end{enumerate}}

 \emph{Rappel : }
 
\emph{ Volume du prisme : aire de la base multipliée par la hauteur.}

\emph{ Volume de la pyramide : aire de la base multipliée par la hauteur et divisée par $3$.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Un opérateur téléphonique propose à ses clients trois formules de facturation mensuelle des communications.
\begin{itemize}
\item  Formule 1 :  $0,75$~F la minute.
\item  Formule 2 :  un abonnement fixe de $30$~F et $0,25$~F par minute.
\item  Formule 3 :  un forfait de $65$~F pour $3$~h de communications.
\end{itemize}
   
\medskip
   
\textbf{Partie I}

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Calculer le montant des factures des communications selon les trois formules de tarification pour des durées de $35$~min, de $1$~h $20$~min et de $2$~h $45$~min.

Pour présenter les réponses, recopier et compléter le tableau ci-dessous.

   
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 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&$3$ min	& $1$ h $20$ min& $2$ h $45$ min\\\hline 
Formule 1	&	&	&\\ \hline
Formule 2	&	&	&\\ \hline
Formule 3	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
   
\medskip
   
\textbf{Partie II}

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Cette partie a pour but de rechercher la formule la plus avantageuse selon la durée des communications téléphoniques comprises entre $0$ et $3$~heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ la durée, en minutes, des communications.

Exprimer, en fonction de $x$, le coût des communications selon les différents tarifs ; on appellera $f_{1}(x)$ le prix obtenu en appliquant la formule \no 1, $f_{2}(x)$ en appliquant la formule \no 2, et $f_{3}(x)$ en appliquant la formule \no 3.
\item  Sur une feuille de papier millimétré, on considère un repère orthogonal. L'origine est placée en bas à gauche de la feuille. Sur l'axe horizontal, $1$~cm représente $15$~min ; sur l'axe vertical, $1$~cm représente $10$~F. 
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer les représentations graphiques de $f_{1},~f_{2}$ et $f_{3}$ en se limitant au cas où $0 \leqslant x \leqslant 180$. 
		\item  Résoudre l'équation $0, 75x = 0,25x + 30$.\\
 Résoudre l'inéquation $0,25x + 30 < 65$. 
		\item  Utiliser le graphique de la question a. pour répondre aux questions suivantes :
		
\begin{itemize}
\item  Quelle est la formule la plus avantageuse pour une durée de $1$~h $30$ de communications ?
\item   Pour quelle durée de communications les formules 1 et 2 ont-elles le même coût ?
\item   Pour quelles durées de communications la formule 3 est-elle la plus avantageuse ?
 \end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%  fin Amérique du Sud  novembre 2001
\end{document}