\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node} \usepackage{pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Année 2010}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small L'année 2002} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet 2002 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2002 à mars 2003}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2002} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{Afrique}{Afrique juin 2002} \dotfill 5 \medskip \hyperlink{Aix-Marseille}{Aix-Marseille juin 2002} \dotfill 8 \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2002} \dotfill 12 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2002} \dotfill 16 \medskip \hyperlink{Asie}{Asie juin 2002}\dotfill 19 \medskip \hyperlink{Bordeaux}{Bordeaux juin 2002}\dotfill 22 \medskip \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2002}\dotfill 24 \medskip \hyperlink{Grenoble}{Grenoble juin 2002}\dotfill 28 \medskip \hyperlink{Lyon}{Lyon juin 2002}\dotfill 31 \medskip \hyperlink{Nord}{Nord juin 2002}\dotfill 34 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2002}\dotfill 37 \medskip \hyperlink{LaReunion}{La Réunion juin 2002}\dotfill 40 \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2002} \dotfill 43 \medskip \hyperlink{Bordeauxsep}{Bordeaux septembre 2002} \dotfill 46 \medskip \hyperlink{Estsep}{Est septembre 2002} \dotfill 50 \medskip \hyperlink{Parissep}{Paris septembre 2002} \dotfill 53 \medskip \hyperlink{Reimssep}{Reims septembre 2002} \dotfill 56 \medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2002} \dotfill 59 \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre 2002} \dotfill 63 \medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle--Calédonie mars 2003} \dotfill 65 \medskip \hyperlink{ProBordeaux}{Bordeaux brevet professionnel juin 2002} \dotfill 68 \medskip \hyperlink{TechnoBordeaux}{Bordeaux brevet technologique juin 2002} \dotfill 74 \medskip} \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%% Pondichéry avril 2002 \hypertarget{Pondichery}{} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small{PondichŽéry}} \lfoot{\small{avril 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry avril 2002~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{PREMIÈRE PARTIE : Activités numériques 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip $A = (2x - 3)(2x + 3) - (3x + 1)(2x - 3).$ \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $A$. \item Factoriser $A$. \item Résoudre l'équation $(2x - 3)(-x + 2) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip B $= \dfrac{2 - \dfrac{1}{3}}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}$ \quad ; \quad C $= - \dfrac{4 \times 10^{-3} \times (- 5) \times 10^9}{3 \times 10^6}$ \quad ; \quad D $ = \dfrac{\left(3 + \sqrt{11}\right)^2 - 6\sqrt{11}}{3}$. Montrer, en détaillant les calculs que B = C = D. \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Une personne dispose de 6~euros ; elle peut dépenser cette somme soit en achetant 10~croissants et un cake soit en achetant 4 croissants et deux cakes. Calculer le prix d'un croissant et celui d'un cake. \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Ce tableau rend compte des moyennes obtenues à un devoir de mathématiques par trois classes d'élèves de $3\up{e}$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Classes &$3\up{e}$ A &$3\up{e}$ B &$3\up{e}$ C\\ \hline Effectifs &22 &24 &17 \\ \hline Moyennes &10 &10,5 &12\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer l'effectif moyen d'une classe de $3\up{e}$. \item Calculer la note moyenne obtenue par l'ensemble des élèves de ces trois classes. \item 19 élèves de $3\up{e}$ A, 17 éŽlèves de $3\up{e}$ B et 16 Žélèves de $3\up{e}$ C ont obtenu une note supérieure ou éŽgale ˆà 10. Calculer àˆ $1\:\%$ près, le pourcentage d'Žélèves de ces trois classes ayant obtenu une note supérieure ou Žégale ˆà 10. \end{enumerate} \newpage \textbf{DEUXIÈME PARTIE : Activités géométriques 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox[c]{0.6\textwidth}{SABCD est une pyramide régulière dont la base carrée a un c™ôtéŽ de mesure 2~cm. La hauteur SO est variable, elle est notée $x$ (en cm). \textbf{1.} Calculer le volume de cette pyramide pour $x = 6$ cm. \textbf{2.} Dans cette question, $x$ varie entre 0 et 10 cm. \textbf{a.} DéŽmontrer que le volume de la pyramide en fonction de $x$ est $V(x) = \dfrac{4}{3}x$. \textbf{b.} Tracer la représentation graphique de la fonction $V$ : $x \longmapsto \dfrac{4}{3}x$.} \hfill \parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4,3) \pspolygon(0,0)(2.7,0)(3.6,1.6)(2,2.7)%ADCSA \psline(2.7,0)(2,2.7) \psline[linestyle=dotted](0,0)(3.6,1.6)%AC \psline[linestyle=dotted](2.7,0)(1.4,1.6)(3.6,1.6)%DBC \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.4,1.6)(2,2.7)(2,0.9)%ABSO \uput[ul](0,0){A} \uput[ur](1.4,1.6){B} \uput[ur](3.6,1.6){C} \uput[r](2.7,0){D} \uput[d](2,0.9){O} \uput[u](2,2.7){S} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{c.} Par lecture graphique et en laissant apparents les tracés effectuŽés, dire quel est le volume de la pyramide si $x = 3$ cm puis donner la hauteur de la pyramide pour laquelle son volume est Žégal à 10 cm$^3$. \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un demi-cercle ($\mathcal{C}$) de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $ = 6$ cm. Placer M sur ($\mathcal{C}$) tel que BM = $3,6$ cm. \item Justifier la nature du triangle AMB puis calculer AM. \item Calculer $\sin \widehat{\text{MBA}}$ puis en déduire la mesure de $\widehat{\text{MBA}}$ arrondie au degréŽ. \item P est le point de (AB) tel que PA = 4,5~cm. La parallèle ˆ (MB) passant par P coupe [AM] en R. Calculer AR et RP. \item K est le point de [BM] tel que BK = 0,9 cm. Montrer que les droites (PK) et (AM) sont parallèles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{TROISIÈME PARTIE Problème 12 points} \bigskip \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé (O, I, J) placer les points suivants : \[\text{A} (-1~;~1),\quad \text{B}(3~;~ 3), \quad \text{C}(5~;~-1) \quad \text{et} \quad \text{D}(1~; -3).\] L'unitéŽ est le centimètre. \item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$. En déduire la nature du quadrilatère ABCD. \item Calculer la distance BC. \item On admet que AB = $2\sqrt{5}$ et AC $= 2\sqrt{10}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ABC est un triangle isocèle et rectangle. \item PrŽéciser alors, en justifiant la rŽéponse, la nature du quadrilatère ABCD. \end{enumerate} \item Soit M le milieu de [AC]. Placer le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AM}} + \vect{\text{AB}}$. \item Sans justification, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de BMC par la symétrie de centre M ? \item Quelle est l'image de AMB par la symétrie d'axe BM ? \item Quelle est l'image de AMB par la rotation de centre M, d'angle $90~\degres$ et dans le sens contraire des aiguilles d'une montre ? \item Tracer et colorier l'image de AMB par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Afrique juin 2002 \hypertarget{Afrique}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Afrique de l'Ouest}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Afrique de l'Ouest juin 2002~\decofourright}}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,15cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On donne : A$ = \dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3} \times \dfrac{21}{15}$. écrire A sous la forme d'une fraction irréductible en indiquant les étapes intermédiaires du calcul. \item En utilisant la calculatrice ou non, écrire \[\text{B}=\dfrac{3,2\times 10^{-3}\times5\times\left(10^{2}\right)^{3} }{4\times10^{-2}}\] sous la forme d'un nombre en écriture scientifique. \item Montrer que $\text{C}=\left(2+\sqrt3\right)^{2}+\left(1-2\sqrt3\right)^{2}$ est un nombre entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne $D = (4x + 1)(x - 3) - (x - 3)^{2}$. \begin{enumerate} \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(x - 3)(3x + 4) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c r} 2x+3y&=&17\\ x-y&=&1\\ \end{array} \right.\] \item Un classeur coûte 1~\euro{} de plus qu'un cahier. Le prix de deux classeurs et de trois cahiers est 17~\euro. Quel est le prix d'un classeur et celui d'un cahier ? \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{On considère la figure ci-contre. (la figure n'est pas à l'échelle.) \begin{enumerate} \item Les droites (IG) et (JH) se coupent en un point A. Le point E est sur (JH) et le point $F$ est sur (IG). Les droites (EF) et (HG) sont parallèles. On a : AE = 3 cm ; AF = 4 cm ; AH = 7 cm ; EF = 6 cm. Calculer les longueurs AG et HG en justifiant la démarche utilisée. Donner les résultats sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction irréductible. \item On a : AI = 6 cm et AJ = 4,5 cm. Les droites (IJ) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la démarche utilisée. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,8.5) \psline(2.9,8)(1.2,7)(3.4,1.8)(0,0)(2.9,8)%IJHGI \psline(2.78,3.23)(0.8,2.15)%EF \uput[l](1.9,5.3){A} \uput[r](2.78,3.23){E} \uput[l](0.8,2.15){F} \uput[dl](0,0){G} \uput[dr](3.4,1.8){H} \uput[ur](2.9,8){I} \uput[ul](1.2,7){J} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Un triangle ABD rectangle en B est tel que AB = 9 cm et l'angle $\widehat{\text{BAD}} = 40~\degres$. \begin{enumerate} \item Tracer ce triangle. \item Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera une valeur arrondie au millimètre. \item Construire le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABD (\emph{aucune justification n'est attendue pour cette construction}) ; on précisera la position du centre I de ce cercle. \item Tracer la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$. Elle coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en S ; placer le point S sur la figure. \item Déterminer la mesure exacte de l'angle $\widehat{\text{SIB}}$ en justifiant la démarche utilisée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur. Pour cela, il considère une pyramide régulière SABCD à base carrée où O est le centre du carré ABCD. On a : OA = 12 cm et SA = 20 cm.} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \psline(0,0)(2.8,0)(4.3,1.6)(1.8,4.2)(0,0)%ABCSA \psline(2.8,0)(1.8,4.2)%SB \psline(1.1,2.5)(2.2,2.5)(2.8,3.2)%IJK \psline[linestyle=dotted](1.1,2.5)(1.7,3.2)(2.8,3.2)%ILK \psline[linestyle=dashed](0,0)(4.3,1.6)%AC \psline[linestyle=dashed](2.8,0)(1.6,1.6)%BD \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.6,1.6)(4.3,1.6)%ADC \psline[linestyle=dotted](1.1,2.5)(2.8,3.2)%IK \psline[linestyle=dotted](2.2,2.5)(1.7,3.2)%JL \psline[linestyle=dotted](1.8,4.2)(1.6,1.6)%SD \uput[dl](0,0){\small A} \uput[dr](2.8,0){\small B} \uput[r](4.3,1.6){\small C} \uput[ul](1.6,1.6){\small D} \uput[l](1.1,2.5){\small I} \uput[dr](2.2,2.5){\small J} \uput[ur](2.8,3.2){\small K} \uput[ul](1.7,3.2){\small L} \uput[dl](1.97,2.82){\small M} \uput[dl](2.2,0.81){\small O} \uput[u](1.8,4.2){\small S} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{\Large{Partie I}} \end{center} \begin{enumerate} \item Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm. \item L'artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à la base tel que SM = 2 cm où M est le centre de la section IJKL ainsi obtenue. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL. \item En déduire la longueur SI puis la longueur IA. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie II}} \end{center} L'artisan fabrique donc des boîtes sur le modèle du tronc de pyramide ABCDIJKL. Le confiseur vend ces boîtes remplies de bonbons et de chocolats à une grande surface. Deux tarifs sont proposés au choix : \begin{itemize} \item \textbf{Tarif A} : 2 \euro{} la boîte tous frais compris. \item \textbf{Tarif B} : 300 \euro{} de frais quel que soit le nombre de boîtes achetées et la boîte est vendue 1,50 \euro. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre de boîtes achetées par la grande surface est noté $x$. \begin{enumerate} \item On note $S_{\text{A}}$ la somme à payer pour l'achat de $x$ boîtes au tarif A. Exprimer $S_{\text{A}}$en fonction de $x$. \item On note $S_{\text{A}}$ la somme à payer pour l'achat de $x$ boîtes au tarif B. Exprimer $S_{\text{A}}$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal $(O,I,J)$. Les unités choisies sont : \begin{itemize} \item en abscisses : $1cm$ pour 100 boîtes ; \item en ordonnées : $1cm$ pour 100 \euro ; \end{itemize} \medskip Dans ce repère, tracer les droites $(d)$ et $(d')$ suivantes : $(d)$ représentative de la fonction $f: x \longmapsto 2x$ $(d')$ représentative de la fonction $g: x \longmapsto 1,5x+300$ \item En utilisant le graphique précédent, déterminer la formule la plus avantageuse pour la grande surface dans les deux cas suivants : \begin{enumerate} \item pour l'achat de 500 boîtes ; \item pour l'achat de 700 boîtes. \end{enumerate} \item On voudrait savoir à partir de quel nombre de boîtes achetées le tarif B devient plus avantageux pour la grande surface que le tarif A. Déterminer ce nombre à l'aide de la résolution d'une équation. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Afrique juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Aix-Marseille juin 2002 \hypertarget{Aix-Marseille}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Aix-Marseille}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Aix - Marseille juin 2002~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère la fraction $\dfrac{170}{578}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que cette fraction n'est pas irréductible. \item Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes). \item écrire la fraction $\dfrac{170}{578}$ sous forme irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $C = (x - 1)(2x + 3) + (x - 1)^2$ \begin{enumerate} \item Développer l'expression $C$ et montrer qu'elle est égale à $3x^2 - x - 2$. \item Calculer la valeur de $C$ pour $x = \sqrt{2}$ et la mettre sous la forme $a - \sqrt{2}$ où $a$ est un nombre entier. \item Factoriser l'expression $C$. \item Résoudre l'équation : \[(x - 1)(3x + 2) = 0\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant \[ \left\{ \begin{array}{l c r} 2x + 3y& =& 30\\ x - y& = &5\\ \end{array} \right.\] \item Le CDI d'un collège a acheté 2 exemplaires d'une même bande dessinée et 3 exemplaires d'un même livre de poche pour la somme de 30~euros. Une bande dessinée coûte 5~euros de plus qu'un livre de poche. Quel est le prix d'une bande dessinée ? Quel est le prix d'un livre de poche ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(5.5,4) \psellipse(2.7,0.5)(2.3,0.5) \psline(0.4,0.5)(2.7,3.5)(5,0.5) \psline[linestyle=dashed](2.7,3.5)(2.7,0.5) \psframe(2.7,0.5)(2.95,0.75) \psline[linestyle=dashed](0.4,0.5)(5,0.5) \uput[l](0.4,0.5){A} \uput[r](5,0.5){B} \uput[d](2.7,0.5){O} \uput[u](2.7,3.5){S} \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.55\textwidth}{Un cône de révolution a pour sommet le point S. Sa base est un disque de centre O et de rayon 4 cm. Sa hauteur [SO] est telle que SO~=~2,8~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'arrondi au degré de l'angle $\widehat{\text{OSB}}$. \item Déterminer le volume de ce cône et donner son arrondi au cm$^3$. \end{enumerate}} \newpage \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox[c]{0.55\textwidth}{On considère la figure ci-contre. Cette figure n'est pas en vraie grandeur et n'est pas à reproduire. Elle est fournie pour préciser la position des points. L'unité est le centimètre. \begin{enumerate} \item Le triangle ABC est rectangle en A. AB = 5, BC = 13.\\ Démontrer que AC = 12. \item Les points A, C, M sont alignés. Les points B, C, N sont alignés. CM = 2,4 et CN = 2,6. Démontrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. Calculer la longueur MN. \item Préciser la nature du triangle CMN ; justifier la réponse sans effectuer de calcul. \end{enumerate}} \hfill \parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4,5.5) \psline(1.5,0)(3.7,0)(0.5,5.35)(1.5,5.35)(1.5,0) \uput[l](1.5,0){A} \uput[r](3.7,0){B} \uput[r](1.5,3.75){C} \uput[r](1.5,5.35){M} \uput[l](0.5,5.35){N} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \parbox[c]{0.55\textwidth}{On considère l'hexagone régulier ABCDEF ci-contre de centre O (l'hexagone n'est pas à reproduire). On demande de déterminer l'image du triangle BCO par : \begin{enumerate} \item la translation de vecteur $\vect{\text{AF}}$ ; \item la symétrie d'axe (BE) ; \item la rotation de centre O et d'angle 60° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. \end{enumerate} Pour répondre, on complètera les trois phrases figurant dans l'annexe .}\hfill \parbox[c]{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6,6) \psline(0,3)(1.5,5.6)(4.5,5.6)(6,3)(4.5,0.4)(1.5,0.4)(0,3) \psline(0,3)(6,3) \psline(1.5,5.6)(4.5,0.4) \psline(1.5,0.4)(4.5,5.6) \uput[l](0,3){C} \uput[ul](1.5,5.6){B} \uput[ur](4.5,5.6){A} \uput[r](6,3){F} \uput[dr](4.5,0.4){E} \uput[dl](1.5,0.4){D} \uput[u](3,3){O} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points} \bigskip Les parties A, B et C sont indépendantes. En octobre 2001, un groupe de 15 amis a participé à un semi-marathon (une course à pied de 21 km). Le diagramme en bâtons ci-dessous précise les résultats du groupe. Il indique par exemple que 4 de ces amis ont couru ce semi-marathon en 105~minutes. \parbox[c]{0.45\textwidth}{\textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de l'annexe. \item On a défini ci-dessus la série statistique donnant la durée de la course des coureurs. À l'aide du diagramme en bâtons ou du tableau complété en annexe : \begin{enumerate} \item Calculer son étendue. \item Déterminer sa médiane. \item Calculer sa moyenne. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(6.4,7.5) \psline{->}(0,0.5)(6.4,0.5) \psline{->}(0,0.5)(0,7.5) \psline(0,2)(1.5,2) \psline(0,3)(4.5,3) \psline(0,4)(2.5,4) \psline(0,6)(2,6) \psline[linewidth=2pt](1.5,0.5)(1.5,2) \psline[linewidth=2pt](2,0.5)(2,6) \psline[linewidth=2pt](2.5,0.5)(2.5,4) \psline[linewidth=2pt](4.5,0.5)(4.5,3) \uput[d](1.5,0.5){\footnotesize 90} \uput[d](2,0.5){\footnotesize 100} \uput[d](2.5,0.5){\footnotesize 105} \uput[d](4.5,0.5){\footnotesize 120} \uput[d](4.7,0.2){Durée en minutes} \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,3){3} \uput[l](0,4){4} \uput[l](0,6){6} \rput{90}(-0.8,5){Nombre de coureurs}\end{pspicture}} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Fabien, l'un des participants, a parcouru les 21 km à la vitesse constante de 12 km par heure. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer en minutes la durée de la course de Fabien. \item On s'intéresse à la distance en km séparant Fabien de la ligne d'arrivée après $x$ minutes de course ($0 \leqslant x \leqslant 105$). On note $f(x)$ cette distance et on admet que $f(x) = 21 - 0,2x$. Ainsi $f(10) = 19$ indique qu'après 10 minutes de course Fabien est à 19 km de la ligne d'arrivée. Dans le repère orthogonal de l'annexe, tracer la représentation graphique de la fonction affine $f$ définie par $f(x) = 21 - 0,2x$. \item Par lecture graphique (laisser visible les tracés utiles), déterminer : \begin{enumerate} \item La distance en kilomètres séparant Fabien de l'arrivée après 30 minutes de course. \item La durée en minutes écoulée depuis le départ lorsque Fabien est à 7 km de l'arrivée. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation : $21 - 0,2x = 17$. \item Que représente pour le problème la solution de cette équation ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose dans cette partie que : Les 9 premiers kilomètres sont en montée, les 12 autres sont en descente. Laurent à parcouru : les 9 premiers kilomètres en 40 minutes, Les 12 derniers kilomètres en 50 minutes. \begin{enumerate} \item Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent en montée. \item Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent en descente. \item Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent sur le parcours total. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} \textbf{ACTIVITéS GÉOMÉTRIQUES - EXERCICE 3} \begin{enumerate} \item L'image du triangle BCO par la translation de vecteur $\vect{\text{AF}}$ est \ldots \ldots \item L'image du triangle BCO par la symétrie d'axe (BE) est \ldots \ldots \item L'image du triangle BCO par la rotation de centre O et d'angle 60\degres{} dans le sens contraire des aiguilles d'une montre est \ldots \ldots \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME - PARTIE A - 1.} \begin{center} \begin{tabular}{|l | c | c | c | c |} \hline Durée en minutes &90 &100&105&120\\ \hline Effectifs (nombre de coureurs) & & &4 & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{0,4cm} \textbf{PROBLÈME - PARTIE B - 2. et 3.} \vspace{0,4cm} \begin{center}\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-0.6,-0.5)(12.4,12.7) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(12,12.5) \psline[linewidth=1.8pt](0,0)(12,0) \psline[linewidth=1.8pt](0,0)(0,12.5) \rput{90}(-0.9,6){ordonnées} \rput(5.5,-1){abscisses} \uput[l](0,2.5){5} \uput[l](0,5){10} \uput[l](0,7.5){15} \uput[l](0,10){20} \uput[l](0,12.5){25} \uput[d](0,0){0} \uput[d](1,0){10} \uput[d](2,0){20} \uput[d](3,0){30} \uput[d](4,0){40} \uput[d](5,0){50} \uput[d](6,0){60} \uput[d](7,0){70} \uput[d](8,0){80} \uput[d](9,0){90} \uput[d](10,0){100} \uput[d](11,0){110} \uput[d](12,0){120} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Aix-Marseille juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2002 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Amérique du Nord}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2002~\decofourright}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les nombres A et B. écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. \[ \text{A} = \dfrac{7}{9} \div \left(\dfrac{1}{3} - 2\right) \qquad \text{B} = \dfrac{7 \times \left(7 ^{-2}\right)^{-4}}{7^{11}}\] \item On donne C $= 3 \sqrt{54} - 7\sqrt{6} - \sqrt{2} \times \sqrt{12}$. Montrer que C est un nombre entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $D = (3x + 5) (2 - x) - (2 - x)^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre $(2 - x) (4x + 3) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip En l'an 200, le nombre de voitures vendues en France a été de \np{2134} ~milliers, répartis de la façon suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 602 milliers de Renault ; \item[$\bullet~$] 262 milliers de Citroën ; \item[$\bullet~$] 398 milliers de Peugeot ; \item[$\bullet~$] et des voitures de marques étrangères. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la fréquence des ventes, exprimée en pourcentage et arrondie à 1\:\%, pour les voitures de marques étrangères ? \item Dans le total des ventes de voitures françaises, quel pourcentage représentent les voitures Renault ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} x - y &=& 24\\ x - 3y &=& 16 \end{array}\right.\] \item La différence de deux nombres est 24. Quels sont ces deux nombres sachant que si on augmente l'un et l'autre de 8, on obtient deux nouveaux nombres dont le plus grand est le triple du plus petit ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITéS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Tracer un carré RIEN de côté 5 cm. \begin{enumerate} \item Construire le point P image de I par la translation de vecteur $\vect{\text{RE}}$. \item Sans utiliser d'autres points que ceux de la figure, recopier et compléter les égalités suivantes : \[\vect{\text{RE}} + \vect{\text{EI}} = \ldots\quad ; \quad \vect{\text{NR}} + \vect{\text{IP}} = \ldots \quad ; \quad \vect{\text{RN}} + \vect{\text{RI}} = \ldots\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \parbox{0.47\linewidth}{\emph{Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.} On considère un triangle RNT rectangle en R tel que : NR = 9 cm ; AR = 6 cm ; NT = 10,2 cm BT = 1,6 cm.} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6.5,4) \pspolygon(0,3.7)(6.3,3.7)(6.3,0.4)%NRT \psline(2.1,3.7)(6.3,1.6)%AB \uput[u](0,3.7){N}\uput[u](6.3,3.7){R}\uput[d](6.3,0.4){T}\uput[u](2.1,3.7){A}\uput[r](6.3,1.6){B} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de RT. \item En considérant que RT = 4,8~cm, démontrer que les droites (AB) et (NT) sont parallèles. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{RNT}}$ ; en donner la valeur arrondie au degré près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 :} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB, sont opposés par le sommet. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles. On donne : KA = 4,5~cm, KS = 6 cm et SI = 4 cm.} \hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,6.5) \psellipticarc(0,0.75)(2.5,0.75){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.75)(2.5,0.75){0}{180} \psellipse(0,5.9)(1,0.45) \psline(-2.4,0.92)(0.96,5.8) \psline(2.4,0.92)(-0.96,5.8) \pspolygon[linestyle=dashed](1.7,0.2)(-0.75,6.2)(0,5.9)(0,0.75) \uput[dr](1.7,0.2){A}\uput[ul](-0.75,6.2){B}\uput[r](0,5.9){I}\uput[l](0,0.75){K}\uput[l](0,4.4){S}%ABIKS \rput(1.9,2.5){Cône 1}\rput(1.9,5){Cône 2} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item Calculer BI. \item Calculer le volume V$_{1}$ du cône 1 (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm$^3$). \item Le cône 2 est une réduction du cône 1. Quel est le coefficient de réduction ? Par quel nombre exact faut-il multiplier V$_{1}$, volume du cône 1, pour obtenir directement le volume V$_{2}$ du cône 2 ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \emph{Les parties 1 et 2 sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Par lecture graphique (voir feuille annexe). Dans le repère orthonormal (O,I,J) d'unité le centimètre. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f : \quad x\mapsto 2x$. De quel type de fonction s'agit-il ? \item Vérifier que $\left(\Delta_{1}\right)$ est la représentation graphique de cette fonction. Justifier. \end{enumerate} \item Pour la droite $\left(\Delta_{2}\right)$, lire et répondre sur la copie. \begin{enumerate} \item Les coordonnées du point A, intersection de $\left(\Delta_{2}\right)$ avec l'axe des abscisses. \item Les coordonnées du point B, intersection de $\left(\Delta_{2}\right)$ avec l'axe des ordonnées. \item Donner la fonction affine g dont $\left(\Delta_{2}\right)$ est la représentation graphique. \item Dessiner en pointillés dans le repère les traits de constructions permettant de donner les réponses suivantes : \[\left\{\begin{array}{l c l} g(3) &=&\ldots\\ g(x) &=& 4 \: \text{pour} \: x = \ldots \end{array}\right.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=5mm} \begin{pspicture}(-10,-10)(10,10) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-10)(10,10) \psplot{-5}{5}{x 2 mul} \psplot{-3}{7}{4 x 2 mul sub} \uput[dr](0,0){O}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J} \uput[dr](3,6){$\left(\Delta_{1} \right)$} \uput[dl](-2,8){$\left(\Delta_{2} \right)$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Dans le repère orthonormal (O, I, J) d'unité le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points R$(-7~;~-2)$, F$(-5~;~2)$ et V$(-3~;~-4)$. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{RF}}$. \item Vérifier que RF $= 2\sqrt{5}$. \item On donne RV $= \sqrt{20}$ et VF $= 2\sqrt{20}$. Prouver que le triangle RFV est \textbf{rectangle isocèle}. \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point K milieu de [FV]. \item \begin{enumerate} \item Déterminer par son centre et son rayon le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle RFV. Justifier puis tracer $(\mathcal{C})$. \item Placer le point N symétrique de R par rapport à K. Démontrer que le quadrilatère RFNV est un carré. \item Donner les valeurs exactes du périmètre et de l'aire de RFNV. \end{enumerate} \item Sachant que le point P$(-3~;~2)$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$, tracer l'angle $\widehat{\text{RPV}}$ et prouver que sa mesure est 45\degres. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles juin 2002 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Antilles-Guyane}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Antilles-Guyane juin 2002~\decofourright}}} \medskip L'utilisation d'une calculatrice est autorisée \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Activités numériques \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \textbf{a.} Calculer A et B en écrivant les détails des calculs : \[\text{A} = \dfrac{4}{5} - 2 \times \dfrac{6}{5} \qquad \text{B} = \left(2 \sqrt{2} \right)^2 - 2 \sqrt{9}.\] \textbf{b.} Donner l'écriture scientifique de C : \[\text{C} = \dfrac{\left(3,5 \times 10^{- 11} \times 2 \times 10^8\right)} {\left(0,2 \times 10^{-9}\right)}.\] \medskip \textbf{Exercice 2} RéŽsoudre l'inéquation suivante : \[4x - (x + 1) < 8x.\] RepréŽsenter les solutions sur une droite graduŽée. (On hachurera la partie qui n'est pas solution). \bigskip \textbf{Exercice 3} RŽésoudre le système suivant : \[ \left\{\begin{array}{l c l} 2 x + y& =& 2 \\ 3 x + 2 y& =& 1\\ \end{array}\right.\] \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip Une entreprise a dépensé en tout \np{14400} \euro~ en 2001 pour l'entretien de ses voitures. \medskip \begin{enumerate} \item CompléŽter le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Marque de voitures & A & B & C & D & E\\ \hline Nombre de voitures & 2 & 3 & 3 &4 & 8\\ \hline DŽépense par voiture& 300 \euro & \np{1000} \euro & &\np{1350} \euro & 450 \euro\\ \hline DŽépenses totales & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Calculer la dŽépense moyenne pour l'entretien d'une voiture. \item Les dŽépenses totales d'entretien ont ŽétéŽ reprŽésentŽées dans le diagramme circulaire ci-dessous, mais la léŽgende a éŽtéŽ effacŽée. \begin{center} \begin{pspicture}(6,6) \pscircle[linewidth=2pt](3,3){3} \pswedge[fillstyle=hlines](3,3){3}{90}{180} \pswedge[fillstyle=vlines](3,3){3}{315}{360} \pswedge[fillstyle=crosshatch](3,3){3}{0}{75} \end{pspicture} \end{center} RéŽtablir cette légende. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{ActivitŽés géŽomŽétriques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Sur cette figure, on a les longueurs suivantes OA $= 7,5$cm ; OB = 4 cm ; OC $= 3$~cm et OD $= 1,6$~cm. \begin{center} \begin{pspicture}(7,6) \psline(0,0)(7,2) \psline(0,3.5)(7,5.5) \psline(3.5,0)(4,6) \psline(0,5)(7,0) \uput[u](1.5,4){A} \uput[u](4.2,4.8){B} \uput[r](3.7,2.5){O} \uput[dl](4,1.1){D} \uput[d](5.2,2.1){C} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (DC) et (AB) sont parallèles. \item Sachant que DC = 5 cm, calculer AB. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} SABCD est une pyramide. Sa hauteur [SH] mesure 9 cm et l'aire de sa base est 20,25 cm$^2$. \begin{center} \begin{pspicture}(7.5,8) \psline(0,0)(5.1,0)(7.2,2.3)(3.5,7.5)(0,0) %ABCSA \psline(5.1,0)(3.5,7.5)%SB \psline(1.4,3)(4.5,3)(5.6,4.4) %MNK \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,2.2)(7.2,2.3) % ADC \psline[linestyle=dashed](1.8,2.2)(3.5,7.5)(3.5,1.2) % DSH \psline[linestyle=dashed](1.4,3)(2.5,4.4)(5.6,4.4) % MLK \uput[ul](3.5,7.5){S} \uput[ur](2.5,4.4){L} \uput[ur](5.6,4.4){K} \uput[r](4.5,3){N} \uput[l](1.4,3){M} \uput[ur](1.8,2.2){D} \uput[ur](7.2,2.3){C} \uput[dr](5.1,0){B} \uput[dl](0,0){A} \uput[r](3.5,1.2){H} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer le volume de cette pyramide. \item En réalisant une section plane parallèle ˆà la base de la pyramide, on obtient une pyramide SMNKL. De plus, on sait que SM = $\dfrac{2}{3}$SA. Calculer le volume de la pyramide SMNKL. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unitéŽ est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A$(-1~;~0)$, B$(1~;~2)$ et C$(3~; ~-4)$. \item Montrer que AB = $\sqrt{8}$ , AC = $\sqrt{32}$ et BC = $\sqrt{40}$. \item En dŽéduire que le triangle ABC est rectangle et préŽciser l'angle droit. \item Placer le point D tel que $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{CD}}$. \item Quelle est la nature du quadrilatère CDBA ? Justifier la rŽéponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points} \bigskip Pour le paiement de la garderie dans une Žécole, on propose deux formules : \begin{itemize} \item Formule A : on paie 40 \euro{} pour devenir adhérent pour l'année scolaire puis on paye 10~\euro{} par mois de garderie. \item Formule B : pour les non adhéŽrents, on paye 18 \euro{} par mois. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Pour chacune des formules, calculer le prix payéŽ pour 10 mois de garderie. \item On appelle $x$ le nombre de mois de garderie. On note $y_{\text{A}}$ le prix payŽé avec la formule A et $y_{\text{B}}$ le prix payéŽ avec la formule B. Exprimer $y_{\text{A}}$ puis $y_{\text{B}}$ en fonction de $x$. \item Représenter graphiquement les fonctions suivantes dans un même repèère : \[x \mapsto y_{\text{A}} = 10x + 40 \qquad ; \qquad x \mapsto y_{\text{B}} = 18x.\] L'origine du repèère sera placéŽe en bas et ˆ gauche de la feuille de papier milliméŽtréŽ. On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse. On prendra 1 cm pour 10~\euro{} en ordonnŽée. \item \begin{enumerate} \item À partir du graphique, dŽéterminer le nombre de mois pour lequel les prix ˆà payer sont les mêmes. \item Retrouver ce rŽésultat par le calcul. \end{enumerate} \item À partir du graphique, dŽéterminer la formule la plus avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l'annéŽe. \item On dispose d'un budget de 113~\euro. Combien de mois de garderie au maximum pourra-t-on payer si l'on choisit la formule A ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Antilles juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Asie juin 2002 \hypertarget{Asie}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Asie}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Asie du Sud-Est juin 2002~\decofourright}}} \vspace{0,15cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Calculer et donner les résultats : \begin{itemize} \item sous forme de fraction irréductible pour $Q$ ; \item en écriture scientifique pour $S$. \[Q=\dfrac{2\times \dfrac{3}{7}}{\dfrac{5}{3}-1} \qquad S=\dfrac{2\times10^{-5}\times1,2\times10^{2}}{3 \times 10^{-7}}\] \end{itemize} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Ecrire sous la forme $a\sqrt{7}$ avec $a$ entier : \[R=\sqrt{63}+3\sqrt{28}-\sqrt{700}. \] \item Montrer, par un calcul, que le nombre $U$ est un entier : \[U=\left(2-\sqrt{3} \right) \times \left(2+\sqrt{3} \right).\] \item Déterminer avec votre calculatrice des valeurs approchées (arrondies au millième) des nombres : \[5 - 4\sqrt2\quad \text{et} \quad \frac{1}{\sqrt5-2}\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère les expressions : \[E = 4x(x + 3)\quad \text{et}\quad F = x^2 + 6x + 9.\] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $E = 0$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $F$ pour $x = -2$. \item Vérifier que $F = (x + 3)^2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Développer $E$. \item Réduire $E - F$. \item Factoriser $E + F$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITéS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.4\linewidth}{Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois (dessin ci-contre). On donne : BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5m. \medskip \begin{enumerate} \item En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS. \item Calculer les longueurs SM et SN. \item Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,6) %A(0.9,0)) B(3.15,0) M(1.6,1.6) N(3.2,1.6) S(3.2,5.4) \psline(0,0)(3.15,0)%OB \psline(0.9,0)(3.2,5.4)%AS \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.15,0)(5.4,6) \psline(1.6,1.6)(3.2,1.6) %MN \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(3.3,0)(3.3,5.4) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.8,-0.3)(3.15,-0.3) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.7,0.05)(1.4,1.57) \rput{90}(3.5,2.8){6 m} \uput[d](2.025,-0.2){2,5 m} \rput{67}(0.8,0.8){1,95 m} \uput[dl](0.9,0){A} \uput[dr](3.15,0){B} \uput[ul](1.6,1.6){M} \uput[ur](3.2,1.6){N} \uput[ul](3.2,5.4){S} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit [IJ] un segment et M un point du cercle de diamètre [IJ]. Faire une figure. \medskip \begin{enumerate} \item Que dire de l'angle $\widehat{\text{IMJ}}$ ? Justifier. \item Construire le point K tel que $\vect{\text{MK}}=\vect{\text{IM}}$. \item Construire le point L tel que $\vect{\text{JL}}=\vect{\text{JI}}+\vect{\text{JK}}$. \item Déterminer la nature du quadrilatère IJKL. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{La figure n'est pas à l'échelle} \begin{center} \begin{pspicture}(9,3) \psline(0.9,0)(9,2) \pscircle(6.5,1.4){1.4} \psline(0,0)(9,0) \psline(6.5,1.4)(6.5,0) \psline(6.3,0)(6.3,0.2)(6.5,0.2) \psarc(0.9,0){1.2cm}{0}{15} \uput[u](6.5,1.4){O} \uput[u](8.8,1.9){$y$} \rput(2.5,0.2){29 \up{o}} \uput[d](6.5,0){T} \uput[ul](0.9,0){A} \uput[ul](5.2,1.8){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O, point de la demi-droite [Ay). La demi-droite $[Ax)$ est tangente à $(\mathcal{C})$ en T. On donne AT = 9~cm. \begin{enumerate} \item Calculer une valeur approchée au millimètre près du rayon du cercle $(\mathcal{C})$. \item A quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT] pour que l'angle $\widehat{\text{OBT}}$ mesure 30\up{o} ? \\(Donner une valeur approchée arrondie au millimètre.) \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \begin{center} \textbf{\Large{Partie A}} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire un triangle EFG, de base [FG] et tel que : \begin{center} EF = 5,4 cm ; EG = 7,2 cm ; FG = 9 cm. \end{center} \item Soit M le point du segment EF] tel que EM = $\dfrac{2}{3}\times $ EF. Calculer la longueur EM puis placer le point M. \item Par M on mène la parallèle à la base [FG] ; elle coupe le côté [EG] en N. Compléter la figure. Calculer EN. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle EFG est rectangle en E. \item En déduire l'aire du triangle EMN. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie B}} \end{center} Dans cette partie le point M n'est plus fixe mais \textbf{mobile} sur le segment [EF]. On pose EM $= x$ et ce nombre $x$ représente alors une \textbf{longueur variable}. (Il n'est pas demandé de nouvelle figure.) \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Entre quelles valeurs extrêmes peut varier le nombre $x$ ? Soit N le point de [EG] défini comme dans la partie A. Exprimer la longueur EN en fonction de $x$. \item Montrer que l'aire $\mathcal{A}(x)$ du triangle EMN est : $\mathcal{A}(x) = \dfrac{2}{3}x^{2}$. Sur le graphique ci-après, on a porté la longueur $x$ en abscisses et l'aire $\mathcal{A}(x)$ du triangle EMN en ordonnée. \textbf{Ce graphique est à compléter}. \end{enumerate} \item Après avoir effectué les tracés nécessaires sur le graphique : \begin{enumerate} \item Lire une valeur approchée de l'aire du triangle EMN lorsque $x = 3,5c$ m. \item Déterminer la valeur approximative de $x$ pour laquelle l'aire du triangle EMN est égale à 12 cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{xunit=2.cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(4.4,20) \multido{\n=0.0+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,20)} \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(4.4,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(4.4,20) \uput[d](3.9,-1.){Longueur $x$ en cm} \rput(1,20.5){Aire du triangle EMN $ = \mathcal{A}(x)$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{x dup mul 2 mul 3 div} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Asie juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Bordeaux juin 2002 \hypertarget{Bordeaux}{} \rfoot{\small{Groupement Bordeaux}} \lfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Bordeaux--Nantes juin 2002~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression P =$ (x + 12) (x + 2)$. \item Factoriser l'expression : Q = $(x + 7)^2 - 25$. \item ABC est un triangle rectangle en A ; $x$ désigne un nombre positif ; BC = $x + 7$ ; AB = 5. Faire un schéma et montrer que : AC$^2 = x^2 + 14x + 24$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Résoudre chacune des deux équations \[3(5 + 3x) - (x - 3) = 0 \qquad ; \qquad 3(5 + 3x) (x - 3) = 0.\] \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Sur la couverture d'un livre de géométrie sont dessinées des figures ; celles-ci sont des triangles ou des rectangles qui n'ont aucun sommet commun. \begin{enumerate} \item Combien de sommets compterait-on s'il y avait 4 triangles et 6 rectangles, soit 10 figures en tout ? \item En fait, 18 figures sont dessinées et on peut compter 65 sommets en tout. Combien y a t-il de triangles et de rectangles sur cette couverture de livre ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme d'un nombre entier et B sous la forme $a\sqrt{3}$ (avec $a$ entier). \[\text{A} = \left(3\sqrt{2} - 1\right) \left(\sqrt{2} + 1\right) - 2\sqrt{2}\] \[\text{B} = 5\sqrt{27} + \sqrt{75}.\] \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 11 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Pour traiter cet exercice, utiliser du papier millimétré. Le plan est muni d'un repère orthonormal (0, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points : A$(3 ~;~ -5)$ et B$(-2~ ;~ 5)$. \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$. (Aucune justification n'est demandée.) \item Calculer la valeur exacte de la longueur AB. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le point C$(-2~ ;~ -4)$ et le point D, image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Quelles sont les coordonnées du point D ? (aucune justification n'est demandée). \item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC et quelles sont les coordonnées du point M intersection des droites (AD) et (BC) ? (Justifier ces deux réponses). \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Dans une boîte cubique dont l'arête mesure 7 cm, on place une boule de 7~cm de diamètre (voir le schéma). \bigskip \parbox[c]{0.45\textwidth}{ \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,5) \pscircle[fillstyle=gradient,gradangle=90,gradbegin=black,gradmidpoint=0.5, gradend=white](2.9,2.5){1.9} \psframe(0,0)(3.8,3.8) \psline(3.8,0)(5.9,1.2)(5.9,5)(2.1,5)(0,3.8) \psline(3.8,3.8)(5.9,5) \psline[linestyle=dashed](2.1,5)(2.1,4.2) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,0.95) \psline[linestyle=dashed](4.3,1.2)(5.8,1.2) \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{ Le volume de la boule correspond à un certain pourcentage du volume de la boîte. On appelle ce pourcentage « taux de remplissage de la boîte ». \medskip Calculer ce taux de remplissage de la boîte. Arrondir ce pourcentage à l'entier le plus proche.} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip [AC] et [EF] sont deux segments sécants en B. On connaît AB = 6 \text{cm} et BC = 10 \text{cm} ; EB = 4,8 \text{cm} et BF = 8 \text{cm}. \begin{enumerate} \item Faire un dessin en vraie grandeur. \item Les droites (AE) et (FC) sont-elles parallèles ? Justifier. \item Les droites (AF) et (EC) sont-elles parallèles ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Questions enchaînées}\hfill 12 points} \bigskip Construire un triangle MNP tel que \begin{center} PN = 13 \text{cm} \qquad ; \qquad PM = 5 \text{cm} \qquad ; \qquad MN = 12 \text{cm}. \end{center} \bigskip \textbf{Partie A } \medskip \begin{enumerate} \item Prouver que ce triangle MNP est rectangle en M. \item Calculer son périmètre et son aire. \item Tracer le cercle circonscrit au triangle MNP ; préciser la position de son centre O et la mesure de son rayon. \item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{PNM}}$ ; en déduire une mesure approchée de cet angle à $1\up{o}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip $A$ est un point quelconque du côté [PM]. On pose : $A$M = $x.~ (x$ est donc un nombre compris entre 0 et 5). La parallèle à (PN) passant par $A$ coupe le segment [MN] en $B$. \begin{enumerate} \item En précisant la propriété utilisée, exprimer M$B$ et $AB$ en fonction de $x$. \item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $A$M$B$. \item Résoudre l'équation : $ x + \dfrac{12x}{5} + \dfrac{13x}{5} = 18$. \item \begin{enumerate} \item Faire une nouvelle figure en plaçant le point $A$ de façon que le périmètre du triangle $A$M$B$ soit 18 cm. \item Quelle est alors l'aire du triangle $A$M$B$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Bordeaux juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Centres étrangers juin 2002 \hypertarget{Etranger}{} \lfoot{juin 2002} \rfoot{\small{Centres étrangers Est}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Centres étrangers Est juin 2002~\decofourright}}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,215cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère les nombres suivants : \medskip A $=\dfrac{14}{45} \times \dfrac{27}{49}$ ; $\quad \text{B}=\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2} \right) \div \dfrac{7}{11}$ ; $\quad \text{C} = 3 - 5 \times \dfrac{1}{10}+4 \times \dfrac{1}{100}$ ;\\ $\quad \text{D} =\dfrac{18 \times 10^{7}}{0,9 \times 10^{4}}$ ; $\quad \text{E} =\sqrt{12}+4\sqrt{75}$. En précisant les différentes étapes du calcul : \begin{enumerate} \item écrire A et B sous la forme de fractions irréductibles. \item écrire C sous forme décimale. \item écrire D sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un entier compris entre 1 et 9 et $n$ un entier relatif. \item écrire E sous la forme $b\sqrt{3}$ où $b$ est un entier relatif. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Recopier et compléter pour que chaque égalité soit vraie pour toutes les valeurs de $x$ : \begin{enumerate} \item $(x + \cdots )^{2}= \cdots + 6x + \cdots$ \item $( \cdots - \cdots )^{2} = 4x^{2} \cdots \, \cdots +25$ \item $\cdots - 64 = (7x- \cdots )(\cdots + \cdots )$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Un examen comporte les deux épreuves suivantes : \begin{itemize} \item une épreuve orale (coefficient 4) ; \item une épreuve écrite (coefficient 6). \end{itemize} Chacune des épreuves est notée de 0 à 20. Un candidat, pour être reçu à l'examen, doit obtenir au minimum 10 de moyenne. Le calcul de la moyenne $m$ est donnée par la formule suivante \[m=\dfrac{4x+6y}{10}\] où $x$ est la note obtenue à l'oral et $y$ la note obtenue à l'écrit. \medskip \begin{enumerate} \item Caroline qui a obtenu 13 à l'oral et 7 à l'écrit, sera-t-elle reçue à l'examen ? Justifier. \item Etienne a obtenu 7 à l'oral. \begin{enumerate} \item Quelle note doit avoir Etienne à l'écrit pour obtenir exactement 10 de moyenne ? Justifier. \item Les parents d'Etienne lui ont promis un ordinateur s'il obtenait à son examen une moyenne supérieure ou égale à 13. Quelle note minimale doit-il obtenir à l'écrit pour avoir son ordinateur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{L'unité de longueur est le centimètre.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 et AC = 9. Sur le segment [AC], placer le point I tel que CI = 5. \item Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis sa valeur arrondie au millimètre près. \end{enumerate} \item La droite qui passe par I et qui est parallèle à la droite (AB) coupe la droite (BC) en E. En précisant la méthode utilisée, calculer la valeur exacte de la longueur EI. \item Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$, puis en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{L'unité de longueur est le centimètre.} Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; I, J). Dans le repère, représenté ci-après, on a placé les points : \[\text{A}(0~;~-2),\quad \text{B}(-3 ~;~ 2)\quad \text{et C}.\] \textbf{Toutes les lectures sur le repère seront justifiées par des tracés en pointillé.} \begin{enumerate} \item Lire les coordonnées du point C. \item Lire les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Calculer la distance AB. \item \begin{enumerate} \item Placer le point D, image du point C par la translation qui transforme A en B. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? \end{enumerate} \item Placer le point E, image de B par la symétrie de centre O. \item Placer le point F, image de C par la symétrie d'axe (O$x)$. \item Placer le point G, image de A par la rotation de centre O et d'angle 90\up{o} dans le sens des aiguilles d'une montre. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-8,-5)(8,7) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=15,Dy=15]{->}(0,0)(-8,-5)(8,7) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(-8,-5)(8,7) \uput[l](0,6.5){$y$} \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,-2){$-2$} \uput[dr](0,-3){A} \uput[d](-3,0){$-3$} \uput[dl](-3,2){B} \uput[dr](5,-1){C} \uput[d](7.8,0){$x$}\uput[dr](1,0){I} \psarc{<-}(6,5){1cm}{-30}{30} \rput(5,5){sens de la rotation} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-3)(-3,2)(5,-1) \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Toutes les lectures sur le graphique doivent être justifiées par des tracés en pointillé.} \begin{center} \textbf{\Large{Partie A}} \end{center} Nicolas désire louer des cassettes vidéo chez Vidéomaths qui lui propose les deux possibilités suivantes pour une location à la journée : \textbf{Option A} : Tarif à 3 \euro{} par cassette louée. \textbf{Option B} : une carte d'abonnement de 15 \euro{} pour 6 mois avec un tarif de 1,50 \euro{} par cassette louée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \backslashbox{Prix payé en \\euros avec}{Nombre de cassettes\\ louées en 6 mois} &4&8&10&12\\\hline l'option A &&&&\\\hline l'option B &&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Préciser dans chaque cas l'option la plus avantageuse. \end{enumerate} \item On appelle $x$ le nombre de cassettes louées par Nicolas pendant 6 mois. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ la somme $A(x)$ payée avec l'option A. \item Exprimer en fonction de $x$ la somme $B(x)$ payée avec l'option B. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie B}} \end{center} On considère les fonctions définies par : \[f(x) = 3x\quad \text{et} \quad g(x) = 1,5x + 15.\] Dans toute la suite du problème, on admettra que la fonction $f$ est associée à l'option A et que la fonction $g$ est associée à l'option B. \medskip \begin{enumerate} \item Construire, dans un repère (O, I, J) orthogonal les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ ; on placera l'origine en bas à gauche. En abscisse, 1 cm représente 1 cassette ; en ordonnée 1 cm représente 2 \euro. \item Les représentations graphiques de $f$ et $g$ se coupent en E. \begin{enumerate} \item Lire sur le graphique les coordonnées de E. \item Que représente les coordonnées de E pour les options A et B ? \end{enumerate} \item Lire sur le graphique, la somme dépensée par Nicolas avec l'option A s'il loue 11 cassettes. \item Nicolas dispose de 24 \euro. Lire sur le graphique, le nombre de cassettes qu'il peur louer en 6 mois avec l'option B. \item Déterminer par le calcul à partir de quelle valeur de $x$ l'option B est plus avantageuse que l'option A pour 6 mois. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie C}} \end{center} Nicolas ne veut dépenser que 36 \euro{} en 6 mois pour louer des cassettes. \medskip \begin{enumerate} \item Lire sur le graphique de la \textbf{partie B} le nombre maximum de cassettes qu'il peut louer chez Vidéomaths avec chaque option, avec 36 \euro{} en 6 mois. \item Il se renseigne auprès de la société Cinémaths qui lui propose un abonnement de 7,50 \euro{} pour 6 mois permettant de louer chaque cassette à la journée pour 2,50 \euro. L'objectif de cette partie est de déterminer parmi les trois tarifs, l'offre la plus avantageuse pour Nicolas. Soit $x$ le nombre de cassettes louées par Nicolas en 6 mois. \begin{enumerate} \item Montrer que le prix payé par Nicolas chez Cinémaths est donné par l'expression \[h(x) = 2,5x + 7,5.\] \item Calculer le nombre maximum de cassettes que Nicolas peut louer en 6 mois avec 36 \euro{} chez Cinémaths. \item En déduire l'offre la plus avantageuse pour Nicolas. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Grenoble juin 2002 \hypertarget{Grenoble}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Grenoble}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Grenoble juin 2002~\decofourright}}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,15cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Calculer A, B et C en indiquant les étapes . A $=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7} \times \dfrac{8}{3}$ ; on donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible. B $ =\left(\sqrt{3}-7 \right)^{2} $ ; on donnera le résultat sous la forme $a+b\sqrt{c}$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres entiers. C $ =\sqrt{50}+2\sqrt{18}$ ; on donnera le résultat sous la forme $d\sqrt{e}$, où $d$ et $e$ sont des nombres entiers. \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression \[A = (2x - 3)^{2}-(2x - 3)(x - 2).\] \begin{enumerate} \item Développer et réduire $A$. \item Factoriser $A$. \item Résoudre l'équation $A=0$. \item Calculer $A$ pour $x = -2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Les nombres $682$ et $496$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier. \item Calculer le PGCD de $682$ et de $496$. \item Simplifier la fraction $\dfrac{682}{496}$ pour la rendre irréductible, en indiquant la méthode. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip Une usine teste des ampoules électriques, sur un échantillon, en étudiant leur durée de vie en heures. Voici les résultats. \[\begin{tabular}{|c|c|} \hline {\bf $d$: durée de vie en heures}&{\bf nombre d'ampoules}\\ \hline $\np{1000} \leqslant d < \np{1200}$&$550$\\ \hline $\np{1200} \leqslant d < \np{1400}$&$\np{1460}$\\ \hline $\np{1400} \leqslant d < \np{1600}$&$\np{1920}$\\ \hline $\np{1600} \leqslant d < \np{1800}$&$\np{1640}$\\ \hline $\np{1800} \leqslant d < \np{2000}$&$430$\\ \hline \end{tabular} \] \begin{enumerate} \item Quel est le pourcentage d'ampoules qui ont une durée de vie de moins de \np{1400}~heures ? \item Calculer la durée de vie moyenne d'une ampoule ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère la figure ci-dessous où les longueurs sont données en cm : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Les droites (CF) et (BG) se coupent en E ; \item[$\bullet~$] Les points A, G et F sont alignés ; \item[$\bullet~$] Les droites (BC) et (AF) sont parallèles ; \item[$\bullet~$] EC = 7 ; EG = 8 ; EB = 6 ; \item[$\bullet~$] $\widehat{\text{EBC}} = 90\up{o}$ ; $\widehat{\text{ABG}}=20\up{o}$ . \end{itemize} \begin{center}\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4) \psline(0,3.1)(5.3,0)(5.3,3.5)(0,1.8)(0,3.1)%CFABC \psline(0,1.8)(5.3,1.8)%BG \uput[ur](5.3,3.5){A} \uput[l](0,1.8){B} \uput[l](0,3.1){C} \uput[ur](2.3,1.8){E} \uput[dr](5.3,0){F} \uput[r](5.3,1.8){G} \end{pspicture} \end{center} Pour chacune des questions suivantes, donner la valeur exacte puis arrondie à $0,1$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $BC$. \item Calculer la longueur $EF$. \item Calculer la longueur $AG$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points suivants : \[\text{A}(-3 ~;~-2) \quad \text{B}(-1~;~9) \quad \text{C}(9~;~4)\] \begin{enumerate} \item Faire une figure en prenant 1 cm pour unité de longueur. \item On note M le milieu du segment [AC]. Calculer les coordonnées du point M. \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\strut AB}$ et $\vect{\strut AC}$. \item Calculer la longueur $BC$. On donnera la valeur arrondie à $0,1$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip La Terre est assimilée à une sphère de rayon \np{6370} km. \begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.6,5) \pscircle(2.3,2.3){2.3} \psellipse[linestyle=dashed](2.3,2.3)(2.3,0.41) \pscurve(0,2.3)(0.3,2.1)(0.9,2)(1.4,1.92)(2,1.9)(3,1.92)(4,2.04)(4.3,2.1)(4.6,2.3) \psline(3,1.92)(2.3,2.3)(1.8,1.9) \psline[linestyle=dashed](2.3,2.3)(1.4,1.92) \psline(2.3,0)(2.3,4.6) \uput[d](3,1.92){A} \uput[d](1.8,1.9){B} \uput[ul](2.3,2.3){O} \uput[dl](1.4,1.92){G} \uput[u](2.3,4.6){N} \uput[d](2.3,0){S} \psline{->}(-0.3,0.6)(0.3,2.1) \rput(-0.3,0.3){équateur} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (NS) et équidistant de ces deux pôles. L'intersection de ce plan avec la Terre s'appelle l'équateur. Calculer la longueur de l'équateur. \item On note $O$ le centre de la Terre et $G$ un point de l'équateur. On considère deux points $A$ et $B$ situés en Afrique sur l'équateur. Ces points sont disposés comme l'indique le schéma ci-dessus. On sait que $\widehat{\text{GOA}}=42$\up{o} et $\widehat{\text{GOB}}=9$~\degres. Calculer la longueur de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$, portion de l'équateur située en Afrique. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \begin{center} \textbf{\Large{Partie A}} \end{center} Madame Durand voyage en train. Elle fait le voyage aller-retour Chambéry-Paris selon les horaires suivants : \[ \begin{tabular}{|c|c|} \hline \textbf{Trajet aller} & \textbf{Trajet retour}\\ \hline Départ Chambéry : 6 h 01 min & Départ Paris : 19 h 04 min\\ Arrivée Paris : 9 h 01 min & Arrivée Chambéry : 21 h 58 min\\ \hline \end{tabular} \] La distance par le train Chambéry-Paris est de 542 km. \begin{enumerate} \item Calculer la vitesse moyenne du train à l'aller. Le résultat sera arrondi à l'unité. \item Calculer la vitesse moyenne du train au retour. Le résultat sera arrondi à l'unité. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie B}} \end{center} Monsieur Dubois doit effectuer fréquemment des trajets, en train, entre Chambéry et Paris. Il a le choix entre deux options : \textbf{Option A} : le prix d'un trajet est 58~\euro. \textbf{Option B} : le prix total annuel en euros $y_{\text{B}}$ est donné par $y_{\text{B}}=29x+300$, où $x$ est le nombre de trajets par an. \begin{enumerate} \item Monsieur Dubois effectue 8 trajets dans l'année. Calculer le prix total annuel à payer avec chacune des deux options. \item Monsieur Dubois effectue un nombre $x$ de trajets dans l'année. On note $y_{\text{A}}$ le prix total annuel à payer avec l'option A. Ecrire $y_{\text{A}}$ en fonction de $x$. \item Un employé de la gare doit expliquer, à une personne qui téléphone, le fonctionnement de l'option B. Rédiger son explication. \item Pour l'option B, le prix total annuel est-il proportionnel au nombre de trajets ? Justifier. \item Sur une feuille de papier millimétré, représenter les deux fonctions $f$ et $g$ définies par : \begin{center} $f: x \longmapsto 58x \quad $ et $\quad g: x \longmapsto 29x+300$ \end{center} Pour le repère, on prendra : \begin{itemize} \item l'origine en bas à gauche de la feuille ; \item sur l'axe des abscisses 1 cm pour 1 unité ; \item sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 50 unités. \end{itemize} \item On vient de représenter graphiquement, pour chacune des deux options, le prix total annuel en fonction du nombre de trajets. \begin{enumerate} \item A l'aide du graphique, déterminer le nombre de trajets pour lequel le prix total annuel est plus avantageux avec l'option B. Faire apparaître le tracé ayant permis de répondre. \item Retrouver ce résultat par un calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Grenoble juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Lyon juin 2002 \hypertarget{Lyon}{} \thispagestyle{empty} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Lyon}} \begin{center} {\Large{\textbf{~\decofourleft~Brevet - Lyon\footnote{Besançon--Dijon--Nancy-Metz--Reims--Strasbourg} juin 2002~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\Large{Activités numériques}\hfill 12 points} \bigskip \emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tenant compte.} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère les trois nombres A, B et C : A$ =\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5} \times \dfrac{11}{6}$ ; $\quad \text{B}=2\sqrt{5}-\sqrt{20}-3\sqrt{45}$ ; $\quad \text{C} =\dfrac{4 \times 10^{14} \times 12}{3 \times 10^{11}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer et donner A sous forme d'une fraction irréductible. \item écrire B sous la forme $a\sqrt{5}$, $a$ étant un nombre entier relatif. \item Donner l'écriture scientifique de C. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression : \[D = (4x - 1)^{2}+(x + 3)(4x - 1).\] \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation : $(4x - 1)(5x + 2) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD de $540$ et de $300$. \item Une pièce rectangulaire de 5,40 m de long et de 3 m de large est recouverte, sans découpe, par des dalles de moquette carrées, toutes identiques. \begin{enumerate} \item Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles, sachant que l'on veut le moins de dalles possibles ? \item Calculer alors le nombre de dalles utilisées ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip Voici le diagramme représentant la répartition des notes obtenues par les élèves d'une classe de troisième lors d'un contrôle de français : les notes sur 20 sont reportées en abscisses, le nombre d'élèves en ordonnées : \medskip \psset{unit=0.57cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(20,7) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(20,7) \multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(20,\n)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.8,0)(9.2,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.8,0)(10.2,4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.8,0)(12.2,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](12.8,0)(13.2,6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](14.8,0)(15.2,3) \end{pspicture} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est l'effectif de cette classe de troisième ? \item Calculer la moyenne des notes obtenues en donnant le résultat sous sa forme décimale exacte. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Activités géométriques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip ABCDEFGH est un parallélépipède à base carrée. \parbox{0.45\linewidth}{On donne : AB = BC = 6 cm et BF = 4,5 m. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que DG~=~4,5~cm. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CDG}}$ arrondie au degré. \item Calculer, en cm$^3$, le volume de la pyramide ABCDG. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(6,6) \psline(0,3)(4,3)(7,4.5)(3,4.5)(0,3)(0,0)(4,0)(7,1.5)(7,4.5)%EFGHEABCG \psline(4,0)(4,3)%BF \uput[dl](0,0){A} \uput[d](4,0){B} \uput[dr](7,1.5){C} \uput[dr](3,1.5){D} \uput[l](0,3){E} \uput[ul](4,3){F} \uput[ur](7,4.5){G} \uput[ul](3,4.5){H} \psline[linestyle=dashed](3,4.5)(3,1.5)(0,0) \psline[linestyle=dashed](3,1.5)(7,1.5) \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{Sur la figure ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur, le point A est sur le segment [OB] et le point C est sur le segment [OD]. On donne : OA = 8,5 cm ; AB = 11,5 cm ; OC = 5 cm ; CD = 7 cm. \begin{enumerate} \item Calculer les longueurs OB et OD. \item Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \psline(0,0)(3.3,4.1)(4.3,0)%BOD \psline(1.42,1.8)(3.85,1.8)%AC \uput[dl](0,0){B} \uput[l](1.3,1.8){A} \uput[u](3.3,4.1){O} \uput[r](3.85,1.8){C} \uput[dr](4.3,0){D} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{Les constructions demandées dans cet exercice sont à réaliser sur la figure ci-après.} \emph{Laisser les traces de constructions visibles.} \begin{center}\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(5,7.5) \psline(3.1,6.4)(4.6,0)(1.5,0.85)(0,7.2)(3.1,6.4)(1.5,0.85)%ABCDAC \psline(4.6,0)(0,7.2)%BD \uput[ur](3.1,6.4){A} \uput[dr](4.6,0){B} \uput[dl](1.5,0.85){C} \uput[ul](0,7.2){D} \uput[l](2.28,3.58){O} \end{pspicture} \end{center} Sur cette figure, on a représenté un parallélogramme ABCD de centre O. Les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer le cercle qui contient les trois points O, B et C. Justifier la position de son centre I. \item Placer les points M et P tels que : $\vect{\text{OM}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}$ et $\vect{\text{BP}} = \vect{\text{BC}} + \vect{\text{OD}}$. \item Utilisation d'une transformation. \begin{enumerate} \item Par quelle transformation a-t-on à la fois : O a pour image C et B a pour image M ? \item Montrer que, par cette transformation, le point D a pour image le point P. \item Montrer que les points P, C, M sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points} \bigskip Un viticulteur propose un de ses vins aux deux tarifs suivants : \begin{itemize} \item \textbf{Tarif 1} : 7,50 \euro{} la bouteille, transport compris. \item \textbf{Tarif 2} : 6 \euro{} la bouteille, mais avec un forfait de transport de 18 \euro. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Remplir le tableau donné ci-dessous : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de bouteilles &1 &5 & & &15\\\hline Prix au tarif 1 en \euro &7,50& & &97,50&\\\hline Prix au tarif 2 en \euro & &48 &78 & &\\\hline \end{tabularx} \medskip \item Exprimer le prix payé par le consommateur en fonction du nombre $x$ de bouteilles achetées. Pour le tarif 1, le prix sera noté P$_{1}$. Pour le tarif 2, le prix sera noté P$_{2}$. \item Tracer, sur une feuille de papier millimétré, les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par : \begin{center} $f(x) = 7,5x \quad $ et $\quad g(x) = 6x+18$ \end{center} pour des valeurs de $x$ comprises entre 0 et 15. On placera l'origine dans le coin inférieur gauche de la feuille et on prendra les unités suivantes : \begin{itemize} \item Sur l'axe des abscisses : 1 cm représente 1 bouteille. \item Sur l'axe des ordonnées : 1 cm représente 10 \euro. \end{itemize} \textbf{Pour les questions 4 et 5, on laissera sur le graphique les traits de rappel utilisées pour faciliter la lecture.} \item Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique : \begin{enumerate} \item On veut acheter 6 bouteilles. Quel est le tarif le plus avantageux ? \item On dispose de 70 \euro. Lequel des deux tarifs permet d'acheter le plus grand nombre de bouteilles ? Préciser le nombre de bouteilles. \end{enumerate} \item Utilisation du graphique, vérification par le calcul. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement pour combien de bouteilles le prix de revient est identique, quel que soit le tarif choisi. Donner ce nombre de bouteilles. Quel est le prix correspondant ? \item Vérifier ces deux derniers résultats par des calculs. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Lyon juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Nord juin 2002 \hypertarget{Nord}{} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small{Groupement Nord}} \lfoot{\small{juin 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement Nord juin 2002~\decofourright}}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\Large{ActivitéŽs numériques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \[\text{A} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{7} \qquad \qquad \text{B} = \dfrac{6}{5} \div \left( \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{5} \right) \] \begin{enumerate} \item Calculer A et Žécrire la réponse sous forme de fraction irréductible. \item Calculer B et Žécrire la réponse sous forme d'un entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression $C = (3x - 1)^2 - (3x - 1) (2x + 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item DéŽvelopper et rŽéduire $C$. \item Factoriser $C$. \item RéŽsoudre l'Žéquation $(3x - 1) (x - 4) = 0$. \item Calculer $C$ pour $x = \sqrt{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Une fermière vend 3 canards et 4 poulets pour 70,30~\euro. Un canard et un poulet valent ensemble 20,70~\euro. DéŽterminer le prix d'un poulet et celui d'un canard. \bigskip \textbf{Exercice 4} Pour le $1\up{er}}$ Mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ? Quelle sera la composition de chaque bouquet ? \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{ActivitéŽs géoméŽtriques}\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip La figure suivante est donnéŽe àˆ titre indicatif pour préciser la position des points A, B, C, D et E. Les longueurs représentées ne sont pas exactes. \vspace{0,25cm} \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{pspicture}(6,4.24) \psline(0,0)(6,0)(1.5,4)(5.6,4)(0,0) \uput[u](1.5,4){E} \uput[u](5.6,4){D} \uput[d](3.35,2.4){C} \uput[d](0,0){A} \uput[d](6,0){B} \end{pspicture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth}On donne : CE = 5 CD = 12 CA = 18 CB = 7,5 AB = 19,5 \end{minipage} \bigskip \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallèles. \item Montrer que ED = 13. \item Montrer que le triangle CED est rectangle. \item Calculer $\tan \widehat{\text{DEC}}$ puis en dŽéduire la valeur arrondie au degrŽé près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DEC}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Sachant que O est le centre du cercle passant par les points A, B, C, déŽterminer la mesure des angles du triangle ABC sachant que $\widehat{\text{AOB}}$ = 50\degres{} et $\widehat{\text{BOC}}$ = 150\degres, en justifiant chacune de vos rŽéponses. \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer, sur la feuille annexe, le syméŽtrique $\mathcal{P}_1$ de la figure $\mathcal{P}$ par rapport au point O. \item Tracer, sur la feuille annexe, le syméŽtrique $\mathcal{P}_2$ de la figure $\mathcal{P}$ par rapport àˆ la droite (EF). \item Tracer, sur la feuille annexe, l'image $\mathcal{P}_3$ de la figure $\mathcal{P}$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Tracer, sur la feuille annexe, l'image $\mathcal{P}_4$ de la figure $\mathcal{P}$ dans la rotation de centre E, d'angle 90¡ et dans le sens de la flèche. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=0.65cm} \begin{center} \begin{pspicture}(18,18) \psgrid[gridlabelcolor=white] \psline(2,1)(17,16) \psline[linewidth=1.3pt](3,7)(4,8)(6,8)(7,9)(6,10)(5,10)(4,9)(3,10)(3,7) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(3,13)(5,17) \psarc{->}(3,10){2}{120}{180} \uput[dr](5,9){$\mathcal{P}$} \uput[ul](8,9){O} \uput[dr](7,6){E} \uput[ul](3,13){A} \uput[ul](5,17){B} \uput[ul](12,11){F } \end{pspicture} \end{center} \newpage \textbf{\Large{Problème}\hfill 12 points} \bigskip ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm. \medskip \textbf{Première partie} \bigskip \parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(6,4) \psframe(0,0)(6,4) \psline(0,4)(4,0) \psline(0,4)(6,2) \psline(5.8,3.1)(6.2,2.9) \psline(5.8,3.05)(6.2,2.85) \psline(5.1,0.1)(4.9,-0.1) \psline(5.05,0.1)(4.85,-0.1) \uput[ul](0,4){A} \uput[ur](6,4){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[r](6,2){M} \uput[d](4,0){N} \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{M est le point du segment [BC] tel que BM = 2~cm. N est le point du segment [CD] tel que CN = 2~cm.} \bigskip \begin{enumerate} \item Calculer la longueur AM sous la forme $a\sqrt{b}$ ($b$ nombre entier le plus petit possible). \item DéŽmontrer que l'aire du quadrilatère AMCN est 10~cm$^2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Deuxième partie} \bigskip \parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(6,4) \psframe(0,0)(6,4) \psline(0,4)(5,0) \psline(0,4)(6,3) \psline(5.8,3.6)(6.2,3.5) \psline(5.8,3.55)(6.2,3.45) \psline(5.6,0.1)(5.5,-0.1) \psline(5.55,0.1)(5.35,-0.1) \uput[ul](0,4){A} \uput[ur](6,4){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[r](6,3){$M$} \uput[d](5,0){$N$} \end{pspicture}} \hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{Les points $M$ et $N$ peuvent se déŽplacer respectivement sur les segments [BC] et [CD] de façon que B$M$ = C$N = x \qquad (0 < x \leqslant 4$).} \bigskip \begin{enumerate} \item Exprimer l'aire du triangle AB$M$ en fonction de $x$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur D$N$ en fonction de $x$. \item DŽémontrer que l'aire du triangle AD$N$ en fonction de $x$ est $2x + 12$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonorméŽ (O, I, J) avec OI = OJ = 1~cm, repréŽsenter graphiquement les fonctions affines : \[f : x \longmapsto 3x \qquad \text{et} \qquad g : x \longmapsto 2x+12. \] \item Calculer les coordonnéŽes du point R, intersection de ces deux repréŽsentations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour quelIe valeur de $x$, les aires des triangles AB$M$ et AD$N$ sont-elles Žégales ? Justifier la rŽéponse. \item Pour cette valeur de $x$, calculer l'aire du quadrilatère A$M$C$N$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nord juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie juin 2002 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{Polynésie}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie juin 2002~\decofourright}}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \emph{Tous les exercices sont indépendants.} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip On donne : \[\text{A} = 2 - \dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{15} \qquad \text{B} = \dfrac{7 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^4}{6 \times 10^{-4}}.\] Calculer A et B en détaillant les calculs. Donner le résultat de A sous la forme d'une fraction la plus simple possible et le résultat de B en écriture scientifique. \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne l'expression : C $= 4\sqrt{3} - \sqrt{75} + 2\sqrt{48}$. écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible. \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère l'expression : $D = (3x - 2)^2 - 25$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Calculer $D$ pour $x = \sqrt{3}$. \item Résoudre l'équation-produit : $(3x + 3) (3x - 7) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système d'équations \[\left\{\begin{array}{l c r} x + y &= & 200\\ 800x + 500y & = & \np{124 000}\\ \end{array}\right.\] \item Une salle de cinéma propose deux tarifs \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] un tarif adulte à 800 F par personne; \item[$\bullet~$] un tarif étudiant à 500 F par personne. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans cette salle, 200 personnes ont assisté à une représentation et la recette totale s'est élevée à \np{124000}~F. Calculer le nombre d'adultes et le nombre d'étudiants qui ont assisté à cette séance. \end{enumerate} NB : Après le passage à l'euro, la Polynésie a conservé le franc pacifique pour unité monétaire. 100~francs pacifique correspondent à environ 0,838~\euro. \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \emph{Dans ces trois exercices, l'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré. Les figures ne sont pas en vraie grandeur.} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB]. On donne AB = 5. E est un point de ce cercle tel que AE = 3. \medskip \parbox{0.45\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Faire une figure en vraie grandeur. \item Quelle est la nature du triangle ABE ? Justifier. \item Calculer la longueur BE. \item \begin{enumerate} \item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$. \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAE}}$ arrondie au degré. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4.5,4.5) \pscircle(2.1,2.1){2.1cm} \psline(0,2.1)(4.2,2.1) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,2.1)(4.2,2.1)(0.7,3.68)(2.1,2.1) \uput[l](0,2.1){A} \uput[r](4.2,2.1){B} \uput[ul](0.7,3.68){E} \uput[u](2.1,2.1){O} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.3\linewidth}{Sur le figure, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. OA = 8 OB = 10 OC = 6,4 OE = 2 OF = 2,5} \hfill \parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6.5,4) %\psgrid \pspolygon(1.5,0)(6.15,3.6)(0,3.1)(5.2,0.3)%FBAEF \psline(1.9,2.07)(4.5,2.32)%CD \uput[l](0,3.1){A} \uput[r](6.15,3.6){B} \uput[dl](1.9,2.07){C} \uput[dr](4.5,2.32){D} \uput[r](5.2,0.3){E} \uput[l](1.5,0){F} \uput[u](3.2,1.5){O} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Calculer la longueur OD. \item Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Construire le patron d'un pyramide régulière SABCD de sommet S. Sa base est un carré ABCD. On donne AC = 4 et SA = 3. \item Calculer l'aire de la base ABCD. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \parbox{0.45\linewidth}{\emph{L'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de reproduire la figure.} ABCD est un rectangle. CDE est un triangle rectangle. On donne DE = 6 \quad BC = 4 \quad AB = 7,5. Le point M est situé sur le segment [DC].} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5) \psframe(0.5,0)(4.8,2.1) \psline(0.5,2.1)(0.5,4.1)(4.8,2.1)%DEC \psline(0.5,4.1)(1.7,2.1)(4.8,0)%EMB \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](4.8,0){B} \uput[ur](4.8,2.1){C} \uput[l](0.5,2.1){D} \uput[ul](0.5,4.1){E} \uput[dl](1.7,2.1){M} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Première partie} \medskip Dans cette partie, on prend DM = 2. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle DEM. \item Calculer l'aire du triangle BCM. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{Deuxième partie} \medskip Dans cette partie, on prend DM $= x$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire du triangle DEM est égale à $3x$. \item \begin{enumerate} \item Exprimer la longueur MC en fonction de $x$. \item Montrer que l'aire du triangle BCM est égale à $15 - 2x$. \end{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle DEM est-elle égale à l'aire du triangle BCM ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \emph{Les tracés de cette partie seront réalisés sur une feuille de papier millimétré. Celle-ci doit être remise avec la copie.} Dans un repère orthonormé (O, I, J), l'unité graphique est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies par \[f(x) = 3x \quad \text{et} \quad g(x) = 15 - 2x\] \item En faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles : \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle DME est égale à l'aire du triangle DME. \item Donner la valeur de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% fin Polynésie juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% La Réunion juin 2002 \hypertarget{LaReunion}{} \lfoot{\small{juin 2002}} \rfoot{\small{La Réunion}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet juin 2002~\decofourright\\[7pt] La Réunion}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)} \end{center} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On considère A $= \dfrac{5}{3} + \dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{33 }$. écrire A sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est égal à 6. \item On considère B $ = \dfrac{24 \times 10^2 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-10}}$. Calculer B en donnant le résultat sous forme d'écriture scientifique. \item On considère C $ = \dfrac{357}{595}$. Simplifier la fraction C pour la rendre irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit E $ = (2x - 3)^2 - 16$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire E. \item Factoriser E. \item Calculer E pour $x = 0$. \item Résoudre l'équation $(2x + 1) (2x - 7) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Un antiquaire souhaite vendre une armoire au prix initial de 380~euros (380~\euro). \begin{enumerate} \item Ne parvenant pas à la vendre, il décide d'accorder une remise de 20\:\% sur son prix initial. Calculer le nouveau prix de l'armoire. \item La vente ne se faisant pas, il décide d'accorder une remise de 114~\euro{} sur le prix initial de 380~\euro. Calculer le pourcentage de la réduction faite sur le prix initial. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\begin{enumerate} \item Quelle est l'image du quadrilatère ODMB par la symétrie d'axe (OD) ? \item Recopier et compléter les quatre égalités ci-dessous: $\vect{\text{OD}} = \vect{\text{\ldots N}}$ $\vect{\text{M \ldots}} = \vect{\text{BA}}$ $\vect{\text{NO}} + \vect{\text{NC}} = \vect{\text{\ldots}}$ $\vect{\text{BM}} + \vect{\text{MA}} = \vect{\text{\ldots}}$ \item Quelle est l'image du triangle NOB par la translation de vecteur $\vect{\text{AN}}$ ? \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=3.5mm}\begin{pspicture}(18,11) \psdots[dotstyle=+](3,9)(8,9)(13,9)(7,6)(12,6)(8,3)(13,3)%ANCODBM \uput[ul](3,9){A}\uput[ul](8,9){N}\uput[ur](13,9){C}\uput[dr](7,6){O}\uput[dr](12,6){D}\uput[dl](8,3){B}\uput[dr](13,3){M} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange] \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{MNP est un triangle rectangle en N tel que MP = 25. I est le point du segment [MN] tel que : MI = 8 et IN = 7 ; La perpendiculaire au côté [MN] passant par I coupe le côté [MP] en J. \begin{enumerate} \item Justifier que les droites (IJ) et (NP) sont parallèles. \item Calculer MJ. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(6.5,7) \pspolygon(0.5,0.5)(6,0.5)(6,7)%MNP \psline(3.65,0.5)(3.65,4.25)%IJ \uput[dl](0.5,0.5){M}\uput[dr](6,0.5){N}\uput[ul](6,7){P}\uput[d](3.65,0.5){I}\uput[u](3.65,4.25){J} \psframe(3.65,0.5)(3.9,0.75)\psframe(6,0.5)(5.75,0.75) \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip AIR est un triangle rectangle en A tel que : AI = 6,5 cm et $\widehat{\text{AIR}} = 35$ degrés . La hauteur issue de A coupe le côté [RI] en P. \medskip \begin{enumerate} \item Faire la figure. \item \begin{enumerate} \item Recopier l'égalité et la compléter en utilisant les côtés du triangle AIR : $\tan \widehat{\text{AIR}} = \dfrac{\ldots}{\ldots}$. \item En déduire la longueur AR en cm (on donnera la valeur arrondie au dixième). \end{enumerate} \item En utilisant le triangle PAI, calculer la longueur AP en cm (on donnera la valeur arrondie au dixième). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Le plan est muni d'un repère (O, I , J). L'unité est le centimètre. On considère les points A (6~;~5); B$(2~;~- 3)$ ; C$(-4~;~0)$ \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Place les points dans le repère. \item Calculer en cm les distances AB, BC et CA, et vérifier que ces distances peuvent s'écrire : \[\text{AB} = 4\sqrt{5}, \quad \text{BC} = 3\sqrt{5}\quad  \text{et}\quad \text{CA} = 5\sqrt{5}.\] \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. \item Calculer le périmètre $P$ du triangle ABC. On donnera le résultats sous la forme $a\sqrt{5}$, où $a$ désigne un nombre entier. \item Calculer en cm$^2$ l'aire $S$ du triangle ABC. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{BC}}$. \item \begin{enumerate} \item Construire le point D tel que CBOD soit un parallélogramme. \item Donner les coordonnées du point D par lecture graphique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ABC. \item On appelle E le centre du cercle $(\mathcal{C})$. Calculer les coordonnées de E. \item Le point D est-il situé sur le cercle $(\mathcal{C})$ ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin La Réunion juin 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles septembre 2002 \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{septembre 2002}} \rfoot{\small{Antilles-Guyane}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2002 }} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : \[\text{A} = \dfrac{26}{7} - \dfrac{22}{7} \times \dfrac{10}{33} \qquad \text{B} = \dfrac{7 \times 10^{35}}{49 \times 10^{34}}.\] \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible : \[\text{C} = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + 2\sqrt{18}.\] \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip On donne : $D = (5x - 3)^2 - 81$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation : $(5x - 12) (5x + 6) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c r} 3x+2y &=&47\\ x+3y& =&32\\ \end{array}\right.\] \item À la pépinière, un client achète 3 plants de manguier et 2 plants de goyavier pour 47 ~\euro. Un autre client paye 32~\euro{} pour un plant de manguier et 3 plants de goyavier. Déterminer le prix d'un plant de manguier et le prix d'un plant de goyavier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle RAS tel que : RA = 8 cm, RS = 6,4 cm et AS = 4,8 cm. \item Prouver que le triangle RAS est rectangle. \item \begin{enumerate} \item Placer le point M du segment [RS] tel que RM = 4,8~cm et le point N du segment [RA] tel que RN = 6~cm. \item Prouver que les droites (MN) et (AS) sont parallèles. \item Calculer MN. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \parbox{0.6\textwidth}{Le quadrilatère EURO est un losange de centre I.\\L'angle $\widehat{\text{IEU}}$ vaut 25\up{o} et la diagonale [ER] mesure 10~cm. \begin{enumerate} \item Prouver que le triangle EIU est rectangle en I. \item Calculer la valeur arrondie au centième de cm de la longueur lU. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,5) \pspolygon(0,2.5)(1.5,5)(3,2.5)(1.5,0) \psline(1.5,5)(1.5,0) \psline(0,2.5)(3,2.5) \uput[l](0,2.5){O} \uput[u](1.5,5){E} \uput[r](3,2.5){U} \uput[d](1.5,0){R} \uput[ur](1.5,2.5){I} \psarc(1.5,5){3mm}{-90}{-65} \rput(1.75,4.2){25\up{o}} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \parbox{0.5\textwidth}{La maquette de maison représentée ci-contre est composée d'un pavé droit de dimensions : AS = 30 cm, AE = 20 cm et AD = 5 cm. Ce pavé est surmonté d'une pyramide de hauteur 6 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le volume V$_{1}$ de cette maquette. \item Sachant que cette maquette est une réduction de coefficient 1/50 de la maison réelle, déduire de la première question le volume V$_{2}$ en m$^3$ de la liaison. \\ \emph{Rappel} : Le volume d'une pyramide est : $\dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,5) \pspolygon(0,0)(0,1.3)(3.8,1.3)(5,2.2)(5,0.9)(3.8,0)%DABFGCD \psline(3.8,1.3)(3.8,0)% BC \psline(0,1.3)(2.2,3.2)(5,2.2)% AS \psline(0,1.3)(1.2,2.2)(5,2.2)(2.2,3.2) \psline(2.2,3.2)(3.8,1.3) \psline[linestyle=dotted](0,1.3)(1.2,2.2)(2.2,3.2)(5,2.2)(5,0.9)(1.2,0.9)(0,0) \psline[linestyle=dotted](1.2,0.9)(1.2,2.2) \uput[l](0,1.3){A} \uput[dr](3.8,1.3){B} \uput[dr](3.8,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[ul](1.2,2.2){E} \uput[ur](5,2.2){F} \uput[r](5,0.9){G} \uput[ul](1.2,0.9){H} \uput[u](2.2,3.2){S} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip \emph{Le plan est muni d'un repère orthonormal} (O, J, J). \emph{L'unité de longueur est le centimètre.} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points : \[\text{A}(2~;~-2) \quad;\quad \text{B}(6~;~0)\quad ;\quad \text{C}(4~;~4)\quad \text{et \quad D}(0~;~2).\] \medskip \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$. Que peut-on dire de ces vecteurs ? \item Montrer par le calcul que AC = DB. \item Montrer par le calcul que AB = AD. \item Déduire des trois questions précédentes que le quadrilatère ABCD est un carré. On justifiera la réponse. \item On considère les fonctions affines suivantes : \[f~:~x \longmapsto 3x - 8 \quad \text{et} \quad g~:~x \longmapsto - \dfrac{1}{3}x + 2.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f(2)~;~ f(4)~;~ g(6)~;~g(0)$. \item En déduire que la représentation graphique de $f$ est la droite (AC) et que celle de $g$ est la droite (BD). \item Résoudre alors graphiquement le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c r} y&=& 3x -8\\ y& =& - \dfrac{1}{3}x + 2\\ \end{array}\right.\] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% Fin Antilles septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Bordeaux septembre 2002 \hypertarget{Bordeauxsep}{} \lfoot{\small{septembre 2002}} \rfoot{\small{Groupe Sud-Ouest}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Sud-Ouest~\decofourright\\septembre 2002 }} \vspace{0,15cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie.} \medskip \begin{enumerate} \item écrire sous la forme $a\sqrt{3},~a$ étant un entier, le nombre : A $ = \sqrt{75} + 4\sqrt{12}$. \item Prouver que : \[ \dfrac{2 + \dfrac{3}{4}}{\dfrac{3}{4} - 5} = - \dfrac{11}{17} \qquad \dfrac{35 \times 10^{22} \times 2 \times \left(10^{-2}\right)^6}{42 \times 10^{10} }=\dfrac{5}{3}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \emph{Dans cet exercice, seuls les résultats finaux sont attendus et la calculatrice peut être utilisée.} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une valeur décimale approchée à $0,001$ près du nombre : B $= 3 + \dfrac{1}{7 + \dfrac{1}{16}}$. \item Donner l'écriture scientifique du nombre : C $= \dfrac{10^{-4} \times 4 \times 10^{6} \times 5^2}{2 \times 10^{-10}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip ABCD est un rectangle : DC = 5~cm et BC = 2,5~cm. N est le point du segment [AD] tel que : AN = 1,5~cm. M est un point du segment [AB]. On note $x$ la longueur du segment [AM] exprimée en centimètres ($x$ est compris entre $0$ et $5$). AMPN et MBCR sont des rectangles notés respectivement R$_{1}$ et R$_{2}$. \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5) \psframe(5,2.5)%ABCD \psline(0,1)(2,1)%NP \psline(2,0)(2,2.5)%RM \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(-0.3,1)(-0.3,2.5) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,-0.3)(5,-0.3) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(5.3,0)(5.3,2.5) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,2.8)(2,2.8) \uput[u](1,2.8){$x$} \uput[ul](0,2.5){A} \uput[ur](5,2.5){B} \uput[dr](5,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[ur](2,2.5){M} \uput[r](2,1){P} \uput[d](2,0){R} \uput[d](1,2){R$_{1}$} \uput[d](3.5,1.45){R$_{2}$} \uput[dl](0,1){N} \rput{90}(5.6,1.25){2,5 cm} \rput{90}(-0.6,1.75){1,5 cm} \uput[d](2.5,-0.3){5 cm} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre de R$_{1}$. \item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre de R$_{2}$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation : $2x + 3 = - 2x + 15$. \item Sur le repère suivant, représenter graphiquement les deux fonctions affines : $x \mapsto 2x+3$ \quad et \quad $x \mapsto -2x + 15$ pour $0 \leqslant x \leqslant 5$. \vspace{0,25cm} \item\parbox{0.45\linewidth}{Quelles sont les valeurs de AM pour lesquelles le périmètre de R$_{2}$ est supérieur ou égal au périmètre de R$_{1}$ ? (Aucune justification n'est attendue.)} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{ \psset{unit=4.25mm} \begin{pspicture}(-2,0)(10,18) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(10,18) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(-2,0)(10,18) \uput[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Le dessin ci-après représente la coupe d'une maison. Le triangle MAI est isocèle, de sommet principal M. La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M, coupe (AI) en S. L'unité de longueur est le mètre. On sait que : MS = 2,5 et AI = 11. \begin{center} \begin{pspicture}(6,5) \psframe(6,3) \psline(6,3)(3,5)(0,3) \psline(2.4,3)(2.4,4.6) \psline(3,3)(3,5) \uput[ul](0,3){A} \uput[ul](2.4,4.6){N} \uput[d](2.4,3){O} \uput[u](3,5){M} \uput[d](3,3){S} \uput[ur](6,3){I} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer AS. (Justifier.) \item Calculer la valeur arrondie à $0,1$ degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AMS}}$. \end{enumerate} \item Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait une tâche en O, sur le plafond. La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI). AO = 4,5. Pour effectuer les calculs, on prendra : $\widehat{\text{OAN}} = 24~\degres$. Calculer AN. On donnera la valeur arrondie à $0,1$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip ABCDEFGH est un cube. Les points J, K, M et N sont les milieux respectifs des segments [AE], [FB], [AD] et [BC]. JKNM est une section du cube par un plan parallèle à l'arête [AB]. \medskip \begin{enumerate} \item Donner, sans justifier, la nature de la section JKNM. \item Sur le schéma ci-après, la face FGCB a été dessinée en vraie grandeur. \begin{enumerate} \item Placer les points K et N sur cette face. \item À côté, dessiner la section JKNM en vraie grandeur. \begin{center} \begin{pspicture}(10.5,5.2) \psline(0,0.4)(3,0)(4.2,0.95)(4.2,4.05)(1.2,4.45)(0,3.5)(3,3.1)(3,0)%ABCGHEFB \psline(0,0.4)(0,3.5)%AE \psline(0,1.95)(3,1.55)(3.6,0.475)%JKN \psline[linestyle=dotted](0,0.4)(1.2,1.35)(4.2,0.95)%ADC \psline[linestyle=dotted](0,1.95)(0.6,0.8775)(3.6,0.475)%JMN \psline[linestyle=dotted](1.2,1.35)(1.2,4.45)%DH \psline(4.2,4.05)(3,3.1) \psframe(5.6,0.4)(9.6,4.4) \uput[dl](0,0.4){A} \uput[d](3,0){B} \uput[r](4.2,0.95){C} \uput[ul](1.2,1.35){D} \uput[l](0,3.5){E} \uput[u](3,3.1){F} \uput[r](4.2,4.05){G} \uput[u](1.2,4.45){H} \uput[l](0,1.95){J} \uput[u](0.6,0.8775){M} \uput[dr](3.6,0.475){N} \uput[r](3,1.55){K} \end{pspicture}\end{center} \end{enumerate} \bigskip \item Quelle est la nature du solide AJMBKN ? (Aucune justification n'est demandée.) \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Sur la figure ci-dessous, les droites (SF) et (TE) sont parallèles. Les points R, S et T sont alignés dans cet ordre. Les points R, F, E et G sont alignés dans cet ordre. SR = 2~cm et ST = 4~cm RF = 1,5~cm et EG = 9~cm \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que : RE = 4,5~cm. \item Les droites (ES) et (TG) sont-elles parallèles ? Justifier. \end{enumerate} \begin{center} \begin{pspicture}(10,3.5) \pspolygon(0,0)(9.6,0.8)(5.8,2.9)%GRT \psline(5.8,2.9)(6.4,0.5)(8.4,1.47)(8.6,0.7)%TESF \uput[ul](0,0){G} \uput[d](6.4,0.5){E} \uput[r](9.6,0.8){R} \uput[ur](8.4,1.47){S} \uput[ul](5.8,2.9){T} \uput[d](8.6,0.7){F} \rput{6}(3.2,0.15){\small 9 cm} \rput{6}(9.25,0.6){\small 1,5 cm} \rput{-32}(9.2,1.4){2 cm} \rput{-32}(7,2.6){4 cm} \end{pspicture}\end{center} Les dimensions ne sont pas respectées sur cette figure. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip \emph{Le plan est muni d'un repère orthonormal} (O, I, J). La figure ci-après est à compléter au fur et à mesure de la progression de ce problème. \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-5.5,-4.5)(10.5,7) \psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-5.5,-4.5)(10.5,7) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](-5.,-4.)(10.,7) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](-4,3)(-1,-1)(7,5) \uput[ul](-4,3){A} \uput[dl](-1,-1){B} \uput[ur](7,5){C} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} On donne les points A$(-4~;~3)$, B$(-1~;~- 1)$ et C(7~;~5) \medskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$, puis calculer la longueur du segment [AB]. Pour la suite du problème, on admettra que BC = 10 et AC = $5\sqrt{5}$. \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. \item Calculer les coordonnées du milieu M de [AC] et placer le point M sur la figure. \item Démontrer que MB = MC. \item Sur la figure, placer le point N, image du point M par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. Quelles sont les coordonnées de N ? (Aucune justification n'est demandée.) \item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}},~\vect{\text{BN}}$ et $\vect{\text{MC}}$ sont égaux. \item Démontrer que le quadrilatère BMCN est un losange. \item Démontrer que le triangle ABC et le losange BMCN ont la même aire. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% Fin Bordeaux septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%%% Est septembre 2002 \hypertarget{Estsep}{} \lfoot{\small{septembre 2002}} \rfoot{\small{Groupe Est}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Est~\decofourright\\septembre 2002 }} \end{center} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,15cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère : A $ = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5} : \dfrac{18}{7}$. Calculer A en indiquant les étapes (on donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible). \item On considère B $= \sqrt{25} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$ et C $= \left(\sqrt{5} + 2\right)^2 + \left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)$. Calculer B et C (on donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt{5}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On considère : $D = (3x - 7)^2 - 81$. \begin{enumerate} \item Développer $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation : $(3x - 16) (3x + 2) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de $496$ et de $806$. \item écrire $\dfrac{496}{806}$ sous la forme d'une fraction irréductible. \item Calculer $\dfrac{496}{806} - \dfrac{3}{26}$ (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip Perrine a 100 euros. Elle souhaite acheter des disques et des livres. Si elle achète 4 disques et 5 livres, il lui manque 9,5 euros. Si elle achète 3 disques et 4 livres, il lui reste 16 euros. Calculer le prix d'un disque et celui d'un livre. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A(1~;~2) B(3~;~0) C$(-1~;~ -2)$. \item On note D le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point D. \item \begin{enumerate} \item Placer le point D sur la figure. Construire le point E symétrique du point C par rapport au point D. \item Montrer que AEBC est un parallélogramme. \item Calculer les coordonnées du point E. \end{enumerate} \item Calculer AE et EB. \item En déduire que AEBC est un losange. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère un triangle ABC tel que : AB= 4,5 \qquad AC = 7,5 et BC = 6. Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Tracer le triangle ABC. Placer le point E tel que les points A, C et E soient alignés dans cet ordre et que CE = 4. Placer le point F tel que $\vect{\text{BA}} = \vect{\text{EF}}$. On note G le point d'intersection des droites (BC) et (EF). Placer le point G. \item \begin{enumerate} \item Donner la longueur EF. Justifier le résultat. \item Calculer la longueur EG. \item En déduire la longueur GF. \end{enumerate} \item On noce O le milieu du segment [CE]. Les droites (OG) et (CE) sont-elles parallèles ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip \emph{L'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré, l'unité de volume est le centimètre cube.} On considère le pavé droit ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$. On note L le point d'intersection des segments [AC] et [BD]. On a creusé ce pavé en enlevant la pyramide OABCD de hauteur [OL]. On a : DD$'$ = 5 ~~ DC = 6 ~~ DA = 7 \bigskip \textbf{Première partie} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4) \psline(3.7,0)(3.7,2.8)(0,2.8)(0,0)(3.7,0)(5.5,0.7)(5.5,3.5)(1.8,3.5)(0,2.8)%C'CDD'C'B'BAD \psline(5.5,3.5)(3.7,2.8)%BC \psline[linestyle=dotted](0,2.8)(5.5,3.5)(2.75,1.2)(1.8,3.5)(3.7,2.8)(2.75,1.2)(0,2.8)%DBOACOD \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.8,0.7)(1.8,3.5)%D'A'A \psline[linestyle=dotted](1.8,0.7)(5.5,0.7)%A'B' \psline[linestyle=dashed](2.75,1.2)(2.75,3.13)%OL \uput[u](1.8,3.5){A} \uput[u](5.5,3.5){B} \uput[dr](3.7,2.8){C} \uput[dl](0,2.8){D} \uput[u](2.75,3.13){L} \uput[ul](1.8,0.7){A$'$} \uput[ur](5.5,0.7){B$'$} \uput[dr](3.7,0){C$'$} \uput[dl](0,0){D$'$} \uput[d](2.75,1.2){O} \end{pspicture} \end{center} Dans cette partie, on a OL = 4. \medskip \begin{enumerate} \item Construire, en vraie grandeur, la face ABCD et placer le point L. \item \begin{enumerate} \item Calculer BD (on donnera une valeur arrondie au dixième). \item En déduire DL (on donnera une valeur arrondie au dixième). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le volume du pavé droit ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$. \item Calculer le volume de la pyramide OABCD. \item En déduire le volume du pavé creusé. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Dans cette partie, on pose OL $= x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $5$. Le pavé creusé que l'on obtient est le socle en bois d'un trophée. Sur ce socle, on pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide OABCD, de rapport 2. \begin{center} \begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(7.5,5.5) \psline(3.7,0)(3.7,2.8)(0,2.8)(0,0)(3.7,0)(5.5,0.7)(5.5,3.5)(1.8,3.5)(0,2.8)%C'CDD'C'B'BAD \psline(5.5,3.5)(3.7,2.8)%BC \psline[linestyle=dotted](0,2.8)(5.5,3.5)(2.75,1.2)(1.8,3.5)(3.7,2.8)(2.75,1.2)(0,2.8)%DBOACOD \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.8,0.7)(1.8,3.5)%D'A'A \psline[linestyle=dotted](1.8,0.7)(5.5,0.7)%A'B' \psline[linestyle=dashed](2.75,1.2)(2.75,3.13)%OL \uput[ul](1.8,3.5){A} \uput[u](5.5,3.5){B} \uput[dr](3.7,2.8){C} \uput[dl](0,2.8){D} \uput[u](2.75,3.13){L} \uput[ul](1.8,0.7){A$'$} \uput[ur](5.5,0.7){B$'$} \uput[dr](3.7,0){C$'$} \uput[dl](0,0){D$'$} \uput[d](2.75,1.2){O} \pspolygon(-2.4,3.9)(4.3,3.9)(7.4,5.2)(1.1,5.2)%HGFE \psline(0,2.8)(-2.4,3.9)%DH \psline(3.7,2.8)(4.3,3.9)%CG \psline(5.5,3.5)(7.4,5.2)%BF \psline(1.8,3.5)(1.1,5.2)%AE \uput[u](0.85,5.2){E} \uput[u](7.4,5.2){F} \uput[u](4.15,3.9){G} \uput[ul](-2.4,3.9){H} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le volume de la pyramide OABCD en fonction de $x$. \item Montrer que le volume du socle en bois est $210 - 14x$. \end{enumerate} \item Montrer que le volume de la pyramide en verre OEFGH est $112x$. \item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le volume de verre est égal à 2 fois le volume de bois. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f~:~x \mapsto 210 - 14x$ et $g~:~x \mapsto 112x$. Lorsque $x$ est compris entre $0$ et $5$, la fonction $f$ représente les variations du volume de bois et la fonction $g$ représente les variations du volume de verre. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre $0$ et $5$. Pour le repère, on prendra \begin{itemize} \item[$\bullet~$] l'origine en bas à gauche de la feuille ; \item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 unité ; \item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 25 unités. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item On veut que le volume de bois et le volume de verre soient égaux. En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de $x$ pour qu'il en soit ainsi (faire apparaître le tracé ayant permis de répondre). \item Retrouver ce résultat par un calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% Fin Groupe Est septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Paris septembre 2002 \hypertarget{Parissep}{} \lfoot{\small{septembre 2002}} \rfoot{\small{Groupe Est}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Est~\decofourright\\septembre 2002 }} \end{center} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,15cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère : A $ = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5} : \dfrac{18}{7}$. Calculer A en indiquant les étapes (on donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible). \item On considère B $= \sqrt{25} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$ et C $= \left(\sqrt{5} + 2\right)^2 + \left(\sqrt{5} - 1\right)\left(\sqrt{5} + 1\right)$. Calculer B et C (on donnera les résultats sous la forme $a + b\sqrt{5}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On considère : $D = (3x - 7)^2 - 81$. \begin{enumerate} \item Développer $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation : $(3x - 16) (3x + 2) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de $496$ et de $806$. \item écrire $\dfrac{496}{806}$ sous la forme d'une fraction irréductible. \item Calculer $\dfrac{496}{806} - \dfrac{3}{26}$ (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip Perrine a 100 euros. Elle souhaite acheter des disques et des livres. Si elle achète 4 disques et 5 livres, il lui manque 9,50 euros. Si elle achète 3 disques et 4 livres, il lui reste 16 euros. Calculer le prix d'un disque et celui d'un livre. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A(1~;~2) B(3~;~0) C$(-1~;~ -2)$. \item On note D le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point D. \item \begin{enumerate} \item Placer le point D sur la figure. Construire le point E symétrique du point C par rapport au point D. \item Montrer que AEBC est un parallélogramme. \item Calculer les coordonnées du point E. \end{enumerate} \item Calculer AE et EB. \item En déduire que AEBC est un losange. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \begin{enumerate} \item On considère un triangle ABC tel que : AB= 4,5 \qquad AC = 7,5 et BC = 6. Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Tracer le triangle ABC. Placer le point E tel que les points A, C et E soient alignés dans cet ordre et que CE = 4. Placer le point F tel que $\vect{\text{BA}} = \vect{\text{EF}}$. On note G le point d'intersection des droites (BC) et (EF). Placer le point G. \item \begin{enumerate} \item Donner la longueur EF. Justifier le résultat. \item Calculer la longueur EG. \item En déduire la longueur GF. \end{enumerate} \item On noce O le milieu du segment [CE]. Les droites (OG) et (CE) sont-elles parallèles ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip \emph{L'unité de longueur est le centimètre, l'unité d'aire est le centimètre carré, l'unité de volume est le centimètre cube.} On considère le pavé droit ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$. On note L le point d'intersection des segments [AC] et [BD]. On a creusé ce pavé en enlevant la pyramide OABCD de hauteur [OL]. On a : DD$'$ = 5 ~~ DC = 6 ~~ DA = 7 \bigskip \textbf{Première partie} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4) \psline(3.7,0)(3.7,2.8)(0,2.8)(0,0)(3.7,0)(5.5,0.7)(5.5,3.5)(1.8,3.5)(0,2.8)%C'CDD'C'B'BAD \psline(5.5,3.5)(3.7,2.8)%BC \psline[linestyle=dotted](0,2.8)(5.5,3.5)(2.75,1.2)(1.8,3.5)(3.7,2.8)(2.75,1.2)(0,2.8)%DBOACOD \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.8,0.7)(1.8,3.5)%D'A'A \psline[linestyle=dotted](1.8,0.7)(5.5,0.7)%A'B' \psline[linestyle=dashed](2.75,1.2)(2.75,3.13)%OL \uput[u](1.8,3.5){A} \uput[u](5.5,3.5){B} \uput[dr](3.7,2.8){C} \uput[dl](0,2.8){D} \uput[u](2.75,3.13){L} \uput[ul](1.8,0.7){A$'$} \uput[ur](5.5,0.7){B$'$} \uput[dr](3.7,0){C$'$} \uput[dl](0,0){D$'$} \uput[d](2.75,1.2){O} \end{pspicture} \end{center} Dans cette partie, on a OL = 4. \medskip \begin{enumerate} \item Construire, en vraie grandeur, la face ABCD et placer le point L. \item \begin{enumerate} \item Calculer BD (on donnera une valeur arrondie au dixième). \item En déduire DL (on donnera une valeur arrondie au dixième). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le volume du pavé droit ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$. \item Calculer le volume de la pyramide OABCD. \item En déduire le volume du pavé creusé. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Dans cette partie, on pose OL $= x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $5$. Le pavé creusé que l'on obtient est le socle en bois d'un trophée. Sur ce socle, on pose une pyramide en verre OEFGH qui est un agrandissement de la pyramide OABCD, de rapport 2. \begin{center} \begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(7.5,5.5) \psline(3.7,0)(3.7,2.8)(0,2.8)(0,0)(3.7,0)(5.5,0.7)(5.5,3.5)(1.8,3.5)(0,2.8)%C'CDD'C'B'BAD \psline(5.5,3.5)(3.7,2.8)%BC \psline[linestyle=dotted](0,2.8)(5.5,3.5)(2.75,1.2)(1.8,3.5)(3.7,2.8)(2.75,1.2)(0,2.8)%DBOACOD \psline[linestyle=dotted](0,0)(1.8,0.7)(1.8,3.5)%D'A'A \psline[linestyle=dotted](1.8,0.7)(5.5,0.7)%A'B' \psline[linestyle=dashed](2.75,1.2)(2.75,3.13)%OL \uput[ul](1.8,3.5){A} \uput[u](5.5,3.5){B} \uput[dr](3.7,2.8){C} \uput[dl](0,2.8){D} \uput[u](2.75,3.13){L} \uput[ul](1.8,0.7){A$'$} \uput[ur](5.5,0.7){B$'$} \uput[dr](3.7,0){C$'$} \uput[dl](0,0){D$'$} \uput[d](2.75,1.2){O} \pspolygon(-2.4,3.9)(4.3,3.9)(7.4,5.2)(1.1,5.2)%HGFE \psline(0,2.8)(-2.4,3.9)%DH \psline(3.7,2.8)(4.3,3.9)%CG \psline(5.5,3.5)(7.4,5.2)%BF \psline(1.8,3.5)(1.1,5.2)%AE \uput[u](0.85,5.2){E} \uput[u](7.4,5.2){F} \uput[u](4.15,3.9){G} \uput[ul](-2.4,3.9){H} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le volume de la pyramide OABCD en fonction de $x$. \item Montrer que le volume du socle en bois est $210 - 14x$. \end{enumerate} \item Montrer que le volume de la pyramide en verre OEFGH est $112x$. \item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le volume de verre est égal à 2 fois le volume de bois. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f~:~x \mapsto 210 - 14x$ et $g~:~x \mapsto 112x$. Lorsque $x$ est compris entre $0$ et $5$, la fonction $f$ représente les variations du volume de bois et la fonction $g$ représente les variations du volume de verre. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre $0$ et $5$. Pour le repère, on prendra \begin{itemize} \item[$\bullet~$] l'origine en bas à gauche de la feuille ; \item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 unité ; \item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 25 unités. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item On veut que le volume de bois et le volume de verre soient égaux. En utilisant le graphique, donner une valeur approchée de $x$ pour qu'il en soit ainsi (faire apparaître le tracé ayant permis de répondre). \item Retrouver ce résultat par un calcul. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% Fin Paris septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%% Reims septembre 2002 \hypertarget{Reimssep}{} \lfoot{\small{septembre 2002}} \rfoot{\small{Reims}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,15cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims~\decofourright\\septembre 2002}} \end{center} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications.} \emph{Le barème en tiendra compte} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip On donne A $ = (2x - 3)(x - 4) - (2x - 3)^2$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire A. \item Calculer A lorsque $x = \dfrac{3}{2}$, puis lorsque $x = 3\sqrt{2}$. \item Factoriser A. \item Résoudre l'équation $(2x - 3) (- x - 1) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip Au cours de la diffusion d'un film dans une salle de cinéma de 288 places, dont toutes les places sont occupées, on a noté, dans un tableau, la répartition par tranches d'âges de tous les spectateurs. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau ci-dessous en prenant soin de détailler le calcul de la fréquence en pourcentage de la classe d'âge [15 ; 25[. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Classe d'âge& Effectif& Fréquence en pourcentage\\ \hline [15 ; 25[& 90& \\ \hline [25 ; 35[& 54&\\ \hline [35 ; 45[ &72&\\ \hline [45 ; 55[&&\\ \hline [55 ; 65[ && 12,50\\ \hline Total& 288& 100\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer la moyenne de cette série statistique, en remplaçant chaque classe par sa valeur centrale (par exemple, la classe [15; 25[ sera remplacée par la valeur 20, la classe [25 ; 35[ sera remplacée par la valeur 30, etc.). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Soit $f$ la fonction affine telle que $f(x) = \dfrac{2}{3} x + 1$. \begin{enumerate} \item Quelle est l'image de 3 par la fonction $f$ ? Quelle est l'image de $- 3$ ? \item Sur une feuille de papier millimétré, tracer la droite qui représente la fonction $f$ (Sur les deux axes du repère orthonormal, l'unité de longueur choisie est 1~cm.) \item Déterminer graphiquement le nombre $x$ tel que $f(x) = 5$ et retrouver le résultat par le calcul. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITéS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \emph{La figure ci-dessous n'est pas à refaire sur la copie, Elle n'est pas donnée en vraie grandeur.} \medskip \parbox{0.45\textwidth}{ A, B et C sont trois points d'un cercle $\mathcal{C}$ (voir figure).\\ On sait que AB = 3 cm. La hauteur AH mesure 2,5~cm. On trace le diamètre [AE]. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle ACE ? Justifier la réponse. \item Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{AEC}}$ sont égaux. \item En utilisant le triangle ABH, calculer la valeur exacte de $\sin \widehat{\text{ABH}}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AEC}}$ arrondie au degré \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(5,5) \pscircle(2.5,2.5){2.5} \pspolygon(0.5,1)(4.43,1)(1.2,4.6) \psline(1.2,4.6)(1.2,1) \psline(1.4,1)(1.4,1.2)(1.2,1.2) \psline[linestyle=dashed](1.2,4.6)(3.8,0.4) \qdisk(2.5,2.5){1pt} \uput[ul](1.2,4.6){A} \uput[dl](0.5,1){B} \uput[dr](4.43,1){C} \uput[dr](3.8,0.4){E} \uput[d](1.2,1){H} \uput[ur](2.5,2.5){O} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle ABD tel que AB = 6~cm, AD = 8~cm et BD = 10~cm. \item Démontrer que ce triangle est rectangle. \item Placer le point C tel que $\vect{\text{BC}} = \vect{\text{AD}}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. \item Placer sur le segment [AB] le point K tel que AK = 4,5~cm, puis tracer la parallèle à (BD) passant par K. Elle coupe la droite (AD) en S. Calculer la longueur du segment [AS]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{PQRS est un carré. La flèche indique le sens direct. Pour chacune des questions Q$_{1}$, Q$_{2}$, Q$_{3}$, Q$_{4}$, une seule réponse est exacte. \\Recopier, sans justification, cette bonne réponse sur la copie.} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(3,3) \psframe(3,3) \psarc{->}(1.75,1.5){2cm}{-25}{25} \uput[ul](0,3){P} \uput[ur](3,3){Q} \uput[dr](3,0){R} \uput[dl](0,0){S} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.4}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{X|}}\hline Q$_{1}$ &$\vect{\text{PQ}}+\vect{\text{QR}}=\vect{\text{PR}}$ & $\vect{\text{SR}} + \vect{\text{RQ}} = \vect{\text{QS}}$ & $\vect{\text{SP}} +\vect{\text{PQ}}= \vect{\text{SR}}$\\ \hline Q$_{2}$&$\vect{\text{SP}} + \vect{\text{SR}}= \vect{\text{QS}}$&$\vect{\text{RS}}+ \vect{\text{RQ}} = \vect{\text{RP}}$&$\vect{\text{RQ}} + \vect{\text{RP}} = \vect{\text{RS}}$\\ \hline Q$_{3}$&L'image de P par la translation de vecteur $\vect{\text{SR}}$ est R &R a pour image S par la translation de vecteur $\vect{\text{QP}}$& Les vecteurs $\vect{\text{PR}}$ et $\vect{\text{SQ}}$ sont égaux.\\ \hline Q$_{4}$&L'image de Q par la rotation de centre R et d'angle 90\degres{} dans le sens indiqué sur la figure est P&L'image de Q par la rotation de centre R et d'angle 45\degres{} dans le sens indiqué sur la figure est P &L'image de Q par la rotation de centre R et d'angle 90\degres{} dans le sens indiqué sur la figure est S.\\ \hline \end{tabularx} \newpage \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Première partie} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon R = 26~cm. On rappelle que tous les côtés de cet hexagone mesurent 26~cm (figure 1 ci-contre). L'hexagone ABCDEF est la base d'une pyramide régulière de sommet S et de hauteur SO = 83~cm (figure 2). Le point H est le milieu de [AB]. (On rappelle que les faces latérales de cette pyramide sont des triangles isocèles en S.)} \hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \rput(0,-2.75){\emph{Figure} 1} \pscircle(0,0){2.5cm} \psline(1.8,1.2)(1.62,1.11)(1.7,1) \SpecialCoor \pspolygon(2.5;0)(2.5;60)(2.5;120)(2.5;180)(2.5;240)(2.5;300) \psline(0;0)(2.165;30) \uput[r](2.5;0){A} \uput[ur](2.5;60){B} \uput[ul](2.5;120){C} \uput[l](2.5;180){D} \uput[dl](2.5;240){E} \uput[dr](2.5;300){F} \uput[l](0;0){O} \uput[d](2.165;30){H} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Le triangle SOB est rectangle en O. Calculer SB$^2$. \item Que représente la droite (SH) pour le triangle SAB ? Justifier. \item Montrer que SH$ = 86$~cm. \item Calculer, en cm$^2$, l'aire du triangle SAB. \item En déduire que l'aire latérale de la pyramide (aire de la pyramide sans la base) est \np{6708} cm$^2$. \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(4,4) \pspolygon(0.08,1.2)(0,0.3)(1.29,0)(2.6,0.4)(2.58,1.2)(1.3,3.2)%EFABCSE \psline(1.3,3.2)(0,0.3)%SF \psline(1.3,3.2)(1.29,0)%SA \psline(1.3,3.2)(2.6,0.4)%SB \psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.35,0.75)(1.95,0.2)%SOH \psline[linestyle=dashed](0.08,1.2)(1.5,1.5)(2.58,1.2)%EDC \psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.5,1.5)%SD \uput[d](1.29,0){A} \uput[dr](2.6,0.4){B} \uput[r](2.58,1.2){C} \uput[ur](1.5,1.5){D} \uput[l](0.08,1.2){E} \uput[ul](0,0.3){F} \uput[ur](1.35,0.75){O} \uput[dr](1.95,0.2){H} \uput[u](1.3,3.2){S} \uput[d](1.5,-0.5){\emph{Figure} 2} \end{pspicture} & \psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(4,4) \pspolygon(0.08,1.2)(0,0.3)(1.29,0)(2.6,0.4)(2.58,1.2)(1.3,3.2)%EFABCSE \psline(1.3,3.2)(0,0.3)%SF \psline(1.3,3.2)(1.29,0)%SA \psline(1.3,3.2)(2.6,0.4)%SB \psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.35,0.75)%SOH \psline[linestyle=dashed](0.08,1.2)(1.5,1.5)(2.58,1.2)%EDC \psline[linestyle=dashed](1.3,3.2)(1.5,1.5)%SD \psline(0.7,2.25)(0.7,1.8)(1.3,1.7)(1.92,1.85)(1.9,2.25)%E'F'A'B'C' \psline[linestyle=dashed](1.9,2.25)(1.4,2.45)(0.7,2.25)%C'D'E' \uput[dl](1.3,1.7){A$'$} \uput[r](1.92,1.85){B$'$} \uput[ur](1.9,2.25){C$'$} \uput[ur](1.4,2.45){D$'$} \uput[ul](0.7,2.25){E$'$} \uput[dl](0.7,1.8){F$'$} \uput[d](1.29,0){A} \uput[dr](2.6,0.4){B} \uput[r](2.58,1.2){C} \uput[ur](1.5,1.5){D} \uput[l](0.08,1.2){E} \uput[ul](0,0.3){F} \uput[ur](1.35,0.75){O} \uput[dr](1.95,0.2){H} \uput[u](1.3,3.2){S} \uput[d](1.5,-0.5){\emph{Figure} 3} \end{pspicture} & \psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(4,4) \psline(0.08,1.2)(0,0.3)(1.29,0)(2.6,0.4)(2.58,1.2)%EFABC \psline(0.08,1.2)(0.7,2.25)(0.7,1.8)(0,0.3)%EE'F'F \psline(0.7,1.8)(1.3,1.7)(1.29,0)%F'A'A \psline(1.3,1.7)(1.92,1.85)(2.6,0.4)%A'B'B \psline(1.92,1.85)(1.9,2.25)(2.58,1.2)%B'C'C \psline(1.9,2.25)(1.4,2.45)(0.7,2.25)%C'D'E' \psline[linestyle=dashed](0.08,1.2)(1.5,1.5)(2.58,1.2)%EDC \psline[linestyle=dashed](1.4,2.45)(1.5,1.5)%D'D \uput[d](1.29,0){A} \uput[dr](2.6,0.4){B} \uput[r](2.58,1.2){C} \uput[ur](1.5,1.5){D} \uput[l](0.08,1.2){E} \uput[ul](0,0.3){F} \uput[dr](1.95,0.2){H} \uput[dl](1.3,1.7){A$'$} \uput[r](1.92,1.85){B$'$} \uput[ur](1.9,2.25){C$'$} \uput[ur](1.4,2.45){D$'$} \uput[ul](0.7,2.25){E$'$} \uput[dl](0.7,1.8){F$'$} \uput[d](1.5,-0.5){\emph{Figure} 4} \end{pspicture}\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie} \medskip Pour fabriquer l'abat-jour d'une lampe, on a coupé cette pyramide d'un plan parallèle à la base (figure 3). On obtient ainsi un tronc de pyramide qui servira d'abat-jour (figure 4). Ainsi la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ est une réduction de la pyramide SABCDEF. \medskip \begin{enumerate} \item On donne SO$' = 33,2$ cm. Calculer $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}$ et expliquer comment obtenir l'aire latérale de AB$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ à partir de l'aire latérale de SABDCDEF. Calculer alors l'aire de l'abat-jour en cm$^2$. \item On suppose maintenant que SO$' = x$, avec $0 < x < 83$. Montrer que l'aire $\mathcal{A}$ de l'abat-jour vérifie : $\mathcal{A} = \np{6708} - \dfrac{\np{6708}}{\np{6889}}x^2$ \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% Fin Reims septembre 2002 \newpage %%%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2002 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2002}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\novembre 2002}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère les nombres suivants : \[\text{A} = \dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{5} \times 13 \quad \text{B} = \dfrac{1,6 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-9}} \quad \text{C} = 3\sqrt{20} - 7\sqrt{5} + 2\sqrt{125}.\] En précisant les différentes étapes du calcul \begin{enumerate} \item écrire A sous la forme d'une fraction, la plus simple possible. \item Donner l'écriture scientifique de B. \item écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier le plus petit possible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression $D = (3x -5)(5- 2x) - (3x - 5)^2$. \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(3x -5) (-5x + 10) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip L'histogramme ci-dessous donne les âges de jeunes sportifs participant à un stage de judo. \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture}(12,30) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(13,30) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,15) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(4,25) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(6,15) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(8,20) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(10,10) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,0)(12,5) \uput[d](12.5,0){Âges} \uput[l](0,28){Effectifs} \multido{\n=1+2,\i=11+1}{6}{\uput[d](\n,0){\i~ ans}} \multido{\n=5+5}{5}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(13,\n)} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Combien de jeunes participent au stage ? \item Compléter le tableau ci-dessous. Les fréquences seront données à $0, 1$\:\% près. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{X|}}\hline Âge & & & & & & \\ \hline Effectifs & & & & & & \\ \hline Fréquences & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Quel est l'âge moyen des participants ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c r} x + y &= &60\\ 10x + 3y &= &355\\ \end{array} \right. \] \item Pour un parterre de fleurs, un paysagiste achète un lot de $60$ plants constitué de rosiers à $10$~\euro{} pièce et d'iris à $3$~\euro{} pièce. Le montant de la facture correspondant à cet achat est de $355$~\euro. Combien achète-t-il de plantes de chaque sorte ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITéS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \bigskip \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,6) \psframe(4.8,4.8) \psline(4.8,0)(5.6,0.8)(5.6,5.6)(4.8,4.8) \psline(5.6,5.6)(0.8,5.6)(0,4.8) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0.8,0.8)(0.8,5.6) \psline[linestyle=dashed](0.8,0.8)(5.6,0.8) \uput[l](0,4.8){A} \uput[ul](0.8,5.6){B} \uput[ur](5.6,5.6){C} \uput[ul](4.8,4.8){D} \uput[l](0,0){E} \uput[ul](0.8,0.8){F} \uput[r](5.6,0.8){G} \uput[dr](4.8,0){H} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.6\linewidth}{Soit ABCDEFGH un cube d'arête $5$~cm. \begin{enumerate} \item Dessiner en vraie grandeur le triangle AHG. \item Calculer les valeurs exactes de AH et AG, puis une valeur arrondie à $0,1$~degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAG}}$. \end{enumerate}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \emph{L'unité de longueur est le centimètre.} Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points E$(- 4~ ;~ -1)$ , F(4 ; 4) et G$(2 ~;~ -1)$. \item Calculer les coordonnées du milieu K du segment [EG]. \item Soit le point H$(4~;~ -1)$. On admet que [FH] est la hauteur issue de F du triangle EFG et que FH = $5$~cm. Calculer EG puis en déduire l'aire du triangle EFG. \item Sachant que EF $= \sqrt{89}$~cm, en déduire la longueur $h$ de la hauteur issue de G dans le triangle EFG. On donnera la valeur exacte de $h$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(9,5) \pspolygon(0,3)(4.5,0)(6.1,4.5)(8.3,3) \psline(3.75,3)(5.2,2) \uput[ul](5.6,3){A} \uput[r](8.3,3){B} \uput[u](6.1,4.5){C} \uput[u](0,3){D} \uput[d](4.5,0){E} \uput[u](3.75,3){F} \uput[dr](5.2,2){G} \end{pspicture} } \hfill \parbox{0.35\linewidth}{\emph{L'unité de longueur est le centimètre. \\ La figure ci-dessus n'est pas à l'échelle.} Les points D, F, A et B sont alignés. Les points E, G, A et C sont alignés,. Les droites (DE) et (FG) sont parallèles. AF = 5 ; FG = 3 ; AG = 4 ; DE = 7,5 ; AC = 3 ; AB = 3,75.} \bigskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle AFG est un triangle rectangle. \item \begin{enumerate} \item Calculer AD ; en déduire FD. \item Calculer AE ; en déduire EC. \end{enumerate} \item Démontrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(7,5) \psframe(5.1,3.1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.1,0)(6.1,1)(6.1,4.1)(5.1,3.1) \psline(0,3.1)(1.1,4.1)(6.1,4.1)\psline[linestyle=dashed](0,3.1)(-0.2,3.32) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(-0.2,3.32)(0.9,4.32) \rput{42}(0.2,4.12){15~cm} \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(6.3,1.1)(6.3,4.1) \rput{90}(6.5,2.6){$30$~cm} \psline[linestyle=dashed](1.1,4.1)(0.9,4.32) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.1,1.1)(6.1,1.1) \psline[linestyle=dashed](1.1,1.1)(1.1,4.1) \psline[linewidth=0.25pt]{<->}(1.1,4.3)(6.1,4.3) \uput[u](3.6,4.3){$50$~cm} \end{pspicture}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{Une cartonnerie fabrique des boîtes pour des bouteilles de vin. Chaque boîte a la forme d'un parallélépipède rectangle. L'unité de longueur est le cm ; l'unité d'aire est le cm$^2$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser la nature des faces de ces boîtes et leurs dimensions. \item Montrer que l'aire totale des faces de la boite est \np{5400}~cm$^2$. \end{enumerate} \item Sachant que pour les découpes il faut prévoir 20\:\% de plus de carton, combien de m$^2$ de carton seront nécessaires pour fabriquer $100$~boîtes. \end{enumerate}} \bigskip \textbf{Partie B} Pour expédier ses boîtes le fabricant a le choix entre deux transporteurs : \begin{itemize} \item Inter Transport ; \item Transport Express. \end{itemize} Le tarif de la société Inter Transport comporte une partie fixe de $30$~\euro{} et $2$~\euro{} par boîte. Le tarif de la société Transport Express est de 2,25 \euro{} par boite. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{2}{|c|}{Nombre de boîtes expédiées} &50 &100&120&150&200 \\ \hline \multirow{2}{2.5cm}{Prix payé}&Inter Transport & & & & & \\ \cline{2-7} &Transport Express& & & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On note $x$ le nombre de boîtes expédiées. Exprimer en fonction de $x$ le prix $P_{1}$ payé à la société Inter Transport et le prix $P_{2}$ payé à la société Transport Express. \item On considère les fonctions suivantes : \begin{itemize} \item la fonction linéaire $f\quad: x \longmapsto 2,25x$ ; \item la fonction affine $g \quad : x \longmapsto 2x + 30$. \end{itemize} Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère (O, I, J) les droites D$_{1}$ et D$_{2}$ qui représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$. On placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré. On prendra $1$~cm pour $10$~unités en abscisses et $1$~cm pour $15$~unités en ordonnées. \item Résoudre graphiquement le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} y &= &2,25x\\ y &= &2x+30\\ \end{array}\right.\] \item En utilisant une lecture du graphique réalisé à la question 3., préciser dans quel cas le fabricant doit choisir la société Inter Transport. \end{enumerate} %%%%%%% Fin Amérique du Sud novembre 2002 \newpage %%%%%%% Nouvelle Calédonie décembre 2002 \hypertarget{Caledonienov}{} \lfoot{\small{décembre 2002}} \rfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,15cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\décembre 2002}} \end{center} \vspace{0,15cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible : \[2\sqrt{28}+5\sqrt{63}-3\sqrt{112}\] \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit l'expression \[A = 9x^{2}- 49 +\left(3x + 7 \right) \left(2x + 3 \right).\] \begin{enumerate} \item Développer l'expression $A$. \item Factoriser $9x^{2}-49$ ; puis l'expression $A$. \item Résoudre l'équation $(3x + 7)(5x - 4) = 0 $. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sommes représentent $3,85\:\%$ de \np{150000} \euro, de \np{378000}~\euro, de \np{500000} \euro, puis de \np{1000000} \euro{} ? \item Quel pourcentage, valeur arrondie au centième près, de \np{500000}~\euro{} représentent \np{14553}~\euro~ ? \item Quel pourcentage, valeur arrondie au centième près, de \np{1000000}~\euro~ représentent \np{14553}~\euro~ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un carré ABCD et le triangle équilatéral ABE, extérieur à ABCD, ayant le côté commun [AB] tel que AB = 4~cm. Construire O le centre de gravité de ABE. \item Construire A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$ image de ABCD par la rotation $\cal{R}$ de centre O et d'angle $120\degres$, dans le sens des aiguilles d'une montre. \item Construire A$_{2}$B$_{2}$C$_{2}$D$_{2}$ image de A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$D$_{1}$ par la même rotation. \item Quelle est la rotation qui transforme ABCD en A$_{2}$B$_{2}$C$_{2}$D$_{2}$ ? \item Quelle est l'image de A$_{2}$B$_{2}$C$_{2}$D$_{2}$ par la rotation $\cal{R}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer le triangle REC tel que RE = 7,5 cm ; RC = 10 cm et EC = 12,5 cm. \item Montrer que le triangle REC est rectangle en R. \item Calculer, valeurs arrondies au degré près, les angles de ce triangle. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Dans une classe, on a relevé les notes obtenues par les élèves. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous : \hspace*{-1cm} {\scriptsize \begin{tabular}{|m{2.15cm}|*{15}{c|}}\hline Notes &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20\\\hline Effectifs cumulés croissants &1 &0 &4 &0 &7 &3 &2 &0 &1 &3 &2 &0 &0 &0 &2\\\hline Fréquences en $\%$ & & & & & & & & & & & & & & &\\\hline Angles du diagramme circulaire& & & & & & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabular}} \medskip \item Combien d'élèves ont eu une note strictement inférieure à 12 ? \item Quelle est la médiane de ce relevé de notes ? \item Calculer la moyenne de cette classe pour ce devoir. \item Quelle note devrait obtenir un $26\up{e}$ élève pour que la moyenne de cette classe soit exactement égale à 12 ? \end{enumerate} %%%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie décembre 2002 \newpage %%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2003 (rattrapage 2002) \hypertarget{Caledoniemars}{} \lfoot{\small{mars 2003}} \rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Nouvelle-Calédonie mars 2003~\decofourright}}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités numériques \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 } \medskip Calculer A et B et présenter les résultats sous forme de fractions irréductibles. \[ \text{A} = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{7}{6} \qquad \text{B} = \dfrac{5 \times 10^8 \times 6 \times 10^3}{2 \times \left(10^4\right)^3}.\] \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On pose E = $(3x - 1)(x + 5) - (3x - 1)^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire E. \item Factoriser E. \item Résoudre l'équation $(3x - 1)(-2x + 6) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \vspace{0,7cm} \parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-6)(6,8) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(-4,-6)(6,8) \uput[dr](0,0){O} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-4,0)(6,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-6)(0,8) \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,7.7){$y$} \psline[linewidth=1.25pt](-4,2)(6,2) \psline[linewidth=1.25pt](-3,-6)(3.5,7) \psline[linewidth=1.25pt](-3.5,-1.5)(4.5,6.5) \uput[u](-2.5,2){$d_1$} \uput[u](-2.5,-2){$d_2$} \uput[u](-2.5,-5){$d_3$} \end{pspicture}} \hfill \parbox[l]{0.55\textwidth}{On considère les fonctions $f,~g$ et $h$ définies par : $f(x) = x + 2, \qquad g(x) = 2, \qquad h(x) = 2x.$ Recopier et compléter le tableau ci-dessous en associant à chacune d'elles la droite qui lui correspond dans le repère. \begin{tabular}{||c | c ||}\hline Fonction affine & Droite \\ & correspondante\\ \hline $f(x) = x + 2$ & \\ \hline $g(x) = 2$ & \\ \hline $h(x) = 2x$& \\ \hline \end{tabular}} \newpage \textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} \bigskip \parbox[l]{0.47\textwidth}{\textbf{Exercice 1} Les droites (BE) et (FC) sont parallèles. AB = 6 cm, AC = 15 cm et AF = 12 cm. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur AE. \item Sachant que AK = 30 cm, démontrer que les droites (BF) et (CK) sont parallèles. \item Sachant que FC = 9 cm, démontrer que le triangle AFC est rectangle en F.\end{enumerate}} \hfill \parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4.3) \psline(5.4,0.5)(0,2)(6.75,4.3) \psline(1.9,0.9)(0.5,3.05) \psline(3.95,0.3)(2.05,3.4) \uput[u](0,2){A} \uput[d](1.4,1.4){B} \uput[d](3.5,1){C} \uput[u](1,2.4){E} \uput[u](2.4,2.8){F} \uput[u](5.8,4){K} \qdisk(5.8,4){1pt} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Un avion, de tourisme est en phase d'approche de l'aérodrome de Magenta suivant le trajet AC. On donne : \begin{itemize} \item altitude de l'avion : AB = 1058 m ; \item $\widehat{\text{ACB}} = 30°$. \end{itemize} \vspace{0,5cm} \begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,3.5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3)(6.4,0) \psline[linewidth=2.5pt](0,0)(11,0) \psframe(0,0)(0.2,0.2) \uput[ur](0,3){A(vion)} \uput[dl](0,0){B} \uput[d](6.4,0){C} \uput[d](10.15,0){D} \psarc(6.4,0){0.5cm}{150}{180} \uput[l](5.8,0.2){30 \degres} \end{pspicture}\end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la longueur AC qu'il reste à parcourir à l'avion pour rejoindre le point d'atterrissage C est égale à \np{2116}~m. \item Sachant que cet avion se déplace de A vers C avec une vitesse constante $v$ de 92 mètres par seconde, calculer le temps qu'il mettra pour parcourir la distance AC. \item Trouver, en mètres (arrondis au dixième), la distance CD nécessaire à l'arrêt de l'appareil ; cette distance se calcule grâce à la formule suivante : CD = $\dfrac{2v^2 + \np{6600}}{25}$ où $v$ est la vitesse en mètres par seconde de l'appareil lorsqu'il touche le sol en C. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Problème \hfill 12 points} \bigskip \emph{On se placera dans un repère orthonormé} (O, I, J) \emph{où l'unité est le centimètre et on complétera la figure au fur et à mesure des questions.} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer ce repère et placer les points A(1 ; 5),~B$(-1~;~3)$ et K$(7~;~-1)$. \item On appelle G le milieu du segment [BK]. montrer par le calcul que les coordonnées du point sont $(3~;~1)$, puis le placer sur la figure. \item Construire le point R symétrique du point A par rapport au point G. lire les coordonnées du point R sur le graphique. \item Montrer que BK = $4\sqrt{5}$ cm. \item Sachant que RA = $4\sqrt{5}$ cm, montrer, sans nouveau calcul, que ABRK est un rectangle. \item Tracer le cercle ($\mathcal{C}$) de diamètre [BK] et montrer que son rayon GB est égal à $2\sqrt{5}$ cm. \item Placer le point E$(1~;~-3)$ ; calculer GE et en déduire que ce point E appartient au cercle ($\mathcal{C}$). \item En déduire, sans aucun calcul, que le triangle BEK est rectangle en E. \end{enumerate} %%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2003 (rattrapage 2002) \newpage %%%%%%% Bordeaux Brevet professionnel \hypertarget{ProBordeaux}{} \rfoot{\small{Brevet professionnel }} \lfoot{\small juin 2002} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Bordeaux SéŽrie professionnelle juin 2002~\decofourright}}}\normalsize{}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large{Première partie}\hfill 12 points} \bigskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de A : \[\text{A} = 5 - 8 \times 2 + 6\] \item Calculer la valeur de B en arrondissant le rŽésultat au dixième : \[\text{B} = \dfrac{3}{7} \times 19\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \item Calculer la valeur numéŽrique de C pour $x = 3$ \[\text{C} = 16 - 2x\] \item Recopier et compléŽter : \[ \sqrt{4 \times \ldots} = 6 \quad ; \quad 5^2 \times 5^3 = 5^{\ldots}\] \item RéŽsoudre l'Žéquation suivante : \[ 8x - 3 = 1\] \item Quand on enlève $8\:\%$ du salaire brut pour diverses charges sociales, on obtient le salaire net. \begin{enumerate} \item Si le salaire brut est de \np{1575}~euros, calculer le montant des charges salariales. \item Calculer le salaire net. \end{enumerate} \item Dans un triangle ŽéquilatéŽral, la mesure $h$ d'une hauteur est donnŽée par la relation : $h = a \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ où $a$ est la mesure de la longueur d'un cô™téŽ. Calculer la mesure de $h$ en cm lorsque le c™ôtŽé $a$ mesure 4 cm. (Arrondir le rŽésultat au mm). \end{enumerate} \newpage \textbf{\Large{Deuxième partie \hfill 12 points}} \vspace{0,5cm} \begin{center}VOUS TRAITEREZ \textbf{AU CHOIX} LA PARTIE GéƒOMéƒTRIE OU LA PARTIE STATISTIQUE \end{center} \vspace{0,5cm} \begin{multicols}{2} \textbf{PARTIE GéƒOMƒéTRIE} On se propose de construire un ove, figure géŽomŽétrique ayant la forme d'un {\oe}uf. \begin{enumerate} \item Construction Un segment horizontal [AB] de longueur 12~cm est tracŽé sur l'ANNEXE 1. \begin{enumerate} \item Construire la mŽédiatrice de [AB]. \item Tracer le cercle de diamètre [AB] et de centre O. Il coupe la méŽdiatrice de [AB] en M et N. M est au-dessus de [AB]. \item Tracer l'arc de cercle de centre A et de rayon [AB]. Il coupe la demi-droite [AM) en P. \item Tracer l'arc de cercle de centre B et de rayon [BA]. Il coupe la demi-droite [BM) en Q. \item Joindre les points P et Q par un arc de cercle de centre M. Colorier le contour de l'ove AQPBN obtenu. \end{enumerate} \item Calculs \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle OBM ? Justifier la rŽéponse. \item Calculer la mesure de l'angle ABM, en degrŽé. \item En utilisant le thŽéorème de Pythagore, calculer la mesure de la longueur BM, l'unitŽé Žétant le cm. En dŽéduire la mesure de la longueur MQ. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{PARTIE STATISTIQUE} Dans une usine, la fabrication de tiges méŽtalliques dŽécoupŽées par une machine néŽcessite une surveillance rigoureuse. Pour cela un ouvrier effectue réŽguli菏rement un préŽlèvement de 50 pièces afin de mesurer leur longueur en centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item ComplŽéter le tableau de l'ANNEXE 2. \item On suppose que l'effectif de chaque classe est affectéŽ au centre de classe. Calculer la longueur moyenne des tiges préŽlevéŽes. Arrondir les réŽsultats au mm. \item Sur la feuille de papier quadrilléŽ de l'ANNEXE 2, tracer l'histogramme des effectifs. Arrondir les rŽésultats au mm. \end{enumerate} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ \end{multicols} \newpage \textbf{Troisième partie\hfill 12 points} \bigskip Afin de restaurer sa maison, Jean doit se faire livrer des matéŽriaux. Pour cela, il a le choix entre deux entreprises qui proposent les tarifs suivants : $\bullet~$ entreprise A : un forfait de 40~\euro{} plus 0,50 \euro{} par km. $\bullet~$ entreprise B : un forfait de 50~\euro{} plus 0,20 \euro{} par km. Dans tout ce problème, les prix sont exprimŽés en euro (\euro) et les distances en kilomètre. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le montant àˆ payer ˆ l'entreprise A pour une livraison ˆà une distance de 50 km. \item Calculer le montant ˆà payer àˆ l'entreprise B pour une livraison ˆ une distance de 50 km. \item Soit $x$ la distance parcourue pour la livraison. Pour $x$ compris entre $0$ et $100$~km : \begin{enumerate} \item La portion de la droite (D$_1$) tracŽée dans le plan rapportŽ au repère de l'ANNEXE 3 reprŽésente le prix $y_{\text{A}}$ ˆà payer ˆà l'entreprise A en fonction de $x$. CompléŽter le tableau 1 de l'ANNEXE 3. \item Le montant ˆà payer $y_{\text{B}}$ ˆà l'entreprise B est donnéŽ par la relation $y = 0,20 x + 50$. CompléŽter le tableau 2 de l'ANNEXE 3. \item Placer les points de coordonnéŽes $(x_{\text{B}}~ ;~ y_{\text{B}})$ du tableau 2, et les relier par une droite. On obtient la droite (D$_{2}$). \end{enumerate} \item Quelle est l'entreprise la moins chère pour Jean qui habite ˆà 40 km de ces deux entreprises ? Justifier la réŽponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1} \end{center} \begin{pspicture}(14,11) \psline(2,0)(14,0) \psline(2,-0.1)(2,0.1) \psline(14,-0.1)(14,0.1) \uput[ul](2,0){A} \uput[ur](14,0){B} \end{pspicture} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2} \vspace{0.4cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c |*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}| c |}\hline Longueur en cm & Nombre de tiges $n_i$& FrŽéquence en \% & Centre de classe $x_i$ & $n_i \times x_i$\\ \hline [12,5~;~12,7[ & 4 & & & \\ \hline [12,7~;~12,9[ & 6 & & & \\ \hline [12,9~;~13,1[ & 20 & & & \\ \hline [13,1~;~13,3[ & & & & \\ \hline [13,3~;~13,5[ & 5 & & & \\ \hline Total & & 100 & & \\ \cline{1-3} \cline{4-5} \end{tabularx} \end{center} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(15,20) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1] \psline[linewidth=2.5pt](0,0)(15,0) \psline[linewidth=2.5pt](0,0)(0,20) \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=white](0.3,0)(0.7,0) \psframe[linewidth=2.5pt](10,18)(12,19) \uput[u](0.5,20){Nombre de tiges} \uput[l](0,0){0} \uput[l](0,1){1} \uput[d](15,0){Longueur en cm} \uput[d](1,0){12,5} \uput[d](3,0){12,7} \rput(11,18.5){1 tige} \psline(0.2,-0.1)(0.4,0.1) \psline(0.6,-0.1)(0.8,0.1) \end{pspicture} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 3} \hspace{2.5cm}Tableau 1 \hspace{3cm} Tableau 2 \vspace{0.5cm} $\begin{array}{| c | c | c | c |} \hline ~x~ & ~0~ & 40 & 100 \\ \hline y_{\text{A}} & & & \\ \hline \end{array}$\hspace{1cm}$\begin{array}{| c | c | c | c |} \hline ~x~& ~0~ &50 & 100\\ \hline y_{\text{B}} & & & \\ \hline \end{array}$ \vspace{1cm} \begin{pspicture}(16,16) \psgrid[gridlabelcolor=white] \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(16,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,16) \psline(0,4)(10,9) \uput[d](10,9){D$_1$} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){10} \uput[d](2,0){20} \uput[d](3,0){30} \uput[d](4,0){40} \uput[d](5,0){50} \uput[d](6,0){60} \uput[d](7,0){70} \uput[d](8,0){80} \uput[d](9,0){90} \uput[d](10,0){100} \uput[l](0,1){10} \uput[l](0,2){20} \uput[l](0,3){30} \uput[l](0,4){40} \uput[l](0,5){50} \uput[l](0,6){60} \uput[l](0,7){70} \uput[l](0,8){80} \uput[l](0,9){90} \uput[l](0,10){100} \uput[d](15,0){$x$ (en km)} \uput[l](0,16){$y$} \uput[l](0,15){(en euro)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%% Fin Bordeaux Brevet professionnel \newpage %%%%%%% Bordeaux Brevet technologique \hypertarget{TechnoBordeaux}{} \lfoot{\small{série technologique}} \rfoot{\small{Bordeaux}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet technologique - Bordeaux juin 2002~\decofourright}}} \end{center} \normalsize{} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITéS NUMéRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \begin{center} \textbf{À traiter obligatoirement} \end{center} \begin{enumerate} \item Effectuer les calculs suivants en précisant les étapes : \[\text{A} = - 7 - (2 - 7) + 8 \times \dfrac{1}{2} \qquad \text{B} = 5(3 - 8) - 2(- 1 - 3)\] \item On donne les quatre fractions : \[\text{C} = - \dfrac{1}{2} \qquad;\qquad \text{D} = \dfrac{7}{5}\qquad;\qquad \text{E} = -\dfrac{4}{3}\qquad;\qquad \text{F} = \dfrac{3}{10}\] \begin{enumerate} \item Ranger ces fractions dans l'ordre croissant. \item Calculer : D + E. \item Calculer : E ~$\times$~ F. Les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles. \end{enumerate} \item Calculer la valeur numérique de l'expression : G = $3,8 \times 10^5 \times 5 \times 10^3$. Donner le résultat : \begin{enumerate} \item sous la forme d'un nombre décimal ; \item en notation scientifique. \end{enumerate} \item Développer et réduire : \[\text{H} = 3(x - 5) + 5x\qquad ;\qquad \text{J} = (x - 2)(x + 3)\] \item Résoudre les équations : $\bullet~8x - 5 = 3x + 2$ ; $\bullet~\dfrac{5}{2} = \dfrac{y}{3}$. \end{enumerate} \newpage \textbf{DEUXIÈME PARTIE\hfill 12 points} \textbf{Le candidat doit traiter au choix soit l'exercice A, soit l'exercice B.} \begin{center}\textbf{EXERCICE A : GéOMéTRIE} \textbf{LES CONSTRUCTIONS DEMANDéES SE FERONT SUR L'ANNEXE 1.} \end{center} \parbox{0.65\linewidth}{On donne la figure ci-contre. OA = OB = OM ; AB = 6cm ; BC = 9cm. Le triangle ABC est rectangle en B. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter cette figure sur l'annexe 1 à grandeur réelle, en respectant les cotes notées en cm. \item Indiquer l'échelle utilisée pour le dessin donné ci-contre (justifier votre réponse). \item Tracer la figure symétrique de la figure AMBCA par rapport à l'axe (BC). \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,5) \psarc(1,2){1}{180}{360} \psline(0,2)(2,2)(2,5)(0,2) \psline{<->}(0,.5)(2,.5) \psline{<->}(2.7,2)(2.7,5) \uput[d](1,.5){6} \uput[dr](1,1){M} \uput[l](0,2){A} \uput[u](1,2){O} \uput[r](2,2){B} \uput[r](2,5){C} \uput[l](2.7,3.5){9} \psline[linestyle=dotted](1,2)(1,1) \psframe(2,2)(1.8,2.2) \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item[\textbf{4.}] En utilisant la relation de Pythagore, calculer, en centimètre, la longueur réelle du segment [AC] (arrondir à 0,1). \item[\textbf{5.}] Calculer, en centimètre, le périmètre réel de la figure AMBCA (arrondir à 0,1 \item[\textbf{6.}] En utilisant $\tan \widehat{\text{BAC}}$, calculer, en degré, la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ (arrondir à l'unité). \item[\textbf{7.}] Tracer la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Passe-t-elle par le point O ? Justifier la réponse. \item[\textbf{8.}] Tracer la droite passant par O et parallèle à (AC). Elle coupe (BC) en D. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère AODC ? \item Calculer en cm$^2$, I*aire du triangle ABC. \item On admet que le point D est le milieu de [BC]. Calculer en cm$^2$ l'aire du triangle OBD. \item Calculer en cm$^2$ l'aire du quadrilatère AODC. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Formulaire : Périmètre du cercle :} $\pi \times$ D ; \hspace{2cm}\textbf{Aire du triangle :} $\dfrac{1}{2} \times b \times h$. \newpage \begin{center} \textbf{EXERCICE B : STATISTIQUES} \end{center} Dans un collège de 480 élèves, le bureau du foyer a procédé à deux enquêtes sur la totalité de la population scolaire. \textbf{Enquête 1 :} Temps consacré chaque semaine par les élèves à regarder la télévision : \begin{center} \begin{tabular}{| c | c |}\hline \textbf{Durée (en h)} & \textbf{Effectif :} $n$\\ \hline [0 ; 4[& 15\\ \hline [4 ; 8[& 60\\ \hline [8 ; 12[& 135\\ \hline [12 ; 20[& 150\\ \hline [20 ; 28]& 120\\ \hline \textbf{Total}& 480\\ \hline \end{tabular} \end{center} \textbf{Enquête 2 :} Les types de musique préférés par les élèves : \begin{center} \begin{tabular}{| c | c |}\hline \textbf{Type} & \textbf{Effectif}\\ \hline Rock& 120\\ \hline Rap/Raï & 110\\ \hline Techno & 80\\ \hline Variété française & 80\\ \hline Variété étrangère & 70\\ \hline Autre & 20\\ \hline Total & 480\\ \hline \end{tabular} \end{center} Répondre aux questions 1 et 2 sur l'annexe 2 (À REMETTRE AVEC LA COPIE) \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau 1 ; \item Calculer, en heure, la durée moyenne hebdomadaire. consacrée à regarder la télévision (arrondir à l'unité). \end{enumerate} \item Compléter le tableau 2. Répondre aux questions 3 et 4 sur l'annexe 3 (À REMETTRE AVEC LA COPIE) \item Représenter les résultats du tableau 2 par un diagramme circulaire (ne pas oublier la légende). \item Le prix moyen d'un CD a augmenté entre octobre 2001 et juin 2002. Prix du CD en octobre 2001 : 130 F ; Prix du CD en juin 2002 : 22 euros. 1 euro = 6,55957 F Calculer, en euro, le montant de l'augmentation (arrondir à 0,01). \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{TROISIÈME PARTIE \hfill 12 points} \textbf{À traiter obligatoirement} \end{center} Dans un atelier de découpe de cartons. on peut fabriquer trois modèles de surfaces S$_{1}$,~ S$_{2}$,~ et S$_{3}$ d'aires respectives A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$. Chaque modèle est défini par une (ou deux) cotes fixe(s) et une cote $x$ variable, voir schémas ci-dessous non à l'échelle (\textbf{les cotes sont en centimètre}). \begin{center} \psset{unit=0.705cm} \begin{pspicture}(17,4.5) \psline(0,0)(4,0)(4,1.6)(0,4.2)(0,0) \psline(6,0)(11,0)(6,2.3)(6,0) \psline(13,0)(16.5,0)(16.5,3.5)(13,3.5)(13,0) \psline{<->}(0,-0.4)(4,-0.4) \psline{<->}(-0.4,0)(-0.4,1.6) \psline{<->}(-0.4,1.6)(-0.4,4.2) \psline{<->}(6,-0.4)(11,-0.4) \psline{<->}(5.6,0)(5.6,2.3) \psline{<->}(13,-0.4)(16.5,-0.4) \psline{<->}(12.6,0)(12.6,3.5) \psline[linestyle=dotted](0,1.6)(4,1.6) \uput[d](2,-0.4){24} \uput[d](8.5,-0.4){30} \uput[d](14.75,-0.4){20} \uput[l](-0.4,0.8){10} \uput[l](-0.4,2.9){$x$} \uput[l](5.6,1.15){$x$} \uput[l](12.6,1.75){$x$} \psframe(0,0)(.3,.3) \psframe(4,0)(3.7,.3) \psframe(0,1.6)(.3,1.3) \psframe(6,0)(6.3,.3) \psframe(13,0)(13.3,.3) \psframe(16.5,0)(16.2,.3) \psframe(16.5,3.5)(16.2,3.2) \rput(2,1.4){S$_{1}$} \rput(8,1.1){S$_{2}$} \rput(14.75,1.7){S$_{3}$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,8cm} On sait que $x$ peut varier de 0 à 40. \medskip \begin{enumerate} \item Dans le cas où $x = 24$ calculer, en cm$^2$ les aires $\mathcal{A}_{1},~\mathcal{A}_{2}$ et $\mathcal{A}_{3}$ des surfaces S$_{1}$,~ S$_{2}$ et S$_{3}$. \textbf{RAPPEL :} aire du triangle $\dfrac{1}{2} \times b \times h$ ; aire du rectangle = longueur $\times$ largeur \item On donne les quatre fonctions $f,~ g,~ h$ et $k$ définies par : \[f(x) = 15x \quad ;\quad g(x) = 12x + 240 \quad ; \quad h(x) = 20x\quad ;\quad k(x) = 30x.\] Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous. Cocher les cases qui établissent la correspondance existant entre certaines de ces fonctions et les expressions des aires $\mathcal{A}_{1},~\mathcal{A}_{2}$ et $\mathcal{A}_{3}$. (une case a déjà été cochée et il n'y a qu'une croix par colonne) \[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{| l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & $\mathcal{A}_{1}$ & $\mathcal{A}_{2}$ & $\mathcal{A}_{3}$\\ \hline $f(x) = 15x$ & & $\times$ & \\ \hline $g(x) = 12 x + 240$ & & & \\ \hline $h(x) = 20x$ & & & \\ \hline $k(x) = 30x$ & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item Recopier et compléter le tableau de valeurs, ci-dessous \[\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{ |l | *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &18 &25 &40\\ \hline $f(x) = 15x$ & & & &\\ \hline $g(x) = 12 x + 240$ & & & & \\ \hline $h(x) = 20x$ & & & & \\ \hline \end{tabularx}\] \item La fonction $f$ définie par $f(x) = 15x$, pour $x$ variant de 0 à 40, est représentée graphiquement dans l'annexe \no 4. Sur cette annexe et dans le même repère, représenter graphiquement les fonctions $g$ et $h$ (pour $x$ variant de 0 à 40). \item \begin{enumerate} \item Lire graphiquement chacune des valeurs $f(x),~ g(x)$ et $h(x)$ pour $x = 24$ (faire apparaître les tracés qui permettent de lire ces valeurs). Noter les réponses sur votre copie. \item Comparer ces valeurs avec celles de $\mathcal{A}_{1},~\mathcal{A}_{2}$ et $\mathcal{A}_{3}$ obtenues à la question \textbf{1)}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle on a $g(x) = h(x)$. (Faire apparaître le tracé qui permet de lire cette valeur). \item Résoudre l'équation : $12 x + 240 = 20 x$. \item Comparer avec la valeur obtenue graphiquement. \item En déduire la cote $x$ pour laquelle ces surfaces S$_{1}$ et S$_{3}$ ont la même aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE \No 1 (À remettre avec la copie)} \end{center} \vspace{1cm} \begin{pspicture}(14,6) \psline(0,0)(5.8,0) \psline(0,-0.1)(0,0.1) \psline(5.8,-0.1)(5.8,0.1) \uput[ul](0,0){A} \uput[ur](5.8,0){B} \end{pspicture} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE \No 2 (À remettre avec la copie)} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{1.} Tableau 1 (Enquête 1) \textbf{a} \begin{center}\begin{tabular}{| c | c | c | c |}\hline \textbf{Durée (en h)} & Effectif $n$ & Centre de classe $x$ & Produit : $x \times n$\\\hline [0 ; 4[ & 15 & 2 &30\\ \hline [4 ; 8[ & 60 & & \\ \hline [8 ; 12[ & 135 & & \\ \hline [12 ; 20[ & 150 & & \\ \hline [20 ; 28[ & 120 & & \\ \hline Total & 480 & & \\\hline \end{tabular} \end{center} \textbf{b.} Calcul de la moyenne : \vspace{4cm} \textbf{2} Tableau 2 (Enquête 2) \begin{center} \begin{tabular}{| c | c | c | c |}\hline \textbf{Type} & Effectif & Fréquence en \% & Angle au centre en degré\\ & & (arrondi à l'unité) & (arrondi à l'unité)\\ \hline Rock & 120 & 25 & 90 \\ \hline Rap/Raï & 110 & & \\ \hline Techno & 80 & & \\ \hline Variété française & 80 & & \\ \hline Variété étrangère & 70 & & \\ \hline Autre & 20 & & \\ \hline Total & 480 & 100 & 360\\ \hline \end{tabular} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE \No 3 (À remettre avec la copie)} \end{center} \vspace{1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6.4,6.4) \pscircle(3.2,3.2){3.2} \psline(3.2,3.2)(6.4,3.2) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{4.} Solution de la question 4 \newpage \rotateright{ \vspace{0,5cm} \begin{pspicture}(22,16) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2] \rput(8,17){\textbf{ANNEXE \No 4 (À remettre avec la copie)}} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){2} \uput[d](5,0){10} \uput[d](10,0){20} \uput[d](15,0){30} \uput[d](20,0){40} \uput[d](22,0){$x$} \uput[l](0,1){50} \uput[l](0,4){200} \uput[l](0,8){400} \uput[l](0,12){600} \uput[l](0,16){800} \uput[l](0,15){$y$} \pstextpath[r](1mm,1mm){\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(20,12)}{$f(x) = 15x$} \end{pspicture}} %%%%%%% fin Bordeaux Brevet technologique \end{document}