\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl,pst-plot,pstricks-add} \usepackage{diagbox}%à mettre après pst-eucl !!! \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=2.5cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Année 2004}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small \textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Brevet des collèges 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges d'avril 2004 à mars 2005 \decofourright\\}} \vspace{0,5cm} Pour un accès direct cliquez sur les \textcolor{blue}{liens bleus.} \end{center} {\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry avril 2004} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2004} \dotfill 8 \medskip \hyperlink{Est2}{Groupement Est juin 2004} \dotfill 12 \medskip \hyperlink{Bordeaux}{Groupement Ouest juin 2004} \dotfill 17 \medskip \hyperlink{Nord2}{Groupement Nord juin 2004} \dotfill 21 \medskip \hyperlink{Polynesie}{Polynésie juin 2004} \dotfill 24 \medskip \hyperlink{Aix}{Groupement Sud juin 2004} \dotfill 27 \medskip \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane juin 2004} \dotfill 31 \medskip \hyperlink{EtrangerBordeaux}{Centres étrangers Bordeaux juin 2004}\dotfill 34 \medskip \hyperlink{EtrangerLyon}{Centres étrangers Lyon juin 2004}\dotfill 37 \medskip \hyperlink{EtrangerNice}{Centres étranger Nice juin 2004}\dotfill 41 \medskip \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2004} \dotfill 43 \medskip \hyperlink{Bordeauxsep}{Groupement Ouest septembre 2004} \dotfill 45 \medskip \hyperlink{Estsep}{Groupement Est septembre 2004} \dotfill 48 \medskip \hyperlink{Nordsep}{Groupement Nord septembre 2004} \dotfill 52\medskip \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie septembre 2004} \dotfill 55\medskip \hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre 2004}\dotfill 58 \medskip \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie novembre 2004} \dotfill 62 \medskip \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle--Calédonie mars 2005} \dotfill 65 \medskip} \newpage \newpage %%%%% Pondichéry avril 2004 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{avril 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry avril 2004~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} On pose : \[\text{A} = - \dfrac{12}{7} + \dfrac{2}{7} \div \dfrac{3}{5} \qquad \qquad \text{B} = \dfrac{15 \times \left(10^{-3}\right)^2}{6 \times 10^5 \times 10^3}\] \begin{enumerate} \item Exprimer A sous forme de fraction irréductible en indiquant toutes les étapes des calculs. \item Donner l'écriture scientifique de B en indiquant toutes les étapes des calculs. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne l'expression : $C = (x + 5)^2 - 7x(x + 5)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer, puis réduire $C$. \item Factoriser $C$. \item Résoudre l'équation $(x + 5) (- 6x + 5) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère les nombres suivants : D $ = \sqrt{63} \times 11 \sqrt{7} \times 2\sqrt{175}$ E $ = \sqrt{63} - 11\sqrt{7} + 2\sqrt{175}$ Écrire les nombres D et E sous la forme $p\sqrt{7}$, où $p$ est un nombre entier. \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip Déterminer le plus grand diviseur commun à \nombre{4464} et \nombre{5828} en faisant apparaître la méthode utilisée. \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{OAB un triangle rectangle en A. D appartient à la droite (OB) et C appartient à la droite (OA). On donne en millimètres : OC = 28 ; CD = 21 ; OD = 35 ; OA = 42 \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ODC est rectangle en C. \item Démontrer que les droites (DC) et (AB) sont parallèles. \item Calculer les longueurs OB et AB. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(6,5) \pspolygon(6,2.3)(6,0.9)(0.95,4)(0.9,2.9)%ABDC \uput[u](6,2.3){A} \uput[d](6,0.9){B} \uput[d](0.9,2.9){C} \uput[u](0.95,4){D} \uput[u](3.2,2.6){O} \pspolygon*(6,2.3)(6,2.05)(5.8,2.1)(5.8,2.35) \end{pspicture}} (La figure donnée n'est pas en vraie grandeur). \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Un cône a pour rayon de base OM $= 3$ cm et pour hauteur OS $= 14$ cm. \medskip \parbox{0.65\linewidth}{ \begin{enumerate} \item On appelle V le volume de ce cône en cm$^3$. Montrer que V $= 42 \pi$. \item Dans ce cône, on verse d'abord du chocolat fondu jusqu'au point O$'$, puis on complète avec de la crème glacée à la pistache jusqu'au point O. Le cône formé par le chocolat fondu, de volume V$'$ en cm$^3$, est une réduction du cône initial, de volume V en cm$^3$. Sachant que O$'$S vaut 3,5 cm, par quel calcul simple passe-t-on de OS à O$'$S ? de V à V$'$ ? En déduire la valeur de V$'$ en fonction de $\pi$. \item Quel est le pourcentage de chocolat fondu dans ce cône ? \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(4,6.8) \psline(0,5.7)(1.8,0.8)(3.6,5.7)\psline[linestyle=dotted](0,5.7)(3.6,5.7) \psline[linestyle=dotted](1.8,5.7)(1.8,0.8) \psline[linestyle=dotted](1.1,2.65)(2.5,2.65) \psellipse(1.8,5.7)(1.8,0.85) \psellipse[linestyle=dotted](1.8,2.65)(0.65,0.25) \uput[d](1.8,0.8){S} \uput[u](1.8,5.7){O}\uput[ur](1.8,2.65){O$'$} \uput[r](3.5,5.7){M} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le quadrillage fourni (Annexe 1), construire : \begin{enumerate} \item La figure F$_{2}$ image de la figure F$_{1}$ par la symétrie d'axe (AB). \item La figure F$_{3}$ image de la figure F$_{1}$ par la symétrie de centre A. \item La figure F$_{4}$ image de la figure F$_{3}$ par la symétrie de centre B. \end{enumerate} \item Quelle est la transformation qui permet de passer de la figure F$_{1}$ à la figure F$_{4}$ (on précisera les éléments caractéristiques) ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Ce problème est accompagné de deux tableaux à compléter sur la feuille \og Annexe 2 \fg{} fournie à joindre à votre copie. \bigskip \textbf{Première partie} \medskip Une association de jeunes dessinateurs décide de publier un livret présentant les œuvres de chacun de ses membres. Ils ont le choix entre les tarifs de deux imprimeurs : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] Tarif A : 2,4 ~\euro{} par exemplaire. \item[] Tarif B : 2,16~\euro{} par exemplaire auxquels on ajoute 30~\euro{} de frais de livraison. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle $x$ le nombre d'exemplaires imprimés. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau 1 sur la feuille \og Annexe 2 \fg. \item Écrire, en fonction de $x$, le prix payé pour le tarif A, puis pour le tarif B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal en plaçant l'origine en bas à gauche. Prendre \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 exemplaires \item sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 50 euros. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construire dans le repère précédent les représentations graphiques des fonctions suivantes : $p_{1} ~:~x \longmapsto 2,4x$ $p_{2} ~:~x \longmapsto 2,16x + 30$ \item Les deux représentations graphiques se coupent en un point M. Calculer les coordonnées de M. \item Déduire des questions 1. et 2. la condition pour laquelle le tarif B est le plus intéressant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie} \medskip Finalement, l'association a imprimé et vendu 240 exemplaires du livret de trois façons différentes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item par l'intermédiaire du site internet de l'association ; \item par l'intermédiaire d'un libraire ; \item par l'intermédiaire des membres de l'association. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le site internet de l'association a permis de vendre 30\:\% du total des livres imprimés, \item le libraire a vendu 60 exemplaires, \item le reste a été vendu par les membres de l'association, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} compléter le tableau 2 sur la feuille \og Annexe 2 \fg. \item Représenter sur la feuille \og Annexe 2 \fg la répartition des ventes du livret par un diagramme circulaire. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}} \vspace{3cm} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(20,20) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(20,20) \pspolygon[linewidth=1.5pt](2,7)(5,11)(2,11) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](9,8)(12,11) \uput[dr](3,8){F$_{1}$} \uput[ul](9,8){A} \uput[ul](12,11){B} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}} \vspace{2cm} \textbf{Tableau 1} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre d'exemplaires imprimés &50 & & \\ \hline Prix selon le tarif A en euros & & &540 \\ \hline Prix selon le tarif B en euros & &354 &\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1.5cm} \textbf{Tableau 2} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Intermédiaire &libraire &site internet &membres de l'association &Total \\ \hline Nombre d'exemplaires vendus &60 & & &240\\ \hline Pourcentage du total & &30 & &100\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1.5cm} \textbf{Diagramme circulaire (Troisième partie du problème - question 2) } \end{center} %%%%%%%%%% Fin Pondichéry avril 2004 \newpage %%%%%%%%%% Amérique du Nord juin 2004 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \lfoot{\small Amérique du Nord} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004 \decofourright\\[7pt] Amérique du Nord}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)} \end{center} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On considère le nombre : \[\text{A}=\frac17+\frac67\div\frac{12}{35}\] Calculer $A$ en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item On considère les nombres : \[\text{B} = \left(\sqrt{17}-1\right)\left(\sqrt{17}+1\right)\kern1cm C = \left(3-\sqrt7\right)^2\kern1cm \text{D} = \text{B} - \text{C}\] \begin{enumerate} \item Développer et réduire B et C. \item écrire D sous la forme $a\sqrt7$, où $a$ désigne un nombre entier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère les expressions : \[E = (4x + 5)(x - 2)- x(x + 4)\kern2cm F = (3x - 10)(x + 1)\] \begin{enumerate} \item En développant et réduisant $E$ et $F$, vérifier que $E = F$. \item En déduire les solutions de l'équation $E = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Deux amis ont fait des courses le même jour et à la même boulangerie. L'un a payé $5,85$~euros pour l'achat de 5 pains au chocolat et 3 croissants. L'autre a payé $3,65$~euros pour l'achat de 3 pains au chocolat et 2 croissants. \medskip \begin{enumerate} \item écrire un système d'équations traduisant ces données. \item En déduire le prix d'un pain au chocolat et celui d'un croissant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip Un fleuriste dispose de $126$~iris et $210$~roses. Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d'iris et le même nombre de roses. Justifier toutes les réponses aux questions ci-dessous. \begin{enumerate} \item Le fleuriste peut-il réaliser 15 bouquets ? \item Peut-il réaliser 14 bouquets ? \item \begin{enumerate} \item Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ? \item Donner la composition de chacun d'eux. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{pspicture}(13,8) \multido{\na=0+1}{8}{ \multido{\n=0+1}{13}{\qdisk(\n,\na){1pt}}} \psframe(1,6)(2,8) \psframe(3,7)(4,8) \psline(3,6)(3,7)(4,6) \psline(6,0)(6,8) \uput[r](6,7.7){$d$} \uput[r](3,3){A} \uput[r](0,3){C} \uput[l](3,8){E} \uput[l](3,6){B}\uput[r](6,3){I}\uput[r](11,2){D} \end{pspicture} \medskip Sur la figure ci-dessous, en commençant dans chaque cas par l'image du segment [BE], tracer : \begin{itemize} \item en bleu, l'image du mot \og OR\fg\ par la symétrie d'axe $(d)$; \item en rouge, l'image du mot \og OR\fg\ par la symétrie de centre I ; \item en noir, l'image du mot \og OR\fg\ par la translation qui transforme B en D ; \item en vert, l'image du mot \og OR\fg\ par la rotation de centre A qui transforme B en C. \end{itemize} \par{\em On évitera les tracés inutiles.} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip {\em La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.} Les points A, O, C sont alignés ainsi que les points B, O, D. \medskip \parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1.2cm} On suppose que : OA$=3$~cm ; AB~$ = 4$~cm ; OC~$=7,5$~cm; (AB) // (CD) ; $\widehat{DOC} = 65$~\degres.} \hfill \parbox{0.6\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3) \psline(0.3,0.3)(5.1,2.9) \psline(3.1,0)(3.45,3) \psline(0.2,0.5)(4.5,0.5) \psline(1.8,2.8)(5.2,2.8) \uput[ul](0.6,0.5){D}\uput[dr](3.2,0.5){C} \uput[ul](3.45,2){O} \uput[ul](3.6,2.8){A} \uput[ul](5,2.8){B} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer CD. \item La perpendiculaire à (BD) passant par C coupe (BD) en H. Calculer OH (arrondir au centième de cm). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \emph{La plan est muni d'un repère orthonormé} (O, I, J). \emph{L'unité de longueur est le centimètre} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le point A(5 ; 3). \item Par lecture graphique, donner les coordonnées de $\vect{\text{IA}}$. \item En déduire la distance IA. \end{enumerate} \item On considère le point B$(-1~;~\sqrt{21})$. \begin{enumerate} \item Prouver que A et B sont sur le cercle de centre I et de rayon 5. \item Tracer ce cercle et placer le point B. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le point C, symétrique de A par rapport à I. \item Prouver que le triangle ABC est rectangle en B. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} \bigskip \centerline{\bf Partie A} \medskip \parbox{0.6\textwidth}{ On a représenté ci-contre un cône $C_1$ qui a pour base un disque de centre O et de rayon $7$~cm, pour sommet le point $S$ et pour hauteur $14$~cm. \begin{enumerate} \item Prouver que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume ${\cal V}_1$ du cône $C_1$ est $\dfrac{686\pi}3$. {\em Rappel} : \[\mbox{Volume d'un cône}=\frac{\mbox{aire de sa base}\times\mbox{sa hauteur}}3\] \end{enumerate} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item O$'$ est le point de [OS] tel que OO$' = 8$~cm. On a coupé le cône $C_1$ par un plan parallèle à sa base et passant par O$'$. La section obtenue est un disque de centre O$'$, réduction du disque de base. Prouver que le rayon de ce disque est $3$~cm. \item On appelle $C_2$ le cône de sommet S qui a pour base le disque de centre O$'$ et de rayon $3$~cm. Prouver que la valeur exacte, en cm$^3$, du volume ${\cal V}_2$ du cône $C_2$ est $18\pi$. \item En enlevant le cône $C_2$ du cône $C_1$, on obtient un tronc de cône de hauteur 8~cm.\\Calculer la valeur exacte de son volume en cm$^3$. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,0)(4,6) \psline(0,4.5)(2,0)(4,4.5) \psellipse(2,1.65)(0.7,0.35) \psellipse(2,4.6)(2,0.725) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2,4.6)(2,1.65) \uput[l](2,4.6){O} \uput[l](2,1.65){O$'$} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4.6) \end{pspicture}} \centerline{\bf Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Un premier récipient a la forme du tronc de cône décrit ci-dessus et repose sur sa base de rayon 3~cm.\par On désigne par $x$ la hauteur, en cm, du liquide qu'il contient ; on admet que le volume ${\cal V}(x)$ de ce liquide, en cm$^3$, est $18\pi\left[\left(1+\dfrac{x}6\right)^3-1\right]$. \par On a représenté graphiquement, ci-après, ce volume en fonction de la hauteur $x$ (sur l'axe des ordonnées, $1$~cm représente $50$~cm$^3$). \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de ${\cal V}(6)$. \item Prouver que ${\cal V}(6)=18\pi\times7$, puis trouver la valeur de ${\cal V}(6)$ arrondie au cm$^3$. \end{enumerate} \item Un deuxième récipient a la forme d'un cylindre de hauteur 8~cm; ses bases ont pour rayon 5~cm. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de son volume, en cm$^3$. \item En appelant $x$ la hauteur, en cm, du liquide qu'il contient, prouver que le volume de ce liquide, en cm$^3$, est $25\pi x$. \item Soit $f$ la fonction linéaire : $x\mapsto25\pi x$. Représenter graphiquement la fonction $f$ dans le repère ci-dessus pour $0\leqslant x \leqslant 8$. {\em Rappel}: sur l'axe des ordonnées, 1 carreau représente $50$~cm$^3$. \end{enumerate} \item Les deux représentations graphiques se coupent en un point $M$. \begin{enumerate} \item Son abscisse $x_M$ est comprise entre deux nombres entiers consécutifs : donner ces deux nombres par lecture graphique. \item Son ordonnée $y_M$ est comprise entre deux multiples de 50 consécutifs : donner ces deux nombres par lecture graphique. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que les deux récipients contiennent la même hauteur $x$ de liquide. Pour quelles valeurs de $x$ le tronc de cône contient-il plus de liquide que le cylindre ? \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Amérique du Nord juin 2004 \newpage %%%%%%%%%% Est juin 2004 \hypertarget{Est2}{} \lfoot{\small{Groupement Est}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\[7pt] Groupement Est}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)} \end{center} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Soient les expressions A$ = \dfrac{9}{5} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{11}{4}$ et B $ = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{27} + \sqrt{75}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer A en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item Calculer et écrire B sous la forme $a \cdot \sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, $b$ étant un nombre positif le plus petit possible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression $C = (2x - 1)^2 +(2x-1)(x+5)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $C$. \item Factoriser l'expression $C$. \item Résoudre l'équation $(2x - 1)(3x +4) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Les nombres $682$ et $352$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier. \item Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de $682$ et $352$. \item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{682}{352}$ en indiquant clairement la méthode utilisée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les élèves d'une classe de $3$\up{e}. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.75cm}\begin{pspicture}(12,8) \multido{\n=0+1}{9}{\psline(0,\n)(12,\n)} \multido{\n=0+1}{9}{\uput[l](0,\n){\n}} \uput[d](1,0){8} \uput[d](2.5,0){9} \uput[d](4,0){10} \uput[d](5.5,0){11} \uput[d](7,0){12} \uput[d](8.5,0){13} \uput[d](10,0){14} \uput[d](11.5,0){15} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1.5,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(4.5,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.5,0)(7.5,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(9,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.5,0)(10.5,7) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11,0)(12,2) \rput{90}(-1,4){effectifs} \uput[d](11.5,-1){notes} \psline(0,0)(0,8) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,4cm} \begin{enumerate} \item Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ? \item Quelle est la note moyenne de la classe à ce contrôle ? \item Quelle est la note médiane ? \item Quelle est l'étendue de cette série de notes ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Les segments [CA] et [UI] se coupent en M. On a : MO = 21, MA = 27, MU = 28, MI = 36, AI = 45 (l'unité de longueur étant le millimètre). \vspace{0,25cm} \parbox[l]{0.45\textwidth}{\begin{enumerate}\item Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.\\ \item Calculer la longueur OU. \item Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle. \item Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{AIM}}$. \item Montrer que les angles $\widehat{\text{MAI}}$ et $\widehat{\text{MOU}}$ ont la même mesure. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\textwidth}{\begin{pspicture}(3.6,4) \pspolygon(0.5,0)(3.2,3.5)(0,3.5)(4.55,0)%AOUI \uput[r](2,2){M} \uput[l](0.5,0){A} \uput[u](3.2,3.5){O} \uput[u](0,3.5){U} \uput[r](4.55,0){I} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Sur la figure annexe que vous devrez rendre avec la copie, on considère la figure $\mathcal{F}$. \medskip \begin{enumerate} \item Construire \begin{enumerate} \item la figure $\mathcal{F}_{1}$, image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie centrale de centre B (nommer E l'image de A). \item la figure $\mathcal{F}_{2}$, image de la figure $\mathcal{F}_{1}$ par la symétrie centrale de centre C (nommer T l'image de E). On hachurera, sur le dessin, les figures $\mathcal{F}_{1}$ et $\mathcal{F}_{2}$ ainsi obtenues. \end{enumerate} \item Quelle transformation permet de passer directement de la figure $\mathcal{F}$ à $\mathcal{F}_{2}$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip La balise ci-contre est formée d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de sommet A. Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône et le point O est le centre de cette base. On donne AO = BC = 6 dm. \medskip \parbox[l]{0.42\textwidth}{ \begin{enumerate}\item Montrer que : AB = $3\sqrt{5}$ dm. \item Dans cette question, on se propose de calculer des volumes. \begin{enumerate}\item Calculer en fonction de $\pi$ le volume du cône (on donnera la valeur exacte de ce volume). \item Calculer en fonction de $\pi$ le volume de la demi-boule (on donnera la valeur exacte de ce volume). \item Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner la valeur arrondie à 0,1 dm$^3$ près. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.8,0)(4,7.3) \psarc(2,2){2cm}{180}{360} \psline(0,2)(2,6)(4,2) \psline[linestyle=dotted](0,2)(4,2) \psline[linestyle=dotted](2,2)(2,6) \psellipse(2,2)(2,0.75) \psline(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,2) \psline(2,6)(2,7.2) \psframe*(2,7.2)(3,6.8) \uput[ul](2,6){A} \uput[l](0,2){B} \uput[r](4,2){C} \uput[d](2,2){O} \end{pspicture}} \medskip \textbf{On rappelle que} si $V$ est le volume d'une boule de rayon $R,~ V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3$. \textbf{On rappelle que} si $V$ est le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$, $V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 4 cm. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Construire ce triangle. \item Placer le point M sur le segment [AB] tel que BM~=~3,5~cm et tracer la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (AB) ; elle coupe le segment [BC] en E. \begin{enumerate} \item Calculer AM. \item Démontrer que les droites (AC) et (ME) sont parallèles. \item Calculer EM (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). \item Le triangle AEM est-il un triangle isocèle en M ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On souhaite placer le point $M$ sur le segment [AB] de façon à ce que le triangle AE$M$ soit isocèle en $M$ comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire. On rappelle que : AB = 6 cm et AC = 4 cm. Les droites ($M$E) et (AB) sont perpendiculaires. \parbox[l]{0.4\textwidth}{\textbf{1.} On pose B$M = x$ (on a donc : $0 \leqslant x \leqslant 6$). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que $M$E = $\dfrac{2}{3}x$. \textbf{2.} Première résolution du problème posé. \textbf{a.} Montrer que $M$A = $6 - x$. \textbf{b.} Calculer $x$ pour que le triangle A$M$E soit isocèle en $M$.} \hfill \parbox[l]{0.55\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3.5) \pspolygon(0,0)(4.8,0)(0,3.2)(0,0)(1.4,2.3)(1.4,0)%ABCAEM \uput[d](0,0){A} \uput[ur](4.8,0){B} \uput[u](0,3.2){C} \uput[ur](1.4,2.3){E} \uput[d](1.4,0){$M$} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{3.} Soit un repère orthogonal avec pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Représenter, dans ce repère, les fonctions $f$ et $g$ définies par : \[f(x) = \dfrac{2}{3}x \qquad \text{et} \qquad g(x) = 6 - x, \qquad \text{pour}\qquad 0 \leqslant x \leqslant 6.\] \item[\textbf{b.}] En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2 b}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ Feuille annexe à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{Activités géométriques} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \vspace{1cm}\psset{unit=4.5mm}\begin{pspicture}(26,18) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1] \pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](7,7)(7,9)(9,9)(10,7) \psline(12.9,11.1)(13.1,10.9) \psline(12.9,10.9)(13.1,11.1) \psline(17.9,8.1)(18.1,7.9) \psline(17.9,7.9)(18.1,8.1) \uput[dl](7,7){A} \uput[ul](13,11){B} \uput[dr](18,8){C} \rput(8.5,8){$\mathcal{F}$} \end{pspicture}\end{center} %%%%%%%%%%% Fin Est 2004 \newpage %%%%%%%%%%% Bordeaux juin 2004 \hypertarget{Bordeaux}{} \lfoot{\small{Groupement Bordeaux}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\[7pt] Groupement Ouest\footnote{Bordeaux}}} \end{center} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)} \end{center} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d'un nombre entier. Les calculs intermédiaires figureront sur la copie. A = $\dfrac{ 96\times 10^{-4} \times 5\times10^{-2}}{3\times 10^{-1} \times 2 \times 10^{-6}}$ B = $11 : \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{2}\right)$ C = $\left(2\sqrt{3} - 3\right)\left(2\sqrt{3} +3\right)$. \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression $D = (x - 2 )^2 - 2(x - 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(x - 2 ) (x -4 ) = 0$. \item Développer et réduire $D$. \item Calculer $D$ pour $x =1$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c r} 5x + 2y &=&12\\ x+2y&=&8\\ \end{array}\right.$ \item Montrer que le couple (1 ; 3,5) est solution du système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c r} 10x + 4y &=& 24\\ 3x+6y&=&24\\ \end{array}\right.\] \item Un artisan fabrique des perles noires et des perles dorées. Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros. Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est vendu également 24 euros. Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm. \item Prouver que le triangle EFG est rectangle en E. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{F}}$. Le résultat sera arrondi au degré près. \item Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en $M$. \item Calculer la valeur exacte de B$M$, puis en donner l'arrondi au mm près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère la pyramide régulière OABCD. La base ABCD est un carré. H est le point d'intersection des diagonales [BD] et [AC]. On sait que la hauteur [OH] mesure 4 cm. \begin{center} \begin{pspicture}(7,5) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](4.3,0){B} \uput[ur](6.5,1.3){C} \uput[ul](2.2,1.2){D} \uput[d](3.3,0.6){H} \uput[u](3.3,4.8){O} \psline(0,0)(4.3,0)(6.5,1.3)(3.3,4.8)(4.3,0)%ABCOB \psline(0,0)(3.3,4.8)%AO \psline[linestyle=dashed](6.5,1.3)(2.2,1.2)%CD \psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,1.3)%AC \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.2,1.2)(3.3,4.8)(3.3,0.6)%ADOH \psline[linestyle=dashed](4.3,0)(2.2,1.2)%BD \psline[linestyle=dashed](3.2,1)(2.7,0.9)(2.7,0.55) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Sachant que le volume de la pyramide est égal à 24 cm$^3$, montrer que l'aire de la base est égale à 18 cm$^2$. \item En déduire que le côté [AB] du carré ABCD mesure $3\sqrt{2}$ cm. \item Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré ABCD. \item Calculer l'aire du triangle AOC. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité choisie est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A(2 ; 2), B$(-4~;~ 5)$ et C$(-4 ~;~ -2)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que AC est égale à $\sqrt{52}$ cm. \item Calculer BC. \item Le triangle ABC est-il isocèle en C ? Justifier. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construire le milieu K du segment [AB]. \item La droite (CK) est-elle la médiatrice du segment [AB] ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip On considère un trapèze ABCE rectangle en B et C. On donne AB = 5 cm et BC = 6 cm. La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Le point D se trouve sur le segment [EC] de telle sorte que ABCD soit un rectangle. \begin{center} \begin{pspicture}(6.5,5) \pspolygon(2.2,4.2)(5.7,4.2)(5.7,0)(0,0)%ABCE \psline[linestyle=dashed](2.2,4.2)(2.2,0)%AD \psline(2.2,0.4)(2.6,0.4)(2.6,0) \psline(5.3,0)(5.3,0.4)(5.7,0.4) \psline(5.3,4.2)(5.3,3.8)(5.7,3.8) \uput[ul](2.2,4.2){A} \uput[ur](5.7,4.2){B} \uput[dr](5.7,0){C} \uput[dl](0,0){E} \uput[d](2.2,0){D} \uput[u](3.95,4.2){5 cm} \rput{90}(5.9,2.1){6 cm} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Dans cette partie, ED = 3 cm.} \medskip \begin{enumerate} \item Faire une figure aux dimensions exactes. \item Calculer l'aire du rectangle ABCD. \item Calculer l'aire du triangle rectangle ADE. \item Montrer que l'aire du trapèze ABCE est égale à 39 cm$^2$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Dans cette partie, on ne connaît pas la longueur ED. On note ED = } \boldmath $x$ \unboldmath \textbf{(en cm). On rappelle que AB = 5 cm et BC = 6 cm.} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire du trapèze ABCE, en cm$^2$, peut s'écrire $3x + 30$. \item Sur le repère en annexe, représenter la fonction affine $x \longmapsto 3x + 30$. \item Par lecture graphique, trouver la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du trapèze ABCE est égale à 36 cm$^2$. Faire apparaître les traits justificatifs en pointillés sur le graphique. \item Retrouver ce résultat en résolvant une équation. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe au problème, à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{2cm} \psset{xunit=1.46cm,yunit=0.26cm} \begin{pspicture}(8,72) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(8,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,72) \multido{\n=0+0.5}{17}{\psline(\n,0)(\n,72)} \multido{\n=0+3}{25}{\psline(0,\n)(8,\n)} \uput[d](0.5,0){0,5} \uput[d](1,0){1} \uput[d](7.75,0){$x$} \uput[l](0,3){3} \uput[l](0,71.5){$y$} \end{pspicture} %%%%%%%%%% Fin Bordeaux juin 2004 \newpage %%%%%%%%%% Nord juin 2004 \hypertarget{Nord2}{} \lfoot{\small{Groupe Nord}} \rfoot{\small{juin 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} \Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Nord juin 2004 \decofourright}} \vspace{0,25cm} \normalsize{} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : \[\text{A}=\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3} \times \dfrac{8}{21}.\] \item écrire B sous la forme $a\sqrt2$, où $a$ est un nombre entier : \[\text{B} =\sqrt{50}-2\sqrt{18}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On donne l'expression $A = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(5x - 7)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $A$. \item Factoriser l'expression $A$. \item Résoudre l'équation $(2x+3)(7x-4)=0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : \[\left\{\begin{array}{lc r} x+2y&=&76\\ 4x+y&=&115\\ \end{array} \right. \] \item Le responsable du CDI d'un collège voudrait renouveler le stock d'atlas et de dictionnaires. Au 1\up{er} trimestre, il commande 1 atlas et 2 dictionnaires. La facture est de 76~\euro. Au 2\up{e} trimestre, les prix n'ont pas changé, il commande 4 atlas et 1 dictionnaire. La facture est de 115~\euro. \par Quel est le prix d'un atlas ? Quel est le prix d'un dictionnaire ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip Après un contrôle, les notes de 25 élèves ont été regroupées dans le tableau ci-dessous : \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \text{Notes} $n$&$0\leqslant n<4$&$4\leqslant n<8$&$8\leqslant n<12$&$12\leqslant n<16$&$16\leqslant n<20$\\\hline \text{Nombre d'élèves}&1&6&7&&3\\\hline \end{tabularx}} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau en indiquant le nombre d'élèves ayant obtenu une note comprise entre 12 et 16 (16 exclu). \item Combien d'élèves ont obtenu moins de 12 ? \item Combien d'élèves ont obtenu au moins 8 ? \item Quel est le pourcentage des élèves qui ont obtenu une note comprise entre 8 et 12 (12 exclu) ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer sur la copie un segment [EF] de longueur 7\,cm et de milieu O. Tracer le cercle de diamètre [EF] puis placer un point G sur le cercle tel que $\widehat{\text{FEG}}=26$~\degres. \item Démontrer que le triangle EFG est rectangle en G. \item Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{GOF}}$ (justifier votre réponse). \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip \parbox{0.6\textwidth}{On considère un cône de révolution semblable à celui représenté ci-contre avec AO~=~2~cm et BO = 3~cm. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur de la génératrice [AB] : donner en cm la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. \item Calculer le volume du cône : donner en cm$^3$ la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,3.5) \psellipse(2.2,1.75)(0.4,1.75) \psline[linestyle=dashed](0.5,1.75)(2.2,1.75)(2.2,3.5) \psline(2.1,0.1)(0.5,1.75)(2.1,3.4) \psline(2,1.75)(2,1.95)(2.2,1.95) \uput[l](0.5,1.75){A} \uput[d](2.2,1.75){O} \uput[u](2.2,3.5){B} \end{pspicture}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip La figure ci-dessous donne le schéma d'une table à repasser. Le segment [AD] représente la planche. Les segments [AB] et [EC] représentent les pieds. Les droites (AB) et (EC) se coupent en O. \medskip \parbox{0.25\textwidth}{On donne : AD = 125\,cm AC = 100\,cm OA = 60\,cm OB = 72\,cm OE = 60\,cm OC = 50\,cm} \hfill \parbox{0.7\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6.5,3.5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,0) \psline[linewidth=1.8pt](0,3.2)(5.6,3.2) \psline(0.3,0)(4.4,3.2) \psline(5.6,0)(0,3.2) \uput[ul](0,3.2){A} \uput[u](4.4,3.2){C} \uput[ur](5.6,3.2){D} \uput[u](2.6,1.8){O} \uput[d](0.3,0){E} \uput[d](5.6,0){B} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \vspace{0,5cm} \item Montrer que la droite (AC) est parallèle à la droite (EB). \item Calculer l'écartement EB en cm. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip Dans un repère orthonormal (O ; I, J), on considère les points A$(-4~;~3)$, B$(3~;~2)$ et C$(1~;~-2)$. L'unité graphique est le centimètre. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C dans le repère (O; I, J) joint. \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur AB. \item On admet que le calcul donne AC $=\sqrt{50}$ et BC $=\sqrt{20}$. Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ? \end{enumerate} \item Soit H le milieu du segment [BC]. Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (2 ; 0). \item Pourquoi le segment [AH] est-il une hauteur du triangle ABC ? \item \begin{enumerate} \item Prouver que AH = $3\sqrt5$. \item Calculer l'aire du triangle ABC. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$. \item Le point D est l'image du point B par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. \begin{enumerate} \item Placer le point D. \item Montrer par le calcul que D a pour coordonnées $(8~;~- 3)$. \end{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ? Justifier. \end{enumerate} %%%%%%%%%% Fin Nord juin 2004 \newpage %%%%%%%%%% Polynésie juin 2004 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 2004} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie juin 2004~\decofourright}}}\end{center} \vspace{0,5cm} \normalsize{} \textbf{Activités numériques \hfill 12 points} \textit{Tous les exercices sont indépendants} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Le détail des calculs devra apparaître sur la copie. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \[\text{A} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \times \dfrac{7}{3}.\] \item Calculer le nombre C en donnant le résultat sous la forme scientifique. \[\text{C} = \dfrac{10^{-8} \times 42 \times 10^{12}}{7 \times 10^5}.\] \item écrire le nombre D sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier. \[\text{D} = 3\sqrt{20} - \sqrt{45}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le PGCD des nombres $1\:470$ et $2\:310$. \item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{1\:470}{2\:310}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère l'expression $E = (2x + 3)^2 + (x - 1) (2x + 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer cette expression $E$. \item Calculer cette expression $E$ pour $x = - 2$. \item Factoriser cette expression $E$. \item Résoudre l'équation : $(2x + 3)(3x + 2) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système ci-dessous : \[\left\{\begin{array}{l c r} x + y &=& 800\\ 3x + 5y& = &\nombre{2920}\\ \end{array}\right.\] \item Un jeune homme va déjeuner au fast-food. Il prend un hamburger, une boisson gazeuse et doit payer 800 F. À la table voisine, pour une consommation de 3 hamburgers et de 5 boissons gazeuses, le montant de la facture s'élève à \nombre{2920}~F. Déterminer le prix d'une boisson gazeuse ainsi que le prix d'un hamburger. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox[l]{0.4\textwidth}{[AH] est la hauteur issue du sommet A d'un triangle ABC. \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAH}}$. On donnera une valeur arrondie au degré près. \item Calculer la longueur HC. On donnera une valeur arrondie au millimètre. \end{enumerate} } \hfill \parbox[l]{0.55\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5) \psline(2.5,4.2)(0.3,0.4)(5,0)(2.5,4.2)(2.2,0.22) \uput[ur](2.5,4.2){A} \uput[l](0.3,0.4){B} \uput[r](5,0){C} \uput[d](2.2,0.22){H} \psarc(2.5,4.2){0.8}{-93}{-57} \rput(2.8,3){$40~\degres$} \rput{64}(1.2,2.3){8 cm} \rput{83}(2,2){5 cm} \end{pspicture}} \vspace{0,3cm} (Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) \bigskip \textbf{Exercice 2} \vspace{0,3cm} \parbox[l]{0.35\textwidth}{Deux droites (PB) et (RC) sont sécantes en un point A. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.\\ \item Calculer la longueur RP.\end{enumerate} } \hfill \parbox[l]{0.62\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7.3,3) \psline(1.1,0.8)(7.3,1.6)%PB \psline(2,1.9)(6,0)%RC \psline(1.1,0.8)(2,1.9)%PR \psline(6,0)(7.3,1.6)%CB \rput(2.8,1.8){6 cm} \rput(5.2,1.6){35 cm} \rput(2.2,0.6){7,5 cm} \rput(4.6,0.2){28 cm} \uput[l](1.1,0.8){P} \uput[u](2,1.9){R} \uput[r](7.3,1.6){B} \uput[d](6,0){C} \uput[r](6.6,0.8){21 cm} \end{pspicture}} (Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) \begin{center} \textbf{À détacher et à rendre avec la copie} \end{center} \bigskip \textbf{Problème \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le repère orthonormé ci-dessous, placer les points A$(7~;~-7)$ et B(17~;~17). \item Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [AB]. \item Calculer les longueurs IA, IB et IO. En déduire que les points A, B et O sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. \item Tracer le cercle de diamètre [AB]. \item Démontrer que le triangle BOA est rectangle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point C image du point O par la symétrie de centre I. \item Démontrer que le quadrilatère BOAC est un rectangle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item Placer le point D image du point A par la rotation de centre I, dans le sens des aiguilles d'une montre et d'angle $90~\degres$. \item Donner par lecture graphique, les coordonnées du point D. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$ . \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=3mm} \begin{pspicture}(-7,-9)(32,20) \psgrid[griddots=10,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,0)(-7,-9)(32,20) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-7,0)(32,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-9)(0,20) \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \psline(1,-0.2)(1,0.2) \psline(-0.2,1)(0.2,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%% Fin Polynésie juin 2004 \newpage %%%%%%%%% Aix-Corse juin 2004 \hypertarget{Aix}{} \lfoot{\small{Aix-Marseille}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004 \decofourright\\[7pt]Groupement Sud\footnote{ Aix - Corse - Marseille - Montpellier - Nice - Toulouse}}} \vspace{0,5cm} Calculatrice autorisée \hfill 2 heures \vspace{0,25cm} \textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)} \end{center} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On donne A $ = \dfrac{3}{7} - \dfrac{15}{7} + \dfrac{5}{24}$. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item On donne B $ = \sqrt{300} - 4 \sqrt{27} + 6\sqrt{3}$. C $= \left(5 + \sqrt{3}\right)^2$ D $= \left(\sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2} - \sqrt{5}\right)$. \begin{enumerate} \item écrire B sous la forme $b\sqrt{3}$ où $b$ est un nombre entier. \item écrire C sous la forme $e + f\sqrt{3}$ avec $e$ et $f$ entiers. \item Montrer que D est un nombre entier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne $E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ pour $x = - 2$. \item Résoudre l'équation $(2x - 3)(x - 3) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Une station de ski réalise une enquête auprès de 300 skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l'enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années) : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Âge & [0 ; 10[& [10 ; 20[& [20 ; 30[& [30 ; 40[& [40 ; 50[\\ \hline Centre de classe & 5 & \ldots & \ldots& \ldots& \ldots\\ \hline Effectifs &27&45&48&39&42\\ \hline \hline Âge& [50 ; 60[& [60 ; 70[& [70 ; 80[& [80 ; 90[&\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-5} Centre de classe& \ldots & \ldots& \ldots& \ldots&\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-5} Effectifs &36&33&24&6&\multicolumn{1}{c}{}\\\cline{1-5} \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau ci-dessus (annexe 1 de votre sujet) en indiquant le centre de chaque classe d'âge. \item Calculer l'âge moyen des skieurs fréquentant cette station. \item Quelle est la fréquence, en pourcentage, de skieurs ayant un âge strictement inférieur à 20 ans ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère le pavé droit ABCDEFGH représenté ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,4) \psframe(4.5,2.8) \psline(0,2.8)(0.9,3.7)(5.4,3.7)(4.5,2.8)%ABCD \psline(4.5,0)(5.4,0.9)(5.4,3.7)%HGC \psline(0,2.8)(5.4,3.7)%AC \psline[linestyle=dotted](0,0)(5.4,0.9)%EG \psline[linestyle=dotted](5.4,0.9)(0.9,0.9)(0.9,3.7)%GFB \psline[linestyle=dotted](0.9,0.9)(0,0)%FE \uput[l](0,2.8){A} \uput[ul](0.9,3.7){B} \uput[ur](5.4,3.7){C} \uput[dr](4.5,2.8){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[ur](0.9,0.9){F} \uput[r](5.4,0.9){G} \uput[dr](4.5,0){H} \end{pspicture} \end{center} Observer la figure et compléter le tableau ci-dessous (annexe 1 de votre sujet). Sans justification. \begin{center} \begin{tabular}{|| l|| c ||}\hline OBJET& NATURE DE L'OBJET\\ \hline \hline Triangle ABC& \\ \hline \hline Angle $\widehat{\text{ABF}}$&\\ \hline \hline Quadrilatère ABFE & \\ \hline \hline Angle $\widehat{\text{ACG}}$& \\ \hline \hline Quadrilatère ACGE & \\ \hline \hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,3) \pspolygon(0,0)(5.7,0)(0,2.8)%CED \psline(2.6,0)(0,1.2)%AB \uput[dl](0,0){C} \uput[d](5.7,0){E} \uput[ul](0,2.8){D} \uput[l](0,1.2){B} \uput[d](2.6,0){A} \end{pspicture} \end{center} \medskip Dans le triangle CDE : A est un point du segment [CE] ; B est un point du segment [CD]. Sur le schéma ci-dessus, les longueurs représentées ne sont pas exactes. On donne AC = 8 cm ; CE = 20 cm ; BC = 6 cm ; CD = 15 cm et DE = 25 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. \item Le triangle CDE est-il rectangle ? Justifier. \item Calculer AB. \item Calculer la valeur arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{CDE}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On considère un triangle MNP rectangle en M. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le schéma suivant (annexe 1 de votre sujet) tracer l'image F$_{1}$ de ce triangle MNP par la rotation de centre P et d'angle 90\degre dans le sens indiqué par la flèche. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,4) \pspolygon(0,0)(4,0)(0,4) \uput[dl](0,0){M} \uput[dr](4,0){P} \uput[ul](0,4){N} \psarc{<-}(4,0){1.cm}{-60}{30} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,9cm} \item Tracer l'image F$_{2}$ du triangle MNP dans la translation de vecteur $\vect{\text{PM}}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip On donne les figures suivantes : \bigskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.5) \psframe(6,2.5) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,2.6)(6,2.6) \uput[u](3,2.6){$x$ cm} \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(6.1,0)(6.1,2.5) \rput{90}(6.3,1.25){4cm} \uput[ul](0,2.6){A} \uput[ur](6,2.5){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){D} \end{pspicture}\end{center} \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,2.5) \psframe(6,2.5) \psline(6,2.5)(9,0)(6,0) \psline{<->}(-0.1,0)(-0.1,2.5) \rput{90}(-0.3,1.25){2 cm} \psline{<->}(0,-0.1)(6,-0.1) \uput[d](3,-0.1){$x$ cm} \psline{<->}(6,-0.1)(9,-0.1) \uput[d](7.5,-0.1){3 cm} \uput[ul](0,2.6){E} \uput[ur](6,2.5){F} \uput[dl](0,0){H} \uput[dr](9,0){G} \end{pspicture}\end{center} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}_{\text{ABCD}}$ du rectangle ABCD. \item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}_{\text{EFGH}}$ du quadrilatère EFGH. \item Dans le repère orthonormal ci-dessous (annexe 2 de votre sujet), tracer en justifiant \begin{itemize} \item la représentation graphique (d) de la fonction $f$ définie par : $x \longmapsto 4x$ ; \item la représentation graphique (d$'$) de la fonction $g$ définie par : $x \longmapsto 2x +3$. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=5mm}\begin{pspicture}(18,20) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2] \psline[linewidth=2pt]{->}(18,0) \psline[linewidth=2pt]{->}(0,20) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](17,0){$x$} \uput[l](0,19){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du rectangle ABCD pour $x = 3$. \item Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $x$ pour que l'aire du quadrilatère EFGH soit égale à 15 cm$^2$. \item Retrouver ce résultat sur le graphique (on laissera apparents les traits nécessaires). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'équation : $4x = 2x + 3$. \item Retrouver ce résultat en résolvant l'équation : $4x = 2x + 3$ \item Comment interpréter ce résultat pour le rectangle ABCD et le quadrilatère EFGH ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% Fin Aix-Corse juin 2004 \newpage %%%%%%%%%% Antilles-Guyane juin 2004 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\[7pt]Antilles-Guyane} }\end{center} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. En plus des 36 points du barème, 4 points sont réservés à la rédaction et à la présentation. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 3,5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{7} \times \dfrac{1}{4}$. \item Soit A $= 3 - \sqrt{2}$ et B $= 3 + \sqrt{2}$. Calculer le produit AB. \item Soit C $=6\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{27}$. écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip On donne l'expression $D = (3x + 5)(6x - 1) + (3x + 5)^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer $D$, puis réduire. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(3x + 5)(9x + 4) = 0$. \item Calculer $D$ pour $x = - \dfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 3,5 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne la répartition, selon la surface en m$^2$, des magasins d'un centre commercial. L'effectif total est de 67. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Surface d'un magasin en m$^2$ &65 &66 &69 &74 &81\\ \hline Effectif &13 &22 &17 & &6\\ \hline Fréquence & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera les fréquences en pourcentage arrondi au dixième près. \item Quel est le pourcentage de magasins dont la superficie est inférieure ou égale à 69 m$^2$ ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} ABC est un triangle tel que AB = 12 cm ; AC = 5 cm et BC = 13 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Construire la figure en vraie grandeur. \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. \item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ et déterminer la valeur de cet angle au degré près. \item M est le point de [AC] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB] tel que AN~=~7,2~cm. \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. \item Calculer la distance MN. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). \begin{center}\psset{unit=1cm} \psset{PtNameMath=false} \begin{pspicture}(-7,-4)(4,3) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-7,-4)(4,3) \psline[linewidth=1.5pt](-7,0)(4,0) \psline[linewidth=1.5pt](0,-4)(0,3) \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](0,0){O} \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](1,0){I} \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](0,1){J} \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](3,2){A} \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](-2,2){B} \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](-6,-3){C} \pstGeonode[PointSymbol=o,PosAngle=135](-1,-3){D} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les coordonnées des points A, B, C et D. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CB}}$. \item Calculer la distance CB. \item Calculer les coordonnées de E, milieu de [BD]. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \bigskip Une société de service d'accès à internet propose deux formules \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Formule A : l'accès à internet est gratuit et on ne paye que les communications, soit 2~\euro{} par heure. \item[$\bullet~$] Formule B : avec un abonnement de 3,50~\euro{} par mois, le prix des communications est de 1,80~\euro{} par heure \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous :\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \diagbox{Prix payé en \euro}{Nombre d'heures \\de connexion \\en un mois}&5 heures& 15 heures& 25 heures\\ \hline Formule A & & & \\ \hline Formule B & & & \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déduire du tableau ci-dessus la formule la plus avantageuse : pour 5 heures de connexion, 15 heures, puis 25 heures. \end{enumerate} \item Exprimer, en fonction du nombre $x$ d'heures de connexion, le prix (en \euro) payé en un mois : \begin{enumerate} \item pour la formule A ; \item pour la formule B. \end{enumerate} \item On considère les fonctions suivantes : $\bullet~$ La fonction linéaire $f$ telle que : $f(x) = 2x$. $\bullet~$ La fonction affine $g$ telle que : $g(x) = 1,8x+3,5$. Sur une feuille de papier millimétré, tracer dans un repère (O, I, J), les droites D$_1$ et D$_2$ qui représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$. On prendra 0,5 cm pour 1 heure en abscisse et 1 cm pour 5 euros en ordonnées. On se limitera à des valeurs positives de $x$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l} y&=&2x\\ y&=& 1,8x + 3,5\\ \end{array}\right.$ \item Donner une interprétation graphique de la solution du système précédent. \end{enumerate} \item En utilisant une lecture du graphique réalisé à la \textbf{question 3}, préciser les valeurs de $x$ pour lesquelles chacune des deux formules est la plus avantageuse. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Antilles juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%% étranger Bordeaux juin 2004 \hypertarget{EtrangerBordeaux}{} \lfoot{\small{étranger Bordeaux}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\[7pt] Centres étrangers(Bordeaux)}} \end{center} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On donne : A $= 2- \dfrac{4}{5}$ et B $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3} : \dfrac{6}{5}$. écrire A et B sous forme de fraction irréductible en indiquant toutes les étapes du calcul. \item On donne C $= 2\sqrt{18} - 3\sqrt{2} + \sqrt{8}$. écrire C sous forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne $D = (3x - 2)^2 - 9$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation : $(3x - 5)(3x + 1) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c r} 2x+y&=&41\\ 3x + 2y& =& 64\\ \end{array}\right.$ \item Dans un grand magasin, tous les CD sont à un prix unique ainsi que tous les livres de poche. Louis a acheté 2 CD et 1 livre pour 41 euros. Loïc a acheté 3 CD et 2 livres pour 64 euros. Quel est le prix d'un CD ? d'un livre ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip On donne : E = $\left(\sqrt{7} + 1\right)^2 + \left(\sqrt{7} - 1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Après avoir développé les carrés, montrer que E est un nombre entier. \item En déduire la nature d'un triangle dont les côtés mesurent respectivement, en centimètres, $\sqrt{7} + 1,~ \sqrt{7} - 1$ et 4 ; justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On donne : Volume du cône $= \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. Un bassin a la forme d'un cône qui a pour base un disque de 3 m de rayon et pour hauteur 6 m. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que son volume exact V, en m$^3$, est égal à $18\pi$, en donner l'arrondi au m$^3$. \item Ce volume représente-t-il plus ou moins de \nombre{10000} litres ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Combien de temps faudrait-il à une pompe débitant 15 litres par seconde pour remplir complètement ce bassin ? Donner le résultat arrondi à la seconde. \item Cette durée est-elle inférieure à 1 heure ? \end{enumerate} \medskip \parbox[l]{0.5\textwidth}{\item On remplit ce bassin avec de l'eau sur une hauteur de 4 m. On admet que l'eau occupe un cône qui est une réduction du bassin. \begin{enumerate}\item Quel est le coefficient de la réduction ? \item En déduire le volume d'eau exact V$'$ contenu dans le bassin. \end{enumerate}} \hfill \parbox[l]{0.4\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-1,0)(3,4) \psellipse(1.2,3.)(1.2,0.3) \psellipse(1.2,1.6)(0.63,.175) \psline(0,3)(1.2,0)(2.4,3) \psline[linestyle=dotted](0.1,3.1)(1.2,3.1)(1.2,0) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0.4,0)(0.4,1.7) \psline[linewidth=0.3pt]{<->}(2.6,0)(2.6,3) \rput{90}(0.2,0.8){4 m} \rput{90}(2.4,1.4){6 m} \rput(1.2,3.2){3 m} \def\ondu{\pscurve(0,0)(0.1,0.1)(0.2,0)(0.3,-0.1)(0.4,0)} \rput(0.8,1.6){\ondu} \rput(1.3,1.5){\ondu} \rput(0.75,1.3){\ondu} \rput(1.15,1.1){\ondu} \rput(1.1,0.8){\ondu} \rput(1.05,0.6){\ondu} \end{pspicture}} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Dans un repère orthonormé (O, I, J) on considère les points \[\text{A}(-3~;~0)\quad ;\quad \text{B}(1~;~4)\quad ;\quad \text{C}(5~;~3)\quad ;\quad \text{D}(1~;~-1).\] \begin{enumerate} \item Placer ces points, l'unité graphique étant le centimètre. \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$. \item Que peut-on en déduire pour la nature du quadrilatère ABCD ? Pour la suite, ce quadrilatère ABCD est appelé figure \ding{172}. \item Construire la figure \ding{173} symétrique de la figure \ding{172} par rapport au point B. \item Construire la figure \ding{174} symétrique de la figure \ding{172} par rapport à la droite (CD). \item \begin{enumerate} \item Construire la figure \ding{175} image de la figure \ding{172} par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. \item Quelle autre transformation permet de passer de la figure \ding{172} à la figure \ding{175} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip ABCD est un losange dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On donne : AB = 5 cm et AC = 6 cm. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,4) \pspolygon(0,2)(3,0)(6,2)(3,4) \psline(0,2)(6,2) \psline(3,0)(3,4) \psline(2.8,2)(2.8,2.2)(3,2.2) \psline(1.4,1.9)(1.6,2.1) \psline(4.4,1.9)(4.6,2.1) \psline(2.9,1.2)(3.1,1) \psline(2.9,1.3)(3.1,1.1) \psline(2.9,3.2)(3.1,3) \psline(2.9,3.3)(3.1,3.1) \uput[l](0,2){B} \uput[u](3,4){A} \uput[d](3,0){C} \uput[r](6,2){D} \uput[ur](3,2){O} \end{pspicture} \end{center} Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées. \begin{center}\textbf{Partie I}\end{center} \begin{enumerate} \item Calculer BO, justifier; en déduire que BD = 8 cm. \item Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{ABO}}$. \item Calculer l'aire du losange ABCD. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} On place un point $M$ sur le segment [AB]. La droite passant par $M$ et parallèle à la droite (BD) coupe le côté [AD] en $N$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que A$M = 3$. Calculer A$N$ et $MN$. Justifier. \item On pose A$M = x$. Montrer que $MN = 1,6x$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie III}\end{center} Pour cette partie, on a encore A$M = x$. La droite passant par $M$ et parallèle à la droite (AC) coupe le côté [BC] en $P$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer B$M$ en fonction de $x$, puis montrer que $MP = 6 - 1,2x$. \item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le triangle $MNP$ est isocèle en $M$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie IV}\end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (MN) puis que A$M$ = A$N$. En déduire que la droite (AC) est la médiatrice du segment [$MN$]. De la même façon, on démontrerait que la droite (BD) est la médiatrice du segment [$MP$]. \item En déduire le rôle du point O pour le triangle $MNP$. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% Fin étranger Bordeaux juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%% étranger Lyon juin 2004 \hypertarget{EtrangerLyon}{} \lfoot{\small{étranger Lyon}} \rfoot{\small{juin 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2004~\decofourright\\[5pt] Centres étrangers Lyon}} \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \emph{Dans toute cette partie, les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie.} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 :} \medskip On pose: $\text{A} =\dfrac{1}{3}+\dfrac{14}{3} \div \dfrac{35}{12} \quad \text{B} =\dfrac{81\times 10^{-5}\times 14 \times(10^2)^3}{7 \times 10^4}\qquad\text{ et } \text{C} =\dfrac{462}{65}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre $A$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible. \item Calculer $B$ et donner son écriture scientifique, puis son écriture décimale. \item Calculer le PGCD des nombres 462 et 65. Que peut-on en déduire pour la fraction $C$ ? \end{enumerate}. \bigskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'expression $D$ suivante: $D = (2x-3)^2+(2x-3)(5x+ 1)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $D$. \item Factoriser $D$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $(2x- 3)(7x- 2) = 0$. \item On pose: $E = 14x^2 - 25x+ 6$. Calculer $E$ pour $x = \sqrt{45}$ et donner le résultat sous la forme $a + b\sqrt{5}$, où $a$ et $b$ désignent des nombres entiers relatifs. \end{enumerate} \textbf{Exercice 3 :} \medskip Au cours d'une enquête réalisée sur 671 élèves d'un collège, on relève la durée $d$ (en minutes) passée par chacun d'entre eux pour effectuer leur travail scolaire chaque jour. Les résultats ont été regroupés en quatre classes dans le tableau ci-après. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter ce tableau en arrondissant les fréquences à 1 \%. \item En remplaçant chaque classe par son centre, calculer la durée moyenne passée chaque jour par un élève pour effectuer son travail scolaire. On donnera cette durée arrondie à la minute. \begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Durée du travail &Centre de classe &Effectif &Fréquence\\ ($d$ en minutes) &en minutes & &en pourcentage\\\hline $0\leqslant d<30$ &15 &106 &16\\\hline $30\leqslant d < 60$& & &\\\hline $6\leqslant d<90$ & &235 &\\\hline $90\leqslant d< 120$& &144 &\\\hline \text{Total} & &671 &100\\\hline \end{tabularx}\end{center} \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip L'unité utilisée est le centimètre. Soit $(0,I,J)$ un repère orthonormal. $I$ est le point de coordonnées (1 ; 0) et $J$ le point de coordonnées (0~;~1). \medskip \begin{enumerate} \item Dans ce repère, placer les points $A, B\text{ et }C$ tels que: $A(-3~;~2) ; B(2~;~5)\text{ et }C(4~;~-1)$ \item Construire le point $D$ tel que $\vect{AD} = \vect{AB} + \vect{AC}$. \item Construire le point $E$, image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle 60\degres dans le sens des aiguilles d'une montre. \end{enumerate} \textbf{Exercice 2 :} \medskip L'unité utilisée dans cet exercice est le mètre. La figure n'est pas à refaire. Dans un petit chalet de montagne, un berger aménage l'espace existant sous son toit en y posant des étagères matérialisées sur notre schéma par les segments $[ED]$ et $[GF]$. Le segment $[CB]$ représente le plancher et le segment $[AB]$ représente le mur où sont fixées les étagères. \begin{center} \psset{xunit=1.75cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(5,2.5) \pspolygon(0,0)(2.4,0)(2.4,1.8) \psline(0.8,0.6)(2.4,0.6) \psline(1.44,1.08)(2.4,1.08) \pspolygon(2.4,0)(2.4,1.8)(5,0) \uput[dl](0,0){$C$}\uput[d](2.4,0){$B$}\uput[u](2.4,1.8){$A$}\uput[r](2.4,0.6){$D$}\uput[l](0.8,0.6){$E$}\uput[r](2.4,01.08){$F$}\uput[l](1.44,1.08){$G$} \pspolygon(3.4,1.108)(4,0.7)(4,1.4)(3.4,1.4) \pscurve(3.4,1.4)(3.3,1.5)(3.5,1.7)(3.6,1.8)(3.45,2,3) \pscurve(3.5,1.7)(3.8,1.72)(3.8,1.82)(3.73,1.91)(3.69,2,2) \pscurve(3.8,1.4)(4,1.9)(3.8,2)(4.2,2.5) \pscurve(4,1.4)(4.2,1.6)(4.5,1.63)(5,1.71) \end{pspicture} \end{center} Le berger mesure : $AB = 1,80~\text{m}, BC = 2,40~\text{m}, AC = 3~\text{m}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ arrondie à 0,1\degres. \item Sachant que les droites $(ED)$ et $(CB)$ sont parallèles et que $BD = 0,60\text{ m}$, quelle est la longueur de l'étagère $[ED]$ ? \item La deuxième étagère $[GF]$ est placée de telle manière que : $AF = 0,72~\text{ m et }AG = 1,20~\text{ m}$ Est-elle parallèle au plancher $[CB]$ ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \textbf{Exercice 3 :} \medskip On a représenté ci-contre une pyramide $BEFG$. On sait que : $\bullet$ $EFG$, $EFB$ et $BFG$ sont trois triangles rectangles en $F$ ; $\bullet$ $EF = FG = 5$ cm $\bullet$ $BF = 6$ cm \parbox{0.55\textwidth}{ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $EG$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millimètre. \item Calculer l'aire du triangle $EFG$. \item Prouver que le volume de la pyramide $BEFG$ est $25\text{ cm}^3$. \end{enumerate} \item $M$ est le point de l'arête $[BF]$ tel que $BM = 2$ cm. On coupe la pyramide $BEFG$ par le plan passant par $M$ et parallèle à la base $EFG$. On obtient la pyramide $BLMN$, réduction de la pyramide $BEFG$. \begin{enumerate} \item Quel est le rapport de cette réduction? \item En déduire le volume de la petite pyramide $BLMN$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au mm$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.45\textwidth}{\vspace*{4cm} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5.5,1.5) \psset{xunit=0.75,yunit=0.75} \psline(0,0)(5,0) \psline(5,0)(7,2) \psline[linestyle=dashed](7,2) \psline(5,7) \psline(5,7)(5,0) \psline(5,7)(7,2) \psline(3.29,4.6)(5,4.6) \psline(5,4.6)(5.69,5.29) \psline[linestyle=dashed](5.69,5.29)(3.29,4.6) \uput[dl](0,0){$E$}\uput[d](5,0){$F$}\uput[r](7,2){$G$}\uput[l](3.29,4.6){$L$}\uput[dr](5,4.6){$M$}\uput[r](5.69,5.29){$N$}\uput[u](5,7){$E$} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Thomas, élève de troisième, souhaite souscrire un abonnement internet. Pour cela, il étudie les offres de deux publicités de fournisseur d'accès qui proposent les tarifs suivants en euros. $\bullet$ Société Net-ln: Forfait de 47,50 euros d'abonnement par mois quel que soit le temps d'utilisation. $\bullet$ Société Skysurf : 19 euros d'abonnement par mois et 0,05 euro par minute de connexion. \medskip \begin{enumerate} \item Pour chaque tarif, quel est le prix à payer (en euros) pour une connexion de 15 heures par mois ? \item Soit $x$ le temps (en minutes) passé par Thomas sur internet pendant un mois. On note $N (x)$ le prix payé (en euros) en fonction de $x$ s'il choisit le fournisseur Net-ln. On note $S(x)$ le prix payé (en euros) en fonction de $x$ s'il choisit le fournisseur Skysurf. \begin{enumerate} \item Calculer $S(x)$ en fonction de $x$. \item Résoudre l'équation $47,5 = 19 + 0, 05x$. \item Pour quel temps (en minutes) le prix à payer chez les deux fournisseurs est-il le même ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter le tableau ci-après. \begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps de connexion (en minutes) &120 &420 &660\\\hline Prix payé (en euros) chez Skysurf & & &\\\hline \end{tabularx}\end{center} \item Dans le repère ci-après, on a déjà tracé la droite $(d_1)$ représentant la fonction $N : x\mapsto47,5$. En vous aidant du tableau complété précédemment, représenter graphiquement, dans le même repère, la fonction $S : x\mapsto 19 + 0,05x$. \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(12,14) \multido{\n=0+0.5}{29}{\psline(\n,0)(\n,12)} \multido{\n=0+0.5}{25}{\psline(0,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100](0,0)(12,14) \psline[linewidth=2pt](0,9.5)(15,9.5) \uput[u](15,9.5){$d_1$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){60}\uput[l](0,2){10}\uput[l](0,9.5){47,5} \rput{90}(-.5,11.6){\footnotesize Prix payé en euros}\uput[d](10,0){Temps d'utilisation en minutes} \end{pspicture} \end{center} \bigskip Unités graphiques : $\bullet$ deux carreaux représentent 60 minutes sur l'axe des abscisses; $\bullet$ deux carreaux représentent 5 euros sur l'axe des ordonnées. \item Interpréter graphiquement la solution de l'équation : $47,5 = 19 + 0,05x$. (Mettre en évidence comment trouver cette valeur sur le graphique en utilisant des pointillés, ou des traits en couleur.) \item En utilisant le graphique, déterminer : \begin{itemize} \item la société la plus intéressante pour un temps de connexion compris entre 0 et 300 minutes; \item la société la plus intéressante pour un temps de connexion supérieur à 700 minutes. \end{itemize} \end{enumerate} \item Thomas reçoit par courrier une offre promotionnelle du fournisseur Promo-Net qui propose de ne payer aucun abonnement mais demande 0,10 euro par minute de connexion. Il estime son temps moyen de connexion par mois à 510 minutes. Dans ce cas, parmi ces trois fournisseurs, quel est celui qui lui propose un coût minimum ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin étranger Lyon juin 2004 \newpage %%%%%%%%%%% étranger Nice juin 2004 \hypertarget{EtrangerNice}{} \rfoot{\small{juin 2004}} \lfoot{\small{Centres étrangers (Nice)}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{Brevet des collèges Centres étrangers (Nice) juin 2004}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item On donne : A $ = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 3}{\dfrac{1}{3} + 5}$. écrire A sous forme de fraction irréductible. \item On donne : B $ = 2\sqrt{50} - 3\sqrt{8} + 7\sqrt{18}$. écrire B sous la forme $a\sqrt{2}$, avec $a$ nombre entier. \item On donne : C $ = \dfrac{2,6 \times 10^2 \times 1,7 \times 10^2}{0,2 \times 10^5 \times 10^3}$. Donner l'écriture scientifique de C. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne : $E = (5x - 4)^2 + (5x - 4)(x + 3)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer $E$ pour $x = - 1$. \item Résoudre l'équation : $(5x - 4)(6x - 1) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Au cours d'une course d'athlétisme (400 m), le temps mis par chaque coureur a été chronométré. Ces mesures sont reportées dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Effectif des coureurs &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 \\ \hline Temps (en s) &18,65 &49,20 &50 &50,12 &50,13 &50,45 &51 &51,80\\ \hline Effectif des coureurs &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &\multicolumn{1}{c}{} \\\cline{1-8} Temps (en s) &51,85 &51,90 &52,05 &52,20 &52,60 &53,28 &54,80 &\multicolumn{1}{c}{}\\\cline{1-8} \end{tabularx} \vspace{0,3cm} étude statistique de la course \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est l'étendue de cette série ? \item Donner la moyenne arrondie au centième de cette série. \item Donner la médiane de cette série. \item Quel pourcentage de coureurs ont mis moins de 52,50 secondes pour 400 mètres ? \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITéS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox[l]{0,55\textwidth}{Les points A, B et C sont alignés ainsi que les points A, D et E. Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE). AB = 2,5 BD = 1,5 CE = 4,5.} \hfill \parbox[l]{0,45\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,0)(3.5,3) \pspolygon(0,0)(3.5,0)(3.5,2.65) \psline(0.9,0)(0.9,0.75) \psline(0.87,0)(0.87,0.03)(0.9,0.03) \psline(3.47,0)(3.47,0.03)(3.5,0.03) \uput[d](0,0){A} \uput[d](0.9,0){D} \uput[d](3.5,0){E} \uput[u](0.9,0.75){B} \uput[ul](3.5,2.65){C} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer AD. Justifier.- \item Déterminer la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{BAD}}$. \item Calculer AC et AE. Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox[l]{0,45\textwidth}{On considère la sphère de centre O et de rayon 6 cm.\\ \textbf{1.} écrire le volume de cette sphère et en donner un arrondi au mm$^3$. \textbf{2.} On note O$'$ le point tel que : OO$'$ = 4 cm. (P) est le plan passant par le point O$'$ et perpendiculaire à la droite (OO$'$). On note M le point appartenant au plan (P) et à la sphère. Aucun calcul n'est nécessaire pour les deux constructions suivantes :} \hfill \parbox[l]{0,5\textwidth}{\psset{unit=1.23cm} \begin{pspicture}(-1,0)(4,2.5) \pscircle(1.8,1.3){1.2} \psellipse[linestyle=dotted](1.8,1.3)(1.2,0.35) \psellipse[linestyle=dotted](1.8,1.8)(1.1,0.3) \pspolygon(0.1,1.5)(3.5,1.5)(3.7,2.3)(0.3,2.3) \pspolygon(0.8,1.8)(1.8,1.8)(1.8,1.3) \uput[l](0.8,1.8){M} \uput[dr](1.8,1.3){O} \uput[r](1.8,1.8){O$'$} \uput[u](0.38,1.75){(P)} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \hspace{0.7cm}\textbf{a.} Tracer en vraie grandeur le triangle OO$'$M. \hspace{0.7cm}\textbf{b.} Tracer en vraie grandeur l'intersection de la sphère et du plan. \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Dans un repère orthonormal (O, I, J) d'unité le centimètre, placer les points suivants : \[\text{A}(6~;~ 5),\quad \text{B}(2~;~-3),\quad \text{C}(-4~;~ 0).\] \begin{enumerate} \item Montrer que AB = $4\sqrt{5}$. \item On donne de plus AC $= \sqrt{125}$,~ BC = $\sqrt{45}$. En déduire la nature du triangle ABC. Justifier la réponse. \item Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$. \item On considère le cercle circonscrit au triangle ABC. \begin{enumerate} \item Préciser la position de son centre appelé K et la longueur de son rayon. Justifier. Placer K. \item Calculer les coordonnées de K. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$. \item En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme. \item Placer le point D. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%% Fin étranger Nice juin 2004 \newpage %%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2004 \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles--Guyane~\decofourright\\[7pt]septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \emph{Dans tout cet exercice, les étapes des calculs doivent être détaillées.} \medskip \begin{enumerate} \item A $= \dfrac{\dfrac{4}{3}- \dfrac{2}{5}}{\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{10}}$. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. \item B $= \dfrac{ 4,5\times 10^{-5} \times 13\times 10^{-3}}{0,9 \times10^{-12}}$. Donner l'écriture scientifique de B. \item C $= 2\sqrt{45} + 3\sqrt{20} - \sqrt{80}$. écrire C sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip $D = (2x - 3)^2 - (5x - 7)(2x - 3)$. \begin{enumerate} \item Développer puis réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Calculer $D$ pour $x = 0$, puis pour $x = \dfrac{3}{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'inéquation suivante : \[ 7x - 2 > 3x +6.\] \item Représenter les solutions sur une droite graduée en hachurant la partie de la droite qui ne représente pas les solutions. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation : \[3(5x - 7)(x - 2) = 0.\] \end{enumerate} \newpage \vspace*{-1.25cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \parbox{0.6\textwidth}{ Un solide est constitué d'un cône surmonté d'une demi-boule selon la figure ci-contre. La boule a pour rayon OB = 4 cm et les génératrices du cône ont pour longueur 10,4 cm (AB = AC = 10,4 cm). \begin{enumerate} \item Calculer la hauteur AO du cône. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAO}}$ arrondie au degré près. En déduire $\widehat{\text{BAC}}$. \item Quel est le volume en cm$^3$ du solide (arrondi au dixième) \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.37\textwidth}{\begin{pspicture}(3,6.5) \pspolygon(0.2,5)(2.8,5)(1.5,0.7) \pswedge(1.5,5){1.3}{0}{180} \psline[linestyle=dashed](1.5,5)(1.5,0.7) \uput[d](1.5,0.7){A} \uput[l](0.2,5){B} \uput[r](2.8,5){C}\uput[u](1.5,5){O} \end{pspicture}} Rappels : $\bullet~$ Volume d'un cône de surface de base B et de hauteur $h : \dfrac{1}{3}\text{B} \times h$. $\bullet~$ Volume d'une sphère de rayon $r : \dfrac{4}{3}\pi r^3$. \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip Sur la figure ci-dessous, les droites (MN) et (BU) sont parallèles. L'unité de longueur étant le cm, on donne les longueurs suivantes : MN = 10, OM = 6, ON = 8 et OU = 3. \medskip \parbox{0.4\textwidth}{\begin{enumerate} \item Reproduire la figure en dimensions réelles. \item Calculer les longueurs BU et BO. \item S est un point du segment [MN] et T un point du segment [ON] tel que NS = 8 et NT = 6,4.\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.55\textwidth}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3) \psline(0.8,0.2)(5.8,2.6) \psline(1,3)(5,0.1) \psline(0.1,2.4)(6.4,2.4) \psline(0.2,0.6)(6.3,0.6) \uput[u](3.2,1.4){O} \uput[ur](1.8,2.4){N} \uput[ul](5.4,2.4){M} \uput[dr](1.6,0.6){U} \uput[dl](4.3,0.6){B} \end{pspicture}} Les droites (TS) et (OM) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; I, J). L'unité de longueur est le centimètre. Placer les points A(3 ; 4), B(5 ; 0) et C$(3~;~- 1)$. \bigskip \textbf{Première partie} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que la droite (AB) est la représentation graphique de la fonction affine $f$ définie par $f : x \longmapsto y = - 2x + 10$. \item Déterminer la fonction affine $g$ dont (BC) est la représentation graphique. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que AB $= \sqrt{20}$,~ AC $= 5$ et BC $= \sqrt{5}$. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BA}}$. \item Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{BA}}$. \item Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Calculer l'aire de ce rectangle. \end{enumerate} %%%%%%%%% Fin Antilles septembre 2004 \newpage %%%%%%%%% Bordeaux septembre 2004 \hypertarget{Bordeauxsep}{} \lfoot{\small{septembre 2004}} \rfoot{\small{Bordeaux }} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupement Ouest~\decofourright\\[7pt]septembre 2004}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On donne les nombres A $= \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}$ et B $= \dfrac{\dfrac{8}{3} - 2}{\dfrac{3}{5}}$. écrire A et B sous forme de fractions irréductibles, en détaillant les calculs. \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne le nombre C $= 3\sqrt{15} + \sqrt{60}$. écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On donne l'expression $E = (3x - 4)^2 - 4x^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $E$ pour $x = 0$. \item Calculer $E$ pour $x = - 1$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $(5x - 4)(x - 4) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x-y & = & 8\\ 7x+5y &=& 104\\ \end{array}\right.$ \item Une bibliothèque achète 7 DVD et 5 livres. Le prix total est de 104 euros.\\ Un livre coûte 8 euros de moins qu'un DVD. \begin{enumerate} \item Quel est le prix d'un DVD ? \item Quel est le prix d'un livre ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé (O ; I, J), l'unité étant de centimètre, placer les points suivants A$(2~;~- 1)$, B$(-2~;~3)$ et C$(-4~ ;~ -3)$. \medskip \item \begin{enumerate} \item Calculer AC et BC. \item En déduire que le triangle ABC est isocèle. \end{enumerate} \item Démontrer que J est le milieu du segment [AB]. \item Démontrer que la droite (CJ) est la médiatrice du segment [AB]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox{0.4\textwidth}{La famille Hoarau possède un terrain ABCD dont la forme est un trapèze rectangle comme le montre le schéma ci-contre. On donne : AB = l5m ; AD = 20 m ; DC = 25 m.} \hfill \parbox{0.55\textwidth}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,5) \psframe(0,0)(4,4) \pspolygon(4,0)(6,0)(4,4) \uput[u](0,4){A} \uput[u](4,4){B} \uput[d](4,0){H}\uput[d](0,0){D} \uput[r](6,0){C} \psframe(0,0)(0.15,0.15) \psframe(4,0)(4.15,0.15) \end{pspicture}} \vspace{0,3cm} \begin{enumerate} \item Montrer que l'aire du terrain est égale \`a 400 m$^2$. \item Calculer BC. On arrondira au dixième de mètre. \item M. Hoarau aura-t-il assez de 90 mètres de grillage pour cl\^oturer son terrain ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Dans cet exercice, l'unité est le centimètre. On considère le triangle ABC tel que : AB = 4, AC = 6 et BC = 3. \medskip \begin{enumerate} \item Construire le triangle en vraie grandeur. \item On désigne par I le milieu du segment [AC]. \begin{enumerate} \item Sur la figure précédente, construire le symétrique D du point B par rapport au point I. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier. \end{enumerate} \item On désigne par F le symétrique de B par rapport \`a la droite (AC). Démontrer que les droites (DF) et (AC) sont parallèles. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBL\`EME \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Première partie} \medskip Un professeur d'éducation physique et sportive fait courir ses élèves autour dun stade rectangulaire mesurant 90 m de long et 60 m de large. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer, en mètres, la longueur d'un tour de stade. \item Pour effectuer 15 tours en 24 minutes \`a vitesse constante, combien de temps un élève doit-il mettre pour faire un tour ? On donnera la réponse en minutes et secondes. \item Un élève parcourt 6 tours en 9 minutes. Calculer sa vitesse en m/min, puis en km/h. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip On a relevé le nombre de pulsations par minute de 32 élèves avant qu'ils n'effectuent leurs tours de stade. Les résultats obtenus sont les suivants : \begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 57& 61& 55& 67& 59& 52& 59& 63& 62& 65& 59& 54& 59& 57& 62& 54\\ \hline 60& 65& 63& 61& 63& 55& 66& 63& 60& 59& 62& 63& 58& 61& 59&63\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre moyen de pulsations par minute est égal à 60,25. \item Recopier et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre $n$ de pulsations par minute&$52 \leqslant n \leqslant 56$&$56\leqslant n\leqslant60$&$60 \leqslant n \leqslant 64$&$64 \leqslant n \leqslant 68$\\ \hline Effectif &5 & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En utilisant le repère ci-après, faire l'histogramme représentant le tableau ci-dessus. Les unités choisies sont : $\bullet~$ sur l'axe des abscisses, 1 cm pour représenter 1 pulsation par minute ; $\bullet~$ sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour représenter 1 élève. \item Combien d'élèves ont au moins 60 pulsations par minute ? \item Quel est le pourcentage d'élèves ayant un nombre de pulsations par minute inférieur \`a 60 ? \end{enumerate} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(52,0)(68,18) \psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=52,Dx=4](52,0)(58,6) \psaxes[Dx=20,Dy=30]{->}(52,0)(68,18) \uput[d](60,52){Nombre de pulsations par minute} \rput{90}(15,50){Nombre d'élèves} \end{pspicture} %%%%%%%%%%% Fin Bordeaux septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%% Est septembre 2004 \hypertarget{Estsep}{} \lfoot{\small{Groupement Est}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupement Est~\decofourright\\[7pt] septembre 2004 }} \end{center} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip Dans toute cette partie les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip On donne les expressions A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{4}$ et B $= (- 3) \div \dfrac{6}{7}$. Calculer A et B en détaillant les étapes des calculs et écrire les résultats sous forme de fractions irréductibles. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On donne les expressions C $ = \sqrt{2}\left(\sqrt{2} + 5\sqrt{3}\right)$ et D $= \sqrt{24} + \sqrt{9} + \sqrt{54}$. \begin{enumerate} \item Écrire C et D sous la forme $a + b \sqrt 6$ o $a$ et $b$ sont des nombres entiers. \item Utiliser les résultats de la première question pour comparer C et D. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Soit l'expression : $E = (x + 1)^2 + (x + 1)(2x - 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer puis réduire l'expression $E$. \item Factoriser l'expression $E$. \item Résoudre l'équation $(x + 1)(3x - 2) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip Au rugby, un essai transformé permet d'augmenter le score de l'Žéquipe de 7 points, un essai non transforméŽ augmente le score de 5 points et une pénalité augmente le score de 3 points. Si, par exemple, au cours d'un match, l'Žéquipe de France marque 4 essais transformés, 2 essais non transformés et 3 pénalités, le nombre de points marqués par la France est : $4\times 7 + 2 \times 5 + 3 \times 3 = 47$. \begin{enumerate} \item RéŽsoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c r} \phantom{7}x + \phantom{7}y & = & 7\\ 7x + 5y & =& 39\\ \end{array}\right.$ \item Lors d'une autre rencontre, l'Žéquipe de France a marquéŽ 7 essais, certains transformés et d'autres non et 2 pénalités pour un total de 45 points. DéŽterminer le nombre d'essais transforméŽs et le nombre d'essais non transformés marqués par l'Žéquipe de France au cours de ce match. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GƒÉOMƒÉTRIOUES}} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unitŽé est le centimètre. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points A$(-2~;~1)$ ; B(3~;~6) ; C$(4~;~-1)$. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$. \item Montrer que l'on a : AB $ = 5\sqrt{2}$. \item Montrer que le triangle ABC est isocèle de sommet B. \item \begin{enumerate} \item Construire le point D tel que : $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? (justifier la réponse) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} ABC est un triangle rectangle en A tel que : BC $= 12$ et AC $= 6$. (L'unitéŽ de longueur est le centimètre). \medskip \begin{enumerate} \item Construire le triangle ABC. \item Montrer que l'on a : AB $= 6\sqrt{3}$. \item Calculer $\sin \widehat{\text{ABC}}$ ; en déduire la mesure exacte, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. \item On considère le point $M$ du segment [AB] et le point $N$ du segment [BC] tels que : B$M = 4\sqrt{3}$ et B$N = 8$. \begin{enumerate} \item Placer les points $M$ et $N$. \item Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que les droites $(MN)$ et (AC) sont parallèles. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \parbox[l]{0,55\textwidth}{La figure ci-contre représente une pyramide $\mathcal{P}$ de sommet S. Sa base est un carré ABCD tel que : AB $= 6$ cm ; sa hauteur [SA] est telle que : SA $= 9$ cm. \begin{enumerate} \item Calculer le volume de cette pyramide $\mathcal{P}$. \item E est le point de [SA] défini par SE = 6 cm ; EFGH est la section de la pyramide $\mathcal{P}$ par un plan parallèle àˆ sa base ; la pyramide $\mathcal{P}_1$, de sommet S et base EFGH est donc une réduction de la pyramide $\mathcal{P}$ ; calculer le coefficient $k$ de cette réduction. \item Calculer le volume de la pyramide $\mathcal{P}_1$. \end{enumerate}} \hfill \parbox[l]{0,4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.25,0)(4.5,6.2) \psline[linewidth=1.5pt](0,0.2)(1.4,6.1)(4.4,1)(3.3,0)(1.4,6.1)%DSBCS \psline[linewidth=1.5pt](0,0.2)(3.3,0)%DC \psline(0.5,2.1)(2.6,2)(3.3,2.7)%HGF \psline[linestyle=dotted](1.4,6.1)(1.1,1.1)(0,0.2)%SAD \psline[linestyle=dotted](1.1,1.1)(4.4,1)%AB \psline[linestyle=dotted](0.4,2.1)(1.2,2.8)(3.4,2.7)%HEF \uput[ul](1.1,1.1){A} \uput[dr](4.4,1){B} \uput[d](3.3,0){C} \uput[dl](0,0.2){D} \uput[ur](1.2,2.8){E} \uput[ur](3.4,2.7){F} \uput[dl](2.6,2){G} \uput[dl](0.4,2.1){H} \uput[ul](1.4,6.1){S} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}} \bigskip Monsieur Jean possède un terrain qu'il souhaite partager en deux lots de même aire. Ce terrain a la forme d'un triangle ABC rectangle en A tel que AB $= 50$ m et AC $= 80$ m. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle ABC. \item En déduire que l'aire de chaque lot doit être de \np{1000}~m$^2$. \end{enumerate} \parbox[l]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,4.5) \pspolygon(0,0)(3,4.3)(0,4.3) \psline(0,0)(1.5,4.3) \psframe(0,4.3)(0.3,4) \uput[l](0,4.3){A} \uput[l](0,0){C} \uput[r](3,4.3){B} \uput[u](1.5,4.3){M} \end{pspicture}} \hfill \parbox[l]{0.6\textwidth}{\item Dans un premier temps, il pense faire deux lots ayant la forme de deux triangles AMC et BMC comme indiquéŽ sur la figure ci-contre. On pose A$M = x$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle AMC. \item En déduire que l'aire du triangle BMC est Žégale ˆà $\np{2000} - 40x$. \item Déterminer $x$ pour que les aires des deux triangles AMC et BMC soient Žégales. \item Quelle est alors la position du point M sur le segment [AB] ? \end{enumerate}} \item On considère les deux fonctions affines $f$ et $g$ définies par \[f(x) = 40x \qquad \text{et} \qquad g(x) = 2000 - 40x.\] Sur une feuille de papier milliméŽtré, construire un repère orthogonal : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] l'origine sera placée en bas ˆà gauche, \item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, on prendra 1 cm pour 5 unités (1 cm pour 5 m), \item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées, on prendra 1 cm pour 100 unités (1 cm pour 100~m$^2$). \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \nombre \begin{enumerate} \item Dans ce repère, représenter graphiquement les fonctions affines $f$ et $g$ pour $0 \leqslant x \leqslant 50$. \item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2. c.}. \end{enumerate} \parbox[l]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.25,0)(3,4.5) \pspolygon(0,0)(3,4.3)(0,4.3) \psline(0,1.43)(2,4.3) \psframe(0,4.3)(0.3,4) \uput[l](0,4.3){A} \uput[l](0,0){C} \uput[r](3,4.3){B} \uput[u](2,4.3){$M$} \uput[l](0,1.43){$N$} \end{pspicture}} \hfill \parbox[l]{0.55\textwidth}{\item Finalement, Monsieur Jean se dŽécide ˆà partager son terrain en un lot triangulaire A$MN$ et un lot ayant la forme d'un trapèze B$MN$C comme indiquéŽ sur la figure ci-contre avec $(MN)$ parallèle à ˆ (BC). On pose A$M = x$. \begin{enumerate} \item En utilisant la propriété de Thalès, exprimer A$N$ en fonction de $x$. \item En déduire que l'aire du triangle A$MN$ est Žégale ˆ à $x^2$. \end{enumerate}} \item Le graphique suivant représente l'aire en m$^2$ du triangle A$MN$ exprimée en fonction de $x$. En utilisant ce graphique, déterminer $x$, ˆà un mêtre près, pour que les aires des deux lots A$MN$ et B$MN$C soient Žégales. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Graphique de la question 5 du problème\\ (ˆà rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.008cm} \begin{pspicture}(-6,0)(50,2000) \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2000)} \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,2000)} \multido{\n=0+100}{21}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(50,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=25,Dy=3000]{->}(0,0)(51,2010) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{50}{0.8 x 2 exp mul} \rput{90}(-6,1850){aire du triangle A$MN$ en m$^2$} \uput[d](48,0){$x$} \uput[r](0,2025){$y$} \multido{\n=0+500}{5}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Est septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%% Nord septembre 2004 \hypertarget{Nordsep}{} \lfoot{\small{Groupe Nord}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupe Nord septembre 2004 \decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{8}{3} \times \dfrac{5}{2}$. \item Donner l'écriture scientifique de B $ = \dfrac{5 \times 10^{-8} \times 36 \times10^4}{15 \times 10^5}$. \item Soit C $=\sqrt{18} - 3 \sqrt{50}$. Écrire C sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un nombre entier relatif. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \medskip On considère l'expression $F = (2x + 3)(5 - x) - (2x + 3)^2$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $F$. \item Factoriser $F$. \item Résoudre l'équation $(2x + 3) (2 - 3x) = 0$. \item Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x = 3$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x + 2y& =& 3\\ 3x+8y& =& 10,9\\ \end{array}\right.$ \item Avec 3 euros, un achète 1 pain au chocolat et 2 croissants. Avec 10,90 euros, on achète 3 pains au chocolat et 8 croissants. Calculer le prix d'un pain au chocolat et celui d'un croissant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip Les nombres $133$ et $185$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormal (O I, J), placer les points A(5~;~1 ) ; B$(-2~;~2)$~;~ C(2~;~5). \item \begin{enumerate} \item Calculer AB et BC. \item On donne AC $= 5$. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. \end{enumerate} \item Soit le point E symétrique du point A par rapport au point C et soit le point F symétrique du point B par rapport au point C. \begin{enumerate} \item Construire les points E et F. \item Quelle est la nature du quadrilatère ABEF ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}} \parbox{0.6\textwidth}{Soit le triangle AHO rectangle en H tel que AH = 3,2 cm et OH = 6 cm. \emph{Sur le dessin, les dimensions ne sont pas respectées.}} \hfill \parbox{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.5,4) \pspolygon(0.5,0)(3.5,0)(3.5,4) \psframe(3.3,0)(3.5,0.2) \uput[d](0.5,0){A} \uput[d](3.5,0){H} \uput[ul](3.5,4){O} \end{pspicture}} \vspace{0,3cm} \begin{enumerate} \item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ arrondie au degré près. \item On se place dans l'espace et on fait tourner ce triangle autour de l'axe [OH], en lui faisant faire un tour complet. On obtient ainsi un cône de hauteur OH et de rayon de base AH. \begin{enumerate} \item Calculer le volume V (en cm$^3$) de ce cône. (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.) \item On considère une réduction de ce cône, à l'échelle $\dfrac{1}{2}$. Exprimer le volume V$'$ du cône réduit en fonction de V. En déduire que la valeur de V$'$ arrondie à l'unité est 8 cm$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un triangle RST rectangle en R tel que ST $= 8$ cm et RT $= 4,8$ cm. \item Montrer par un calcul que RS $= 6,4$ cm. \item Sur la demi-droite [RT), placer le point U tel que : RU $= 6$ cm. Sur la demi-droite [RS), placer le point V tel que : RV $= 8$ cm. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (TS) et (UV) sont parallèles. \item Calculer UV. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Première partie} Le ciné-club du village propose deux tarifs pour l'année 2004. Ils sont décrits ci-dessous : \hrulefill \begin{center}TARIFS 2004\end{center} $\bullet~$ Tarif A : une carte d'adhésion pour l'année coûtant 25 euros, puis 1,50 euro par séance ; $\bullet~$ Tarif B : 5 euros par séance sans carte d'adhésion. \hrulefill \medskip \begin{enumerate} \item Calculer, pour chaque tarif, le prix payé pour 8 séances achetées en 2004. \item On appelle $x$ le nombre de séances achetées en 2004. Exprimer en fonction de $x$ le prix payé avec le tarif A, puis avec le tarif B. \item Vincent a payé 40 euros avec le tarif A. Vérifier qu'il a assisté à 10 séances. \item Quel est le nombre maximum de séances pour lequel le prix payé avec le tarif B est inférieur au prix payé avec le tarif A. \item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal où les unités sont les suivantes : $\bullet~$ sur l'axe des abscisses, 1 cm représente une unité ; $\bullet~$ sur l'axe des ordonnées, 2 cm représentent dix unités. \begin{enumerate} \item Dans ce repère, tracer : $\bullet~$ la droite $\mathcal{D}_{1}$ représentation graphique de la fonction linéaire $x \longmapsto 5x$ ; $\bullet~$ la droite $\mathcal{D}_{2}$ représentation graphique de la fonction affine $x \longmapsto 1,5x + 25$. \item Vérifier graphiquement la réponse obtenue à la question \textbf{4} en faisant apparaître les pointillés utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip En 2003, le gérant du ciné-club a fait une enquête auprès de ses clients en leur posant la question : \og Combien de films avez-vous vu au ciné-club cette année ? \fg. Voici le résultat de l'enquête : \vspace{0,3cm} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de films vus & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline Nombre de réponses & 54 & 62 & 48 & 14 & 18\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,3cm} \begin{enumerate} \item Combien le gérant a-t-il obtenu de réponses à son enquête ? \item Parmi les personnes qui ont répondu à l'enquête : \begin{enumerate} \item Quel est le pourcentage des personnes qui ont vu 6 films ? (donner le résultat arrondi au dixième) \item Quel est le nombre de personnes qui ont vu au moins 7 films pendant l'année ? \end{enumerate} \item Calculer une valeur approchée de la moyenne, arrondie à l'unité, du nombre de films vus par les personnes qui ont répondu à l'enquête. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nord septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2004 \hypertarget{Polynesiesep}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2004~\decofourright}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère l'expression A $ = \dfrac{\np{9009}}{\np{10395}} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de \np{9009} et \np{10395}. \item Expliquer comment rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{9009}}{\np{10395}}$. \item En déduire que l'écriture simplifiée de $\dfrac{\np{9009}}{\np{10395}}$ est $\dfrac{13}{15}$. \end{enumerate} \item Calculer A en donnant le détail des calculs ; on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression : $E = (3x - 1)^2 + (3x - 1) (x + 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Résoudre l'équation : $(3 x - 1) (4x + 1) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Calculer les expressions B et C en faisant apparaître chaque étape du calcul. On donnera B sous la forme $a\sqrt{3}$, et C sous forme d'écriture scientifique. \[\text{B} = \sqrt{75} - 2 \sqrt{300} + \sqrt{12} \qquad \text{C} = \dfrac{13 \times 10^{15} \times 18 \times 10^4}{15 \times 10^7}.\] \newpage \begin{center} \textbf{Cette feuille est à rendre avec la copie}\end{center} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Sur le quadrillage ci-dessous, construire : $\bullet~$ la figure \ding{193} image du triangle \ding{192} par la symétrie d'axe d. $\bullet~$ la figure \ding{194} image du triangle \ding{192} par la symétrie de centre O. $\bullet~$ la figure \ding{195} image du triangle \ding{192} par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. $\bullet~$ la figure \ding{196} image du triangle \ding{192} par la rotation de centre B, d'angle $90\degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre. \vspace{0,5cm} \begin{center}\psset{unit=4.25mm} \begin{pspicture}(-12,-10)(16,10) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-12,-10)(16,10) \psline(-2.5,9.5)(14.5,-7.5) \pspolygon[linewidth=1.3pt](-1,2)(-1,4)(2,2) \qdisk(0,0){2pt} \qdisk(-4,0){2pt} \uput[u](-0.3,2){\ding{192}} \uput[dl](-4,0){E} \uput[dl](-1,2){A} \uput[ul](-1,4){B} \uput[r](2,2){C} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-0.5,7){(d)} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \parbox[l]{0.6\textwidth}{\textsl{L'unité est le centimètre. La figure ci-contre n'est pas à l'échelle.} \textsl{On ne demande pas de refaire cette figure.} On considère un cône de sommet S, de rayon de base OM = 3 cm et de hauteur SO = 8 cm. \begin{enumerate}\item Calculer la longueur SM (on donnera la valeur exacte). \item Calculer le volume V, du cône : On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^3$ près. \item On considère un point O$'$ du segment [SO] tel que SO$'$ = 4 cm. On coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par O$'$. On obtient ainsi un petit cône.\end{enumerate}} \hfill \parbox[r]{0.38\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,6) \psellipse(2.2,1)(2.2,1) \psline(0,1.1)(2.2,5)(4.4,1.1) \psline[linestyle=dotted](2.2,5)(2.2,1)(4.4,1) \uput[ur](2.2,5){S} \uput[ul](2.2,1){O} \uput[r](4.4,1){M} \end{pspicture}} \vspace{0,25cm} \textbf{a.} Quel est le coefficient $k$ de réduction ? \textbf{b.} Calculer le volume V$_{2}$ du petit cône : On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^3$ près. On rappelle que : volume du cône $ = \dfrac{\pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}}{3}$. \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Une course à pied est organisée dans un collège. Un plan est distribué aux élèves à l'avance mais les parcours sont inconnus : \medskip \parbox[l]{0.45\textwidth}{$\bullet~$ Le plan n'est pas à l'échelle. $\bullet~$ Départ et arrivée de chaque circuit au point D. $\bullet~$ Les chemins possibles sont le long des segments tracés sur le plan. $\bullet~$ AB $= 400$ m ; AC $= 300$ m ; BC $= 500$ m ; ED $= 180$ m. $\bullet~$ $\widehat{\text{ADE}}$ et $\widehat{\text{DFB}}$ sont des angles droits. $\bullet~$ circuit $6\up{e}$ : 432 m ; circuit $5\up{e}$ : 576 m ; circuit $4\up{e}$ : 720 m ; circuit $3\up{e}$ : 840 m.} \hfill \parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=7.5mm}\begin{pspicture}(7.5,4) \pspolygon(0,0)(7.5,0)(0,3.5) \psline(2.2,2.5)(2.2,0)(3.3,1.9) \psframe(2.21,-0.01)(1.91,0.29) \rput{-27}(3.3,1.97){\psframe(0,0)(0.3,-0.3)} \uput[u](0,3.5){C} \uput[dl](0,0){A} \uput[u](2.2,2.5){E} \uput[d](2.2,0){D} \uput[ur](3.3,1.9){F} \uput[d](7.5,0){B} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} Tristan qui est en $3\up{e}$ fait équipe avec Cynthia, une élève de $5\up{e}$. \textbf{\textsl{ Dans tout le problème :}} \textbf{\textsl{les longueurs doivent être données au mètre près et les angles au degré près,}}\\ \textbf{\textsl{les résultats de plusieurs questions sont donnés, vous pouvez donc les utiliser dans les questions suivantes même si vous n'avez pas réussi à les démontrer.}} \bigskip \textbf{Première partie} \medskip On donne à Tristan le questionnaire ci-dessous afin de l'aider à trouver son circuit et celui de Cynthia. Ce questionnaire rapporte des points à l'équipe. Rédiger les réponses à ce questionnaire : \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. \item En déduire que les droites (AC) et (DE) sont parallèles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les longueurs BD et BE. \item En déduire que AD = 160 m et CE = 200 m. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant $\cos \widehat{\text{ABC}}$ calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. \item En déduire que FB = 192 m et FD = 144 m. \end{enumerate} \item Calculer les longueurs des circuits suivants : \begin{enumerate} \item DECAD ; \item DBFD. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Cynthta a un circuit de 576 m et doit en faire $x$ tours. Tristan a un circuit de 840 m et doit en faire $y$ tours. Pour trouver leurs nombres de tours Tristan a droit deux indices : 1 - \og À vous deux, vous allez faire \np{5928} m \fg ; 2 - \og À vous deux vous allez faire 8 tours \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Écrire un système d'équation traduisant ces deux indices. \item Résoudre ce système pour trouver le nombre de tours que chacun doit faire. \end{enumerate} %%%%%%%%%%% Polynésie septembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud novembre 2004 \hypertarget{AmeriqueSud}{} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{novembre 2004}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Brevet des collèges Amérique du Sud \\[5pt]novembre 2004}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Effectuer les calculs de A et de B ; donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible en justifiant les calculs : A $ = \dfrac{15}{14} - \dfrac{6}{7} \times \dfrac{2}{3}$ et B $= \dfrac{1 - \dfrac{7}{18}}{\dfrac{7}{9}}$. \item Effectuer les calculs de C et D donner le résultat sous la forme d'un produit d'un entier et d'une puissance de dix : C $= \dfrac{3\times 10^6 \times 6\times 10^5}{15 \times 10^7}$ et D $= \dfrac{3\times 10^6 + 6 \times 10^5}{15 \times 10^7}$. \item Donner E sous la forme $a\sqrt{2} + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, en justifiant les calculs : E $= 5\sqrt{8} - 3\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{18}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère l'expression $F$ suivante : \[F = (7x - 8)(- x + 4) - (7x - 8)^2.\] \begin{enumerate} \item Développer et réduire $F$. \item Factoriser $F$. \item Résoudre l'équation $(7x - 8)(-8x + 12) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le PGCD de 264 et 462 en explicitant les calculs. \item En déduire la forme irréductible de la fraction $\dfrac{462}{264}$ sans utiliser la touche \og fraction \fg{} de la machine et en faisant apparaître clairement la méthode employée. \end{enumerate} \newpage \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{center}\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(10,5) \pspolygon(0,0)(3.7,0)(3.7,2.3)(0,3.3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.4,0)(3.2,2.1) \psline(0.867,0)(0.867,2.1) \psline(1.333,0)(1.333,2.1) \psline(1.8,0)(1.8,2.1) \psline(2.267,0)(2.267,2.1) \psline(2.733,0)(2.733,2.1) \multido{\d=0.633+0.467}{6}{\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](\d,1.6)(0.18,0.1)} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,3.3)(4.2,2.1)(6.4,3.2)(2.3,4.2) \psline(4.2,2.1)(3.7,2.1) \pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=vlines](4.2,2.1)(6.95,1.5)(9.2,2.5)(6.4,3.2) \psframe[linestyle=dashed,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.4,0)(6.2,1.6) \psline[linestyle=dashed](4.85,0)(4.85,1.6) \psline[linestyle=dashed](5.3,0)(5.3,1.6) \psline[linestyle=dashed](5.75,0)(5.75,1.6) \multido{\d=4.65+0.45}{4}{\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](\d,1.3)(0.18,0.1)} \psline[linestyle=dashed](3.7,0)(6.95,0)(9.2,1)(9.2,2.5) \psline[linestyle=dashed](6.95,0)(6.95,1.5) \psline(0,3.3)(0.3,3.7) \psline(4.3,2.1)(4.6,2.5) \rput(7,4.5){Toiture rectangulaire} \rput(7,3.6){à rajouter} \psline{->}(7,3.1)(7.4,2.3) \uput[d](2,0){4,00} \uput[d](5.8,0){3,50} \uput[d](8.6,0.5){6,00} \rput(4,1.8){0,50} \rput(2.5,3){5,50}\uput[d](4.8,-0.4){Plan} \end{pspicture}\end{center} \begin{center}\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(0,-2)(8,3) \pspolygon(0,2.3)(4.8,1)(0,1) \psline(4.8,1)(7.6,1)(7.6,0.4) \psline[linestyle=dashed](0,1)(0,-1.2)(4,-1.2)(4.1,1) \psline[linestyle=dashed](4.8,1)(7.6,0.4)(7.6,-1.2) \psline(4.1,-1.2)(7.6,-1.2) \uput[l](0,1){A} \uput[ul](0,2.3){F} \uput[dl](4.1,1){B} \uput[ur](4.8,1){C} \uput[r] (7.6,1){D} \uput[r](7.6,0.4){E} \uput[d](1.8,1){4,00} \uput[d](4.4,1){0,50} \uput[d](7,1){3,00} \uput[u](2.5,1.8){5,50} \uput[d](5.8,-1.2){3,50} \psframe(0,1)(0.15,1.15) \psframe(7.6,1)(7.45,0.85) \uput[d](4,-1.5){Schéma} \end{pspicture}\end{center} Rappels : FC = 5,50~m ; AB = 4,00~m ; BC = 0,50~m ; CD = 3,00~m. M. Bricolo veut accoler à son garage, déjà construit pour une caravane, un deuxième garage. Pour cela, il faut prolonger la toiture. M. Bricolo a fait des mesures qu'il a indiquées sur son plan, puis a fait un schéma plus géométrique afin d'effectuer ses calculs. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer AC. Déterminer l'arrondi de l'angle $\widehat{\text{ACF}}$ au dixième de degré. Sachant que l'étanchéité de la toiture est garantie si cet angle est de plus de 35~\degres, M. Bricolo pourra-t-il faire jouer cette garantie en cas de problème ? \item Démontrer que les droites (AF) et (DE) sont parallèles. En déduire la longueur CE ; en donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centimètre. \item Sachant que le deuxième garage aura une profondeur de 6~m, quelle est l'aire exacte de la partie de toiture à ajouter à la toiture d'origine. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un triangle OBC rectangle en O tel que OB = 2~cm et OC = 4~cm. \item Calculer la longueur BC. On donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{5}$. \item Tracer le symétrique A du point C par rapport à la droite (OB). \item Tracer le translaté D du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. \item Démontrer que ABCD est un parallélogramme. \item Montrer que BC = BA, puis préciser la nature de ABCD (justifier). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Monsieur M. désire faire l'acquisition d'un véhicule. Une fois la marque et le modèle choisis, il faut choisir le type de motorisation. Le moteur essence est beaucoup moins cher, mais son utilisation est plus coûteuse (consommation plus importante et le prix du carburant est plus cher). On se propose donc de faire une étude afin de faire le meilleur choix. \begin{center} {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4,5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}&Modèle essence& Modèle diesel\\ \hline Prix du véhicule (en euro)&\np{18700}&\np{2700}\\ \hline Consommation (nombre de litres pour 100 km)& 7,4& 5,5\\ \hline \end{tabularx}} \end{center} \textbf{Première partie : le véhicule essence} \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que, dans une station-service, le super 98 (essence) est à 1 euro le litre : \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant : \hspace*{-1cm} {\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Distance parcourue &100 km &\np{1000} km&\scriptsize 50 milliers de km (\np{50000} km)&\scriptsize 150 milliers de km (\np{150000} km) &\scriptsize $x$ milliers de km\\ \hline Nombre de litres consommés & & & & &\\ \hline Coût du carburant & & & & &\\ \hline Coût global (véhicule + carburant) &{$\Huge \times$}&{$\Huge \times$}&&&\\ \hline \end{tabularx}} \item Déterminer la fonction affine qui représente le coût global (véhicule et carburant) en fonction du nombre $x$ de milliers de kilomètres parcourus depuis l'achat du véhicule à moteur essence. \end{enumerate} \item Dans le repère orthogonal, donné ci-dessous, tracer la représentation graphique de la fonction $f : x \longmapsto 74x + \np{18700}.$ $\bullet~$ 1 carreau représente \np{10000} kilomètres sur l'axe des abscisses, en commençant à zéro ; $\bullet~$ 1 carreau représente \np{1000} euros sur l'axe des ordonnées, en commençant à \np{15000}. Par lecture graphique, estimer à combien revient la voiture lorsqu'elle atteint \np{80000} km (indiquer les tracés utiles). \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.065cm,yunit=0.0005cm} \begin{pspicture}(-10,13000)(160,32000) \multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,15000)(\n,32000)} \multido{\n=15000+1000}{18}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Oy=15000,Dy=100000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,15000)(160,32000) %\multido{\n=0+10}{17}{\uput[d](\n,15000){\n}} \multido{\n=15000+1000}{18}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\n}}} \uput[d](130,14000){\small Milliers de kilomètres} \uput[ur](0,32000){\small euros} \end{pspicture}\end{center} \vspace{1cm} \textbf{Deuxième partie : le véhicule diesel} \begin{enumerate} \item Sachant que, dans cette même station-service, le litre de gasoil (diesel) est à 0,80 euro le litre : \begin{enumerate} \item Compléter le tableau suivant : {\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Distance parcourue& 100 km&\np{1000} km&50 milliers de km (\np{50000} km)&$x$ milliers de km\\ \hline Nombre de titres consommés & & & & \\ \hline Coût du carburant & & & & \\ \hline Coût global (véhicule + carburant) & & & & \\ \hline \end{tabularx}} \item Déterminer la fonction affine qui représente le coût global (véhicule et carburant) en fonction du nombre $x$ de milliers de kilomètres parcourus depuis l'achat du véhicule à moteur diesel. \end{enumerate} \item Dans le repère orthogonal utilisé à la question précédente, tracer la représentation graphique de la fonction $g : x \longmapsto 44x + \np{21700}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Troisième partie : la discussion} \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, à combien de milliers de kilomètres la dépense globale est-elle la même, quel que soit le véhicule acheté ? (Indiquer le tracé utile.) Retrouver ce résultat par le calcul. \item Monsieur M. souhaite conserver son véhicule 5 ans, en faisant en moyenne \np{25000} km par an. Quel type de motorisation doit-on lui conseiller ? \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie novembre 2004 \hypertarget{Caledonienov}{} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{décembre 2004}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[7pt] novembre 2004}} \vspace{0,25cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Dans chaque cas, indiquer les étapes de calcul. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme d'une fraction irréductible : \[\text{A} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{2} \qquad \text{B} = \dfrac{2 \times 10^{-1}}{10^{-4} \times (10^2)^3}.\] \item écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ est un entier le plus petit possible : \[\text{C} = 3\sqrt{2} - \sqrt{50} + 2\sqrt{18}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On donne l'expression suivante : $D = (4x - 3)^2 - (3x + 1)(4x - 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $D$. \item Factoriser $D$. \item Résoudre l'équation $(4x - 3)(x - 4) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip Résoudre le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c r} 3x + 2y & = & 850\\ 2x + 4y & = & 1\:100\\ \end{array}\right.\] \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), unité 1 cm, on considère les points : \[\text{A}(- 2~;~1)\quad ;\quad \text{B}(-1~ ;~-2)\quad \text{et C}(4~;~3).\] \begin{enumerate} \item Placer les points A, B et C. \item Montrer par le calcul que AC $= \sqrt{40}$. \item Montrer que le triangle ABC est rectangle en A sachant que AB $ = \sqrt{10}$ et BC $ = \sqrt{50}$. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{B}}$, arrondie au degré. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère la figure suivante dans laquelle : \medskip \parbox[l]{0,4\textwidth}{Les points E, A et C sont alignés ; Les points F, A, B sont alignés ; AF = 12 cm ; AC = 5 cm ; AB = 7,5 cm ; AE = 8 cm.}\hfill \parbox[l]{0,55\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(5.2,2) \psline(0,0.3)(5.2,1.7) \psline(0,0.3)(0.8,1.5) \psline(0.8,1.5)(4.1,0) \psline(4.1,0)(5.2,1.7) \uput[dl](0,0.3){B} \uput[u](2.1,0.9){A} \uput[u](0.8,1.5){C} \uput[dr](4.1,0){E} \uput[u](5.2,1.7){F} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. \item Calculer la longueur EF sachant que BC = 3,5 cm. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer un carré EFGH de côté 6 cm. \item Placer le point J tel que : $\vect{\text{FJ}} = \vect{\text{EF}}$. \item Placer le point K tel que : $\vect{\text{FK}} = \vect{\text{EH}} + \vect{\text{EF}}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \bigskip Une agence de location de voitures propose pour la location d'un minibus à la journée, trois tarifs : Tarif A : 50 F par kilomètre parcouru. Tarif B : \np{4500}~F fixe et 20 F par kilomètre parcouru. Tarif C : un forfait de \np{8000}~F (kilomètres illimités). \bigskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Sur votre copie, \textbf{recopier} et compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de kilomètres parcourus &80 &160 &200\\ \hline Prix à payer avec le tarif A & & & \\ \hline Prix à payer avec le tarif B & & & \\ \hline Prix à payer avec le tarif C & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Entourer le tarif le plus avantageux pour chacune des distances parcourues. \item Expliquer pourquoi le prix à payer P$_{\text{C}}$ correspondant au tarif C est constant. Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus en une journée ; exprimer en fonction de $x$, les prix à payer P$_{\text{A}}$ et P$_{\text{B}}$ correspondant respectivement aux tarifs A et B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie II} \medskip \begin{enumerate} \item Sur une feuille de papier millimétré tracer un repère orthogonal (O, I, J). On prendra les unités suivantes : 1 cm pour 10 km sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 500 F sur l'axe des ordonnées. (\textsl{Placer l'origine en bas et à gauche de la feuille}) \item Dans ce repère, tracer les représentations graphiques des fonctions $a,~ b$ et $c$ définies par : \[a(x) = 50x \quad ; \quad b(x)= 20x + \np{4500} \quad \text{et} \quad c(x) = \np{8000}.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie III} \medskip \textsl{Pour les questions suivantes, on ne demande \textbf{aucun calcul} mais on fera apparaître sur le graphique \textbf{les traits de construction} permettant d'y répondre.} \medskip En vous aidant du graphique précédent : \begin{enumerate} \item Indiquer le prix à payer avec le tarif B, pour 100 km. \item Indiquer le nombre de kilomètres que l'on peut parcourir pour \np{6000}~F avec le tarif A. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% Fin Nouvelle-Calédonie décembre 2004 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie mars 2005 \hypertarget{Caledoniemars}{} \lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[7pt] mars 2005}} \vspace{0,5cm} L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Calculer A et B et présenter les résultats sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ entiers et $b$ le plus petit possible : \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~$] A $= 3\sqrt{45} + 2\sqrt{20} - 4\sqrt{80}$; \medskip \item[$\bullet~$] B $= \sqrt{18} \times \sqrt{8} \times \sqrt{50}$. \end{itemize} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le plus grand diviseur commun à 63 et 105 est $d = 21$. Calculer les nombres $a$ et $b$ tel que : \[63 = a \times d \quad \text{et} \quad 105 = b \times d.\] \item Simplifier le plus possible $\dfrac{63}{105}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3} \medskip On pose $A = (2x + 1)^2 - 3(2x + 1)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $A$. \item Factoriser $A$. \item Calculer $A$ pour $x = - \dfrac{2}{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4} \medskip Résoudre le système : \[\left\{\begin{array}{l c r} 2x + 5y&=&4\\ 3x - 2y &=& - 13 \\ \end{array}\right.\] \vspace{0,5cm} \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Voici le schéma simplifié du fonctionnement d'un appareil photographique : un objet [AB] situé à une distance $d$ de l'objectif O a une image [A$'$B$'$] sur la pellicule située à une distance $d'$ de O. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(9,3) \pspolygon(1.7,0.1)(8.1,2.7)(8.1,1)(1.7,1) \psframe(1.7,1)(1.9,0.8)\psframe(8.1,1)(7.9,1.2) \psline(1.7,1)(1.7,2.8) \psline{->}(1.4,2.3)(1.7,2.3) \psline{->}(1,0.5)(1.7,0.5)\psline{->}(2.6,1.7)(3.9,1) \uput[dr](8.1,1){A} \uput[ur](8.1,2.7){B} \uput[dr](3.9,1){O} \uput[l](1.7,1){A$'$} \uput[l](1.7,0.1){B$'$} \uput[u](6.05,1){$d$} \uput[u](2.8,1){$d'$} \rput(0.7,2.3){Pellicule} \rput(9,1.9){Sapin} \psline{->}(8.5,1.9)(8.1,1.9) \rput(2.5,1.8){Objectif} \rput(0.2,0.8){Image} \rput(0.2,0.3){renversée} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Prouver que les droites (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles. \item Démontrer l'égalité : $\dfrac{d}{d'} = \dfrac{\text{AB}}{\text{A}'\text{B}'}$. \item Pour un certain appareil, $d' = 50$~mm. Un sapin d'une hauteur de 12~m se trouve à 15~m de l'objectif. Quelle est la hauteur de l'image qui se forme sur la pellicule ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{minipage}{0.55\linewidth}{ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. Un point S, choisi sur l'arête [AE], permet de définir une pyramide SABCD (de sommet S, de hauteur SA, de volume $V_{1}$) On pose AS $= x~ (0 < x< 6)$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $V_{1} = 12x$. \item Exprimer SE en fonction de $x$. \item Expliquer pourquoi le triangle EFH est rectangle en E. \item Calculer l'aire du triangle EFH. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.4\linewidth} \psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(5,4) \psline(0.5,0)(3.3,0)(4.6,0.4)(4.6,3.2)(3.3,2.8)(3.3,0)%ABCGFB \psline(4.6,3.2)(1.8,3.2)(0.5,2.8)(3.3,2.8)(1.8,3.2)%GHEA \psline(0.5,0)(0.5,2.8)%AE \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(1.8,0.4)(1.8,3.2)%ADH \psline[linestyle=dashed](4.6,0.4)(1.8,0.4)(0.5,1.6)(1.8,3.2)%CDSH \psline(3.3,2.8)(0.5,1.6)%FS \psline[linestyle=dashed](4.6,0.4)(0.5,1.6)%CS \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](3.3,0){B} \uput[dr](4.6,0.4){C} \uput[d](1.8,0.5){D} \uput[l](0.5,2.8){E} \uput[dr](3.3,2.8){F} \uput[r](4.6,3.2){G} \uput[u](1.8,3.2){H} \uput[l](0.5,1.6){S} \end{pspicture} \end{minipage} \emph{Rappel} : $V = \dfrac{1}{3}\text{aire de base} \times \text{hauteur de la pyramide}.$ \vspace{0,5cm} \textbf{PROBLÈME\hfill 12 points} \bigskip \emph{On se placera dans un repère orthonormal} (O ; I, J), \emph{où l'unité est le centimètre et on complétera la figure au fur et à mesure des questions.} \begin{enumerate} \item Tracer ce repère et placer les points: M(4~;~2), P$(-2~;~4)$ et N$(2~;~-4)$. \item Prouver que $\text{PM}^2 = 40$. \item Sachant que $\text{PN}^2 = 80$ et $\text{MN}^2 = 40$, montrer que le triangle MNP est rectangle. \item Placer le point E(2~;~1) sur la figure. \item Vérifier que E est le milieu de [OM]. \item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre E et de diamètre [OM]. \item Soit R(1~;~3) le milieu de [MP]. Sachant que le rayon du cercle est égal à $\sqrt{5}$, vérifier par le calcul que le point R est sur le cercle $\mathcal{C}$. \item En déduire, sans aucun calcul, que le triangle OMR est rectangle (on précisera en quel sommet). \end{enumerate} \end{document}