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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet  2010 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril 2010 à mars 2011}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  avril 2010}  \dotfill 3  \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord juin 2010}   \dotfill 6  \medskip

\hyperlink{Asie}{Asie juin  2010} \dotfill 10  \medskip

\hyperlink{Etranger}{Centres étrangers juin 2010} \dotfill 14 \medskip

\hyperlink{Metropole}{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane juin 2010} \dotfill 18 \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie  juin 2010} \dotfill 24 \medskip

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane sept. 2010} \dotfill 29 \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie  septembre  2010}  \dotfill 34 \medskip  

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud novembre  2010}  \dotfill 38 \medskip

\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle--Calédonie décembre 2010} \dotfill  42\medskip

\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle--Calédonie mars 2011} \dotfill  45\medskip}

\newpage~

\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2011 
\hypertarget{Pondichery}{}

\rfoot{\small{Pondichéry}}
\lfoot{\small{avril 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges ~\decofourright\\
Pondichéry   avril 2010}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

Une classe de 3\up{e} est constituée de 25 élèves.

Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires.

Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe.

\medskip

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Garçon	& Fille	& Total\\ \hline
Externe					&\ldots &3		& \ldots\\ \hline
Demi-pensionnaire		&9		& 11	& \ldots\\ \hline
Total					&\ldots	&\ldots	&25\\ \hline
\end{tabularx}\]
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau.
\item  On choisit au hasard un élève de cette classe.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille ?
		\item Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe ?
		\item Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

On donne :

\[\text{A} = \dfrac{6}{5} - \dfrac{17}{14}\div  \dfrac{5}{7} \qquad  \text{B} = \dfrac{8 \times 10^8 \times 1,6}{0,4 \times 10^{-3}}\qquad 
\text{C} = \left(\sqrt{5} + \sqrt{10}\right)^2 - 10\sqrt{2}.\]
  
\begin{enumerate}
\item  Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  Donner l'écriture scientifique de B.
\item  Montrer que C est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} }

\medskip
Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne réponse.
Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{3}{c|}{Réponses}\\ \hline
	&Questions	&A	&B	&C\\ \hline
1&\begin{tabular}{p{3.65cm}}
Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur $x =-1$ ?\\
\end{tabular} &
$-3x^2$&$6(x + 1)$&$5x^2+ 1$\\ \hline
2&\begin{tabular}{p{3.65cm}}Le développement de \mbox{$(x + 3)(2x + 4) -2(5x + 6)$} est :\\
\end{tabular}&
$2x^2$	&$2x^2 + 20x + 24$	& $2x^2+ 24$\\ \hline
3&
\begin{tabular}{p{3.65cm}}La factorisation de \mbox{$9x^2-16$} est:\\
\end{tabular}&$(3x - 4)^2$&$(3x + 4)(3x - 4)$&$(3x + 4)^2$
	\\ \hline
4&\begin{tabular}{p{3.65cm}}Les solutions de l'équation $(x - 5)(3x + 4) = 0$ sont:\\
\end{tabular}&
$\dfrac{4}{3}$ et 5&$- \dfrac{4}{3}$ et 5&$\dfrac{4}{3}$ et $-5$ \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle ABC tel que : AB = 7,5~cm ; BC = 10~cm et AC = 12,5~cm.
\item  Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF = 5~cm.
		\item Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG = 4~cm.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
\item  Montrer que la longueur FG est égale à 3~cm.
\item  Les droites (FG) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip
En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés erlenmeyers, comme celui schématisé ci -dessous.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,0)(2.5,6)
\pscurve[linewidth=1.25pt](-1.95,0.9)(-2.,0.8)(-1.5,0.3)(-1,0.12)(0,0)(1,0.12)(1.5,0.3)(2.,0.8)(1.95,0.9)
\psline(-2,0.85)(-0.8,3.8)(-0.8,5.7)
\psline(2,0.85)(0.8,3.8)(0.8,5.7)
\psellipse[linestyle=dashed](0,0.8)(2,0.8)
\psline[linestyle=dashed](-0.8,3.8)(0,5.7)(0.8,3.8)
\psellipse(0,5.7)(0.8,0.3)
\psellipse[linestyle=dashed](0,3.78)(0.8,0.3)
\pscurve[linewidth=1.pt](-0.8,3.8)(-0.7,3.66)(-0.6,3.58)(-0.4,3.53)(0,3.5)(0.4,3.53)(0.6,3.58)(0.7,3.66)(0.8,3.8)
\uput[l](-2,3.8){Niveau maximum de l'eau}
\psline[linestyle=dashed](0,5.7)(0,0.8)(2,0.8)
\psline[linestyle=dashed](-0.8,3.8)(0.8,3.8)
\psline(0,3.95)(0.15,3.95)(0.15,3.8)
\psline(0,0.95)(0.15,0.95)(0.15,0.8)
\uput[ul](0,5.6){S} \uput[ul](0.05,3.8){O$'$} \uput[ur](0.8,3.8){B$'$}
\uput[l](0,0.8){O} \uput[r](2,0.8){B}
\psline{->}(-2,3.8)(-1,3.8)
\end{pspicture}
\end{center}


Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par une flèche.

On note :

\quad  C$_{1}$ le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB.

\quad  C$_{2}$ le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O$'$ et de rayon O$'$B$'$.

On donne : SO = 12~cm et OB = 4~cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le volume $V$ d'un cône de révolution de rayon $R$ et de hauteur $h$ est donné par la formule :

\[ V = \dfrac{1}{3}\times \pi \times R^2 \times h\]

Calculer la valeur exacte du volume du cône C$_{1}$.
\item  Le cône C$_{2}$ est une réduction du cône C$_{1}$. On donne SO$'$ = 3~cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le coefficient de cette réduction ?
		\item  Prouver que la valeur exacte du volume du cône C$_{2}$ est égale à $\pi$~cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire que la valeur exacte du volume d'eau contenue dans le récipient, en cm$^3$, est $63\pi$. 
		\item  Donner la valeur approchée de ce volume d'eau arrondie au cm$^3$ près. 
	\end{enumerate}
\item Ce volume d'eau est-il supérieur à 0,2~litres ? Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les trois parties sont indépendantes}
\end{center}

\textbf{Partie 1}

\medskip

Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Offre A : 1,20~\euro{} par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
\item Offre B : 0,50~\euro{} par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction du nombre $x$ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A. 
		\item  Exprimer, en fonction du nombre $x$ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B.
	\end{enumerate}
\item  Soit $f$ et $g$ les deux fonctions définies par : 

\[f : \quad x \longmapsto 1,2x\quad  \text{et} \quad  g : \quad  x \longmapsto 0,5x+35.\]

	\begin{enumerate}
		\item  L'affirmation ci-dessous est-elle correcte? Expliquer pourquoi.
		
\og $f$ et $g$ sont toutes les deux des fonctions linéaires \fg.
		\item  Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$. On prendra 1 cm pour 10~morceaux en abscisse et 1~cm pour 10~\euro{} en ordonnée.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.
\item  Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.
\item  Si on dépense 80~\euro, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On admet qu'un morceau de musique représente 3 Mo de mémoire. (1 Mo = 1 méga-octet)

\begin{enumerate}
\item  Combien de morceaux de musique peut-on télécharger sur une clé USB d'une capacité de stockage de 256 Mo ?

La vitesse de téléchargement d'un morceau de musique sur le site est de 10 Mo/s. (méga-octet par seconde)
\item  Combien de morceaux peut-on télécharger en deux minutes ?
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
Les créateurs du site réalisent une enquête de satisfaction auprès des internautes clients.

Ils leur demandent d'attribuer une note sur 20 au site.

Le tableau suivant donne les notes de 50 internautes.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note	&6	&8	&10	&12	&14	&15	&17\\ \hline
Effectif&1	&5	&7	&8	&12	&9	&8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la note moyenne obtenue par le site. Arrondir le résultat à l'unité.
\item  L'enquête est jugée satisfaisante si 55\:\% des internautes ont donné une note supérieure ou égale à 14. Est-ce le cas? Expliquer pourquoi.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2011 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord juin 2010
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{10 juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord 10 juin 2010~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les 7 questions suivantes sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire la fraction $\dfrac{84}{126}$ sous forme irréductible en détaillant tous les calculs. 
\item Donner l'écriture scientifique du nombre 	$\dfrac{6 \times 10^{12} \times 35 \times 10^{-4}}{14 \times 10^3}$	 (avec au moins une étape de 
calcul). 
\item Écrire l'expression $\sqrt{20} - \sqrt{15^2 \times 5} + 2\sqrt{45}$ sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier relatif (indiquer toutes les étapes de votre calcul). 
\item  Voici les tarifs pratiqués dans deux magasins: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Magasin A : 17,30~\euro{} la cartouche d'encre, livraison gratuite. 
\item Magasin B : 14,80~\euro{} la cartouche d'encre, frais de livraison de 15~\euro{}  quel que soit le nombre de cartouches achetées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Écrire et résoudre l'équation permettant de déterminer le nombre de cartouches d'encre pour lequel les deux tarifs sont identiques. 
\item On rappelle l'identité remarquable suivante : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. En déduire la forme développée de l'expression $(2x- 3)^2$. 
\item Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre $\sqrt{5+ 3} - 6 \sqrt{11}$. 
\item On rappelle l'identité remarquable suivante : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

En déduire la forme factorisée de l'expression $(7x + 2)^2 - 25$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

M. Dubois fait construire une maison et aujourd'hui il visite le chantier.

Il observe un électricien.
 
Il constate que celui-ci a, à coté de lui, 2 boîtes.
 
Dans la première il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat.

Dans la deuxième il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à bout plat.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout rond ?
 
\item L'électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées.
 
Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte puis une vis dans la deuxième boîte. 
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont les différents tirages possibles ? 
		\item  Montrer qu'il a plus d'une chance sur deux d'obtenir deux vis différentes. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Sur le chantier de sa future maison, M. Dubois croise un maçon qui semble avoir des difficultés à porter une tige d'acier pleine, de forme cylindrique.
 
Cette tige mesure 1,5~m de long et a un rayon de base de 4~cm.
\medskip

\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1)
\psellipse(0.2,0.5)(0.2,0.5)
%\psellipse(10,0.5)(0.2,0.5)
\pscurve(10,0)(10.1,0.125)(10.15,0.25)(10.19,0.375)(10.20,0.5)(10.19,0.625)(10.15,0.75)(10.1,0.875)(10,1)
\psline(0.2,1)(10.,1)
 \psline(0.2,0)(10.,0)
\psline(0.30,0.125)(10.1,0.125)
\psline(0.35,0.25)(10.15,0.25)
\psline(0.39,0.375)(10.19,0.375)
\psline(0.40,0.5)(10.20,0.5)
\psline(0.39,0.625)(10.19,0.625)
\psline(0.35,0.75)(10.15,0.75)
\psline(0.30,0.875)(10.1,0.875)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de cette tige arrondie au cm$^3$ près. 
\item L'acier a une masse volumique de 7,85 g/cm$^3$. Calculer la masse de cette tige arrondie au kg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Un plaquiste souhaite recouvrir un mur rectangulaire avec des plaques isolantes.

Ce mur mesure 270~cm de haut sur 330~cm de large.
 
Les plaques isolantes doivent être de forme carrée, les plus grandes possibles et il ne veut pas de chutes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres $330$ et $270$ en indiquant la méthode utilisée. 
\item En déduire les dimensions d'une de ces plaques isolantes et le nombre de plaques nécessaires.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
À l'intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre : 

\emph{La figure n'est pas aux bonnes dimensions.}

\medskip

\parbox{0.52\linewidth}{Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point d'intersection de cette perpendiculaire avec [EC].

Il a également tracé [AC].

Il a mesuré AB = 115 cm, BC = 80 cm,

DC = 100 cm,  ED=20 cm,

AC = 140 cm et 	AF=28 cm.

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier. 
 
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
 
\item Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=0.82cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\pspolygon(0,5.8)(2,0)(6.5,1.5)(6.4,5)(1.3,5)%FECBA
\uput[u](0,5.8){F} \uput[dl](2,0){E} \uput[dr](6.5,1.5){C} 
\uput[dr](2.9,0.3){D} \uput[ur](6.4,5){B} \uput[u](1.3,5){A} 
\psline[linestyle=dashed](2.9,0.3)(1.3,5)(6.5,1.5)%DAC
\psline(3.2,0.4)(3.1,0.65)(2.8,0.54)
\end{pspicture}} 
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Les deux parties sont indépendantes.

\bigskip
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
M. Dubois réfléchit à son déménagement.

Il a fait réaliser deux devis :

\begin{enumerate}
\item L'entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe.
 
Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel serait le coût pour un volume de 20 m$^3$ ? Vous laisserez vos tracés apparents. 
		\item  Le coût est-il proportionnel au volume transporté ? Justifier. 
Soit $g$ la fonction qui à $x$, volume à déménager en m$^3$, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise B lui a communiqué une formule : $f(x) = 10x + 800$ où $x$ est le volume $\left(\text{en~m}^3\right)$ à transporter et $f(x)$ le prix à payer (en \euro). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(80)$. Que signifie le résultat obtenu ? 
		\item Déterminer par le calcul l'antécédent de \np{3500} par la fonction $f$. 
		\item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur le graphique présenté en annexe.
	\end{enumerate} 
\item M. Dubois estime à 60~m$^3$ le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 442~km de son actuel domicile, M. Dubois part de chez lui à 10~h~00 du matin. Il roule 2~h~30 min, fait une pause de 80~minutes, puis roule à nouveau 1~h~45~min avant d'arriver au chantier.
 
À quelle heure arrive-t-il au chantier ? Justifier la réponse. 
\item Le camion des déménageurs a mis 6~h~30 pour réaliser ce trajet. A quelle vitesse, en moyenne, a-t-il roulé ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE\\
\vspace{1cm}
ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.006cm}
\begin{pspicture}(90,2700)
\multido{\n=0+5}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2700)}
\multido{\n=0+50}{55}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=3000]{->}(0,0)(90,2700)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{86.66}{30 x mul}
\uput[u](85,0){volume en m$^3$}\uput[r](0,2700){coût en euros}
\rput(85,2700){Société A}
\multido{\n=0+100}{27}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin  2010
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Asie juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

On donne les nombres suivants : 
	  	 
A $= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{15} \quad \text{B} = \dfrac{6 \times  10^{-2} \times 5 \times 10^2}{1,5 \times  10^{-4}}\quad \text{et} \quad  \text{C} = \sqrt{12} -  5\sqrt{3}  + 2\sqrt{48}$.

\medskip
 
\emph{Pour les trois questions suivantes, on écrira au moins une étape de calcul.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 
\item Calculer B et donner le résultat sous forme scientifique. 
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule est exacte.}

\medskip
 
Pour chacune des quatre questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.15cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&Proposition 1 &Proposition 2 &Proposition 3\\ \hline 
1&\begin{tabular}{l} L'expression $(2x - 5)^2$\\
a pour forme développée :\\
\end{tabular}&$4x^2 -25$& $4x^2 - 20x - 25$&$4x^2 - 20x + 25$\\ \hline
2 &\begin{tabular}{l}L'expression $9x^2 - 144$\\
a pour forme factorisée :\\ \end{tabular}&$(3x - 12)(3x + 12)$ &$(3x -12)^2$ &$(9x - 12)(9x + 12)$ \\ \hline
3&\begin{tabular}{l}L'équation $- 3x + 7 = 0$\\
a pour solution :\\
\end{tabular}&$\dfrac{- 7}{3}$&$\dfrac{7}{3}$&$\dfrac{- 3}{7}$\\ \hline 
4&\begin{tabular}{l}La partie en gras représente\\
 les solutions de l'inéquation\\
$5x + 3 \geqslant 2x + 9$\\ \hline
\end{tabular}&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{[-}(2,0)(4,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}\multirput(-0.5,0)(0.25,0){10}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{-]}(-0.5,0)(2,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](2,0){2}\multirput(2,0)(0.25,0){8}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,0.5)
\psline(-0.5,0)(4,0)\psline[linewidth=1.5pt]{]-}(1,0)(4,0)\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\multirput(-0.5,0)(0.25,0){6}{\psline(0.15,0.15)(-0.154,-0.15)}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Dans un magasin, tous les articles d'une même catégorie sont au même prix. 

Pierre et Clothilde décident d'y acheter des DVD et des bandes dessinées.

Ils possèdent chacun 75~\euro. Pierre achète un DVD et 4 bandes dessinées; il lui reste 14,50~\euro.
 
Clothilde dépense 73,50~\euro{} pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
 
Calculer le prix de chaque article. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités g\'eométriques} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{On considère la figure ci-contre :
 \begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABO est rectangle. 
\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
\item Le triangle OCD est-il rectangle? Justifier.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\pspolygon(0,4)(6.3,2)(5.7,0)(0.5,5.7)
\uput[dl](0,4){A} \uput[ur](6.3,2){C} \uput[dr](5.7,0){D} \uput[ur](0.5,5.7){B} \uput[ur](2.9,3){O}
\rput(0,4.85){3,6}\rput(1.8,4.55){6}\rput(4.6,2.75){6}\rput(4.1,1.4){7,5}\rput(1.4,3.2){4,8} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Lors d'une intervention, les pompiers doivent atteindre une fenêtre F située à 18 mètres au-dessus du sol en utilisant leur grande échelle [PF]. Ils doivent prévoir les réglages de l'échelle.
 
Le pied P de l'échelle est situé sur le camion à 1,5~m du sol et à 10~m de l'immeuble. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(2,4.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.3,0.3)(8.1,0.3)(8.1,0.7)(5.1,0.7)(5.1,1.4)(4.3,1.4)
\uput[d](2,0){S}\uput[dr](2,0.6){R}\uput[ur](7.3,0.7){P}\uput[ur](2,3.9){F}
\psline(0,0)(12,0)
\pscircle(4.8,0.2){0.2}\pscircle(6.9,0.2){0.2}\pscircle(7.5,0.2){0.2}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.75pt](2,0.7)(7.3,0.7)
\psline[linewidth=1.75pt](7.3,0.7)(2,3.9)
\uput[r](3,4.5){\emph{Le dessin n'est pas réalisé à l'échelle.}}
\uput[r](9,1.5){FS = 18 m}
\uput[r](9,2.5){RS = 1,5 m}
\uput[r](9,3.5){RP = 10~m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D'après les informations ci-dessus, déterminer la longueur RF.  
\item Déterminer l'angle que fait l'échelle avec l'horizontale, c'est-à-dire $\widehat{\text{FPR}}$, arrondi à l'unité. 
\item L'échelle a une longueur maximale de 25 mètres.
 
Sera-t-elle assez longue pour atteindre la fenêtre F ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Problème \hfill 12 points}

\medskip
  
\emph{On rappelle les formules suivantes :}
 
\emph{Périmètre d'un cercle de rayon} $R$ :  $2\pi R$ 

\emph{Aire d'un disque de rayon} $R$ :  $\pi R^2$
 
\emph{Volume d'un cône :}  $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Un cocktail sans alcool est préparé avec 8~cL de jus d'abricot, 6~cL de jus d'ananas, 2~cL de jus de citron vert et 2~cL de sirop de cerise.
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la proportion de jus d'abricot dans ce cocktail ? 
\item Pour préparer un pichet contenant 2,7~litres de ce cocktail, quel quantité de jus d'abricot faut-il prévoir ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
 
\parbox{0.53\linewidth}{Lors d'une fête, une personne sert ce cocktail dans des verres qui ont la forme d'un cône de révolution.
 
Le bord du verre est un cercle de rayon 

OC = 5,9 cm. 

Ce cercle est situé dans un plan horizontal.
 
La droite (OS), axe du cône, est verticale et OS = 6,8 cm. 

\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}}\hfill
\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,4.5)
\psellipse(2.5,0.2)(1.15,0.2)
\psellipse(2.5,3.7)(2.45,0.55)
\psellipse[linestyle=dashed](2.5,2.7)(1.25,0.3)
\psline(0.2,3.5)(2.5,1.7)(4.8,3.5)
\psline(2.5,1.7)(3.8,3.22)(2.5,3.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,1.7)(3.18,2.45)(2.5,2.7)
\uput[dl](2.5,1.7){S}\uput[u](2.5,3.7){O}\uput[ur](3.7,3.3){C}
\uput[l](2.5,2.7){O$'$}\uput[u](3.15,2.4){C$'$}
\psline(2.5,0.2)(2.5,3.7)
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en cm$^3$, le volume de ce verre, arrondi à l'unité.
		\item  En déduire que la contenance de ce verre est d'environ 25~cL.		 
	\end{enumerate}
	\emph{On utilisera cette valeur dans la suite du problème.}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, le serveur remplit les verres aux quatre cinquièmes de leur hauteur.
		 
On admet que le liquide occupe un cône de hauteur SO$'$ dont la base est le disque de rayon O$'$C$'$. On considère que ce disque est horizontal comme le bord du verre.
 
Calculer le volume de cocktail contenu dans chaque verre. On donnera le résultat au centilitre près. 
		\item 43 personnes sont attendues à cette fête. Sachant qu'en moyenne, chacune d'elles consommera 3~verres, 20~litres de cocktail suffiront-ils ?
	\end{enumerate} 
\item Le graphique fourni en annexe  représente les variations du volume de cocktail contenu dans le verre en fonction de la hauteur de liquide. 
	\begin{enumerate}
		\item Le volume est-il proportionnel à la hauteur de liquide ? Justifier la réponse. 
		\item  Par lecture graphique, en faisant apparaître les tracés utiles, déterminer : 
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le volume de cocktail si la hauteur de liquide atteint 3~cm. 
\item[$\bullet~$] La hauteur de liquide si le volume servi est 17~cL.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\bigskip

\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Problème : partie 2  : question 3}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(8,26)
\uput[d](8,0){$h$ (cm)} \uput[r](0,26){Volume en cL}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{0.0593473 x 3 exp mul}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,26)}
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n,26)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(8,26)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin  2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers juin 2010 
\hypertarget{Etranger}{}

\lfoot{Centres étrangers Liban}
\rfoot{juin 2010}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 \begin{center}
{\Large \textbf{Brevet Centres étrangers Liban juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

On propose deux programmes de calcul 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X}
\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c}{Programme B}\\
Choisir un nombre. &Choisir un nombre.\\ 
Ajouter 5.& Soustraire 7.\\ 
Calculer le carré du résultat obtenu.& Calculer le carré du résultat obtenu.\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit $5$ comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est $4$. 
\item On choisit $-2$ comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ? 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ? 
		\item Quels nombres faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ?
	\end{enumerate} 
\item Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la m\^eme probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge. 
\item Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune. 
\item Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes.
 
Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ? 
\item On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10~boules rouges, 6~boules noires, 4~boules jaunes et les boules bleues. 

On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{1}{5}$, calculer le nombre de boules bleues.  
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire \`a choix multiples (QCM.) Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.}

\medskip
 
Pour chaque question, indiquer sur la copie son numéro et recopier la réponse exacte.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = - 2x + 3$}\\ \hline 
\textbf{1.} $f(x)$ est de la forme $ax + b$.
 La valeur de $a$ est : &3&$-2 $&2\\ \hline
\textbf{2.} L'image de $0$ par $f$ est : &1& 1,5& 3\\ \hline
\textbf{3.} La droite qui représente la fonction $f$ passe par le point&
A$(-1~;~1)$ &B$(-1~;~5)$& C$(1~;~-18)$\\ \hline
\textbf{4.} L'antécédent de $4$ par la fonction $f$ est :&$-5$&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{7}{2}$&$- \dfrac{1}{2}$\\ \hline 
\textbf{5.} La droite qui représente la fonction $f$ coupe l'axe des ordonnées en&D(1,5~;~0) &E(0~;~3)&F(0~;~2)\\ \hline
\end{tabularx} 

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Compléter le tableau donné en annexe.

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(10,4)
\pspolygon(0.3,1.9)(1,0.2)(8.5,3.4)(9.7,0.85)%EDAC
\rput{19}(1,0.2){\psframe(0.25,0.25)}
\rput(5,-0.5){Figure 1}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0.3,1.9)(1,0.2)(8.5,3.4)(9.7,0.85)(4.03,1.52)
\uput[u](0.3,1.9){E} \uput[dr](1,0.2){D} \uput[ur](8.5,3.4){A} \uput[dr](9.7,0.85){C} \uput[u](4.05,1.55){B} 
\rput(5,3.5){(AC) // (DE)}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(6,5.5)
\pscircle(3.3,2.6){2.55}
\pspolygon(1,1.5)(5.45,1.2)(3.3,5.15)
\psline(5.45,1.2)(0.8,3.2)
\uput[dl](1,1.5){A} \uput[r](5.45,1.2){C} \uput[u](3.3,5.15){E} \uput[ul](0.8,3.2){B}
\psarc(3.3,5.15){6mm}{-120}{-60}\rput(3.3,4){60 \degres}
\psarc(5.45,1.2){6mm}{155}{176}\rput(4.2,1.5){20 \degres}
\rput(1,0.25){Figure 2} 
\end{pspicture}\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.5)
\pspolygon(1.8,0.6)(4.6,0.6)(1.4,3.9)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.8,0.6)(4.6,0.6)(1.4,3.9)
\uput[dl](1.8,0.6){A} \uput[dr](4.6,0.6){B} \uput[u](1.4,3.9){C}
\uput[d](3.2,0.6){4,5 cm} \uput[ur](3.1,2.4){7,5 cm}\uput[l](1.5,2.5){5,5 cm}
\rput(2.5,-0.5){Figure 3}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.5)
\pspolygon(0.7,0.5)(3.5,1.2)(4.1,4)(1.3,3.3)%DCBE
\psline(0.7,0.5)(4.1,4)%DB
\psline(3.5,1.2)(1.3,3.3)%EC
\uput[ul](0.7,0.5){D} \uput[dr](3.5,1.2){C} \uput[ur](4.1,4){B} \uput[ul](1.3,3.3){E} \uput[u](2.4,2.3){A} \rput(2.5,-0.5){Figure 4}
\rput(2.5,0){BCDE est un losange de centre A}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Rappel : volume d'une pyramide =} $\dfrac{(aire~ de~ la~ base) \times  hauteur}{3}$

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
ABCDEFGH est un cube d'arête AB = 12 cm.

I est le milieu du segment [AB] ;
 
J est le milieu du segment [AE] ;
 
K est le milieu du segment [AD]·
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle AIK. 
\item Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI. 
\item Quelle fraction du volume du cube représente 
le volume de la pyramide AIKJ ? Écrire le résultat sous forme d'une fraction de numérateur $1$. 
\item Tracer le patron de la pyramide AIKJ. 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(4.1,4.1)%EHDA
\psline(4.1,0)(5.3,1.2)(5.3,5.3)(4.1,4.1)%HGCD
\psline(5.3,5.3)(1.2,5.3)(0,4.1)%CBA
\psline(0.6,4.7)(2.05,4.1)(0,2.05)%IKJ
\psline[linestyle=dashed](0.6,4.7)(0,2.05)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1.2)(5.3,1.2)%EFG
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.2)(1.2,5.3)%FB
\uput[ul](0,4.1){A} \uput[ul](1.2,5.3){B} \uput[ur](5.3,5.3){C} 
\uput[ul](4.1,4.1){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[l](1.2,1.2){F} 
\uput[r](5.3,1.2){G} \uput[dr](4.1,0){H} \uput[ul](0.6,4.7){I} 
\uput[l](0,2.05){J} \uput[u](2.05,4.1){K}  
\end{pspicture}}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Questions enchaînées

\bigskip
 
\emph{On pourra utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer le problème}

\medskip
 
Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le centimètre.

\medskip
  
ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, BC = 10 cm et ABC = 120~\degres.
 
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H.
 
\emph{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psline(0,0.5)(10,0.5)
\pspolygon(0,0.5)(5,0.5)(6.5,3.2)%CBA
\psline[linestyle=dashed](6.5,3.2)(6.5,0.5)
\psframe(6.5,0.5)(6.75,0.75)
\uput[ur](6.5,3.2){A} \uput[d](5,0.5){B} \uput[d](0,0.5){C} \uput[d](6.5,0.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure en vraie grandeur. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$. En déduire que BH = 3. 
		\item Prouver que AH $= 3\sqrt{3}$, puis calculer l'aire du triangle ACH (on donnera la valeur exacte). 
		\item  Prouver que AC = 14.
	\end{enumerate} 
\item M est un point du segment [BC] tel que CM = 6,5.
 
La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la figure. 
		\item Prouver que NM $= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 
 
		\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
\medskip
 
Déterminer l'aire du trapèze AHMN. Donner une valeur approchée à l'unité près de cette aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\medskip
 
\textbf{ANNEXE}

\bigskip
 
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Figure 1 &Figure 2 &Figure 3 &Figure 4\\ \hline 
Le triangle ABC est rectangle en A ? &\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}$\Box$  Oui\\ $\Box$ Non\\
\end{tabular}\\ \hline
Numéro(s) de la ou des propriétés permettant de le prouver&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}
 
\textbf{Liste des propriétés :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. 
\item Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. 
\item Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle. 
\item  Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180~\degres. 
\item Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre. 
\item Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange. 
\item Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure. 
\item Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole, La Réunion juin 2010 
\hypertarget{Metropole}{}

\lfoot{Métropole - La Réunion - Mayotte}
\rfoot{29 juin 2010}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{center}
    {\Large \textbf{Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte  29 juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques}\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

On considère le programme de calcul ci-dessous :

\parbox{0.48\linewidth}{
\fbox{\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] choisir un nombre de départ
\item[$\bullet~$] multiplier ce nombre par $(- 2)$
\item[$\bullet~$] ajouter $5$ au produit
\item[$\bullet~$] multiplier le résultat par $5$
\item[$\bullet~$] écrire le résultat obtenu.
\end{itemize}\end{minipage}}
}
\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, lorsque le nombre de départ est $2$,
on obtient $5$.
		\item Lorsque le nombre de départ est $3$, quel résultat
obtient-on ?
 	\end{enumerate}
\item Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le
résultat obtenu soit $0$ ?
\item Arthur prétend que, pour n'importe quel nombre de
départ $x$, l'expression $(x - 5)^2 - x^2$ permet d'obtenir le
résultat du programme de calcul.
	
A-t-il raison ?
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2 }

\medskip

L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litres) obtenu à partir d'un volume d'eau liquide (en litres).

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(11.5,16)
\uput[d](5.75,-1.4){volume de l'eau liquide (en L)}
\rput{90}(-0.9,7){volume de la glace (en L)}
\rput(5.5,15){\textbf{Volume de la glace en litre en fonction du volume d'eau liquide en litre}}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=10000]{0}{11.5}{1.08 x mul}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(11.5,14)
\multido{\n=0.5+1.0}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(11.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(11.5,14)
\end{pspicture*}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le volume de glace obtenu à partir de $6$~litres de liquide ?
		\item Quel volume d'eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10~litres de glace ?
 	\end{enumerate}
\item Le volume de glace est-il proportionnel au volume d'eau liquide ? Justifier.
\item On admet que $10$~litres d'eau donnent $10,8$~litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau augmente-t-il en gelant ?
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill  12 points}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 }

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Dans la figure ci-contre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] ABCD est un carré de côté 9 cm ;
\item[$\bullet~$] les segments de même longueur
sont codés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(9.25,9.25)
\psframe(0,0)(9,9)
\pspolygon(3,0)(6,0)(9,3)(9,6)(6,9)(3,9)(0,6)(0,3)
\uput[ul](0,9){A} \uput[ur](9,9){B} \uput[dr](9,0){C} \uput[dl](0,0){D} 
\uput[u](3,9){I} \uput[u](6,9){J} \uput[r](9,6){K} \uput[r](9,3){L} 
\uput[d](6,0){M} \uput[d](3,0){N} \uput[l](0,3){O} \uput[l](0,6){P}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.5,0)(4.5,0)(7.5,0)(1.5,9)(4.5,9)(7.5,9)(0,1.5)(0,4.5)(0,7.5)(9,1.5)(9,4.5)(9,7.5) 
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer JK.
		\item L'octogone IJKLMNOP est-il un octogone régulier ? Justifier la réponse.
		\item Calculer l'aire de l'octogone IJKLMNOP.
 	\end{enumerate}
\item Les diagonales du carré ABCD se coupent en S.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur la figure en vraie grandeur le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.
		\item Le disque de centre S et de diamètre 9 cm a-t-il une aire supérieure à l'aire de l'octogone ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{SABC est une pyramide de base triangulaire
ABC telle que :

AB = 2 cm ; AC = 4,8 cm ; BC = 5,2 cm.

La hauteur SA de cette pyramide est 3~cm.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(5.5,5)
\pspolygon(0.5,1.3)(0.5,3.8)(3.5,1.3)%ASC
\psline(0.5,1.3)(0,0)(3.5,1.3)%ABC
\psline(0.5,3.8)(0,0)%SB
\psframe(0.5,1.3)(0.7,1.5)
\psline(0.5,1.5)(0.4,1.3)(0.4,1.07)
%\psline(0.7,1.3)(0.6,1.1)(0.44,1.1)
\uput[u](0.5,3.8){S} \uput[dr](0.6,1.2){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[r](3.5,1.3){C} 
\end{pspicture}}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC à partir des deux points B et C donnés sur l'annexe 1.
\item  Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
\item  On veut construire un patron en vraie grandeur
de la pyramide SABC.

Le début de ce patron est dessiné ci-contre à main levée.
Compléter le dessin de la feuille annexe 1 pour obtenir
le patron complet, en vraie grandeur de la pyramide.
\item  Calculer le volume de SABC en cm$^3$.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule : $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$  où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,5)
\pscurve(7.8,2)(5.4,3.6)(3,5)
\pscurve(3,5)(3.1,3.5)(3,2)
\pscurve(3,2)(3.1,1)(3,0)
\pscurve(3,0)(1.5,0.9)(0,2)
\pscurve(0,2)(1.5,2.1)(3,2)
\pscurve(3,2)(5.4,1.9)(7.8,2)
\pscurve(7.8,2)(5.4,0.85)(3,0)
\psframe(3,2)(3.2,2.2)
\psframe(3,2)(2.8,1.8)
\uput[ul](3,2){A} \uput[d](3,0){B}\uput[r](7.8,2){C}\uput[u](1.5,2){3}
\uput[l](3,3.5){3} \uput[r](3,1){2}\uput[u](5.4,2){4,8}\uput[dr](5.4,1){5,2}
\end{pspicture}}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill  12 points}

\medskip

Une entreprise doit rénover un local.

Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m
et la hauteur sous plafond est 2,80 m.

Il comporte une porte de 2 m de haut sur 0,80~m de large et trois baies vitrées de 2~m de haut sur 1,60~m de large.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(10.5,5.5)
\psframe(1.5,0)(7.3,2.5)
\psframe(4,0)(4.8,2)
\psline(7.3,0)(9.8,3.1)(9.8,5.6)(7.3,2.5)
\psline(9.8,5.6)(4,5.6)(1.5,2.5)
\psline(8.1,1)(8.1,3.1)(8.9,4)(8.9,2)
\psline(8.5,1.5)(8.5,3.58)
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(4,3.1)(9.8,3.1)
\psline[linestyle=dashed](4,3.1)(4,5.6)
\psline[linestyle=dashed](2.3,1)(2.3,3.1)(3.1,4)(3.1,2)
\psline[linestyle=dashed](2.7,1.5)(2.7,3.58)
\psframe[linestyle=dashed](5.8,3.1)(7.4,5)
\psline[linestyle=dashed](6.6,3.1)(6.6,5)
\psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=4pt 5]{<->}(1.2,0)(1.2,2.5)\uput[l](1.2,1.25){2,80 m}
\psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=4pt 5]{<->}(1.5,-0.2)(7.3,-0.2)\uput[d](4.4,-0.2){6,40 m}
\psline[linewidth=0.4pt,arrowsize=4pt 5]{<->}(7.6,0)(10.1,3.1)\uput[r](8.85,1.55){5,20 m}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Première partie :}

\medskip

\textbf{Peinture des murs et du plafond}
\end{center}

Les murs et le plafond doivent être peints. L'étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{tabular}{c}Peinture pour murs et plafond\\
Séchage rapide\\
Contenance : 5 litres\\
~\\
Utilisation recommandée :\\
1 litre pour 4 m$^2$\\
\end{tabular}
\end{minipage}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du plafond.
		\item Combien de litres de peinture faut-il pour peindre le plafond ?
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la surface de mur à peindre est d'environ 54~m$^2$.
		\item Combien de litres de peinture faut-il pour peindre les murs ?
 	\end{enumerate}
\item De combien de pots de peinture l'entreprise doit-elle disposer pour ce chantier ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Deuxième partie}
 
\medskip

\textbf{Pose d'un dallage sur le sol}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item  Déterminer le plus grand diviseur commun à $640$ et $520$.
\item Le sol du local doit être entièrement recouvert par des dalles carrées de même dimension.
L'entreprise a le choix entre des dalles dont le côté mesure 20~cm, 30~cm, 35~cm, 40~cm ou 45~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi ces dimensions, lesquelles peut-on choisir pour que les dalles puissent être
posées sans découpe ?
		\item Dans chacun des cas trouvés combien faut-il utiliser de dalles ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\begin{center}
\textbf{Troisième partie :}

\medskip

\textbf{Coût du dallage}
\end{center}

Pour l'ensemble de ses chantiers, l'entreprise se fournit auprès de deux grossistes. Les tarifs proposés pour des paquets de 10 dalles sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] Grossiste A : 48~\euro{} le paquet, livraison gratuite.
\item[] Grossiste B : 42~\euro{} le paquet, livraison 45~\euro{} quel que soit le nombre de paquets.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix pour une commande de 9 paquets :
	\begin{enumerate}
		\item avec le grossiste A ?
		\item avec le grossiste B ?
 	\end{enumerate}
\item Exprimer en fonction du nombre $n$ de paquets :
	\begin{enumerate}
		\item le prix PA en euros d'une commande de $n$ paquets avec le grossiste A ;
		\item le prix PB en euros d'une commande de $n$ paquets avec le grossiste B.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement chacun de ces deux prix en fonction de $n$ dans le repère donné sur la feuille annexe 2.
		\item Quel est, selon le nombre de paquets achetés, le tarif le plus avantageux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe 1}

\bigskip

\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{3.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,12)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](3,1)(7,2.4)
\psline(3,1)(7,2.4)
\uput[d](3,1){B} \uput[d](7,2.4){C} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe 2}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\end{center}

\medskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{3. a.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(10,500)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50](0,0)(10,500)
\uput[d](5,-25){Nombre de paquets}
\rput{90}(-1.2,250){Prix en euros}
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+5}{101}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole, La Réunion juin 2010 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie  juin 2010 
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 2010~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de $120$ et $144$ par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires. 
\item Un vendeur possède un stock de $120$~flacons de parfum au tiare et de $144$~savonnettes au monoï.
 
Il veut écouler tout ce stock en confectionnant le plus grand nombre de coffrets \og Souvenirs de Polynésie \fg{} de sorte que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le nombre de flacons de parfum au tiare soit le même dans chaque coffret; 
\item[$\bullet~$] le nombre de savonnettes au monoï soit le même dans chaque coffret; 
\item[$\bullet~$] tous les flacons et savonnettes soient utilisés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Trouver le nombre de coffrets à préparer et la composition de chacun d'eux.

\medskip
 
\emph{L'évaluation de cette question tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes; les faire apparaître sur la copie.}

\medskip
 
\item L'algorithme des soustractions successives permet de trouver le PGCD de deux entiers donnés.
 
Il utilise la propriété suivante : 

\og $a$ et $b$ étant deux entiers positifs tels que $a$ supérieur à $b$,

PGCD $(a~;~b)$ = PGCD $(b~;~a - b)$. \fg
 
Sur un tableur, Heiarii a créé cette feuille de calcul pour trouver le PGCD de \np{2277} et \np{1449}.

\medskip

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B& C\\ \hline 
1 & $a$&$b$& $a - b$\\ \hline  
2 &\np{2277}&\np{1449} 	&828\\ \hline  
3 &\np{1449}&828 		&621\\ \hline  
4 &828 		&621 		&207\\ \hline  
5 &621 		&207 		&414 \\ \hline 
6 &414 		&207 		&207 \\ \hline 
7 &207 		&207 		&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant sa feuille de calcul, dire quel est le PGCD de \np{2277} et \np{1449}. 
		\item Quelle formule a-t-il écrite dans la cellule C2 pour obtenir le résultat indiqué dans cette cellule par le tableur ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
Sur le manège \og Caroussel \fg, il y a quatre chevaux, deux ânes, un coq, deux lions et une vache.

Sur chaque animal, il y a une place. Vaite s'assoit-au hasard sur le manège.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'elle monte sur un cheval ? Exprimer le résultat sous forme d'une fraction irréductible. 
\item On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og Vaite monte sur un âne. \fg 
\item[] $C$ : \og Vaite monte sur un coq. \fg
\item[] $L$ : \og Vaite monte sur un lion. » 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement \emph{non} L puis calculer sa probabilité. 
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ \emph{ou} $C$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Hiti et Kalu sont deux entreprises de cent personnes qui ont fait paraître les informations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{0.3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3} \cline{5-7} 
Salaire moyen en francs &
Entreprise Hiti&Entreprise Kalu&&Effectif Hommes/ Femmes&Entreprise Hiti&Entreprise Kalu \\ \cline{1-3}\cline{5-7}
Hommes& \np{168000} &\np{180000}&	&Hommes	&50	&20\\ \cline{1-3}\cline{5-7} 
Femmes&\np{120000} 	&\np{132000}&	&Femmes &50 &80\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
\end{tabularx}

\medskip
 
Kévin dit à sa sœur: \og En moyenne, on est mieux payé chez Kalu. \fg 

Qu'en pensez-vous ?
 
\emph{L'évaluation de cet exercice tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie.}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.44\linewidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.}

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.} 

Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].
 
Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K.
 
On donne BC = 14~cm, AL = 6~cm et AK $= x$~cm où $x$ désigne un nombre positif}
\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(10,4.5)
\pspolygon(0,0)(9.4,0)(3,4.05)
\psframe(2.3,0)(4.3,3.2)\psline(3,4.05)(3,0)
\uput[d](0,0){B} \uput[d](2.3,0){E}\uput[d](3,0){L}\uput[d](4.3,0){F}
\uput[d](9.4,0){C}\uput[ur](4.3,3.2){G}\uput[ur](3,3.2){K}\uput[ul](2.3,3.2){H}\uput[u](3,4.05){A}\psframe(2.3,0)(2.6,0.3)\psframe(3,0)(3.3,0.3)  \psframe(4.3,0)(4,0.3)   \psframe(4.3,3.2)(4,2.9)   \psframe(2.3,3.2)(2.6,2.9)
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 1 :}  Dans cette partie, on se place dans le 
cas particulier ou BL = $4,8$~cm et $x = 1$~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur. 
\item Calculer l'aire en cm$^2$ du triangle BLA. 
\item On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles. 
Parmi les propriétés suivantes, choisir et recopier sur votre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification.  
	\begin{enumerate}
		\item Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. 
		\item Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. 
		\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. 
		\item La réciproque du théorème de Thalès.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la longueur HK.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 :} Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et $x$ ne sont pas connus.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur KL en fonction de $x$. 
\item On déplace le point K sur le segment [AL]. L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs KL et HG pour différentes valeurs de $x$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &0,6 &1,5 &1,8 &2,1 &4,2 &4,5 &5,1\\ \hline 
KL& 5,4 &4,5 &4,2 &3,9 &1,8 &1,5 &0,9\\ \hline  
HG &1,4 &3,5 &4,2 &4,9 &9,8 &10,5 &11,9\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip

Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les longueurs KL et HG pour $x$ égal à 4,5 cm ? 
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on l'égalité KL = HG ?
		 
Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
  
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.\\ Écrire sur votre copie le numéro de la question et la réponse exacte A, B, C ou D choisie.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6} 
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse A&Réponse B&Réponse C& Réponse D\\ \hline 
1.& IJK est un triangle rectangle en I tel que :

IK = 2,7~cm et KJ = 4,5~cm. Quelle est la longueur du côté [IJ] ?& 
12,96 cm& 3,6 cm &1,8 cm &5,2 cm\\ \hline 
2.&On rappelle la formule du volume d'une boule de rayon $r$ :

 V $= \dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3$. Le volume exact en cm$^3$ d'une balle de tennis de 3,3~cm de rayon est :&$13,2\pi$ &150 &$47\pi$& $47,916\pi$\\ \hline 
3.& Dans le cube ABCDEFGH, le quadrilatère ADGF est un :
\psset{unit=0.77cm}\begin{pspicture}(5,5)\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0.4)(3.3,2.6)(4.3,3.8)(1.6,1.6)\pspolygon(0.6,0.4)(3.3,0)(3.3,2.6)(0.6,3)\psline(3.3,0)(4.3,1.2)(4.3,3.8)(3.3,2.6)\psline(4.3,3.8)(1.6,4.2)(0.6,3)\psline[linestyle=dashed](0.6,0.4)(1.6,1.6)(1.6,4.2)
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.6)(4.3,1.2)
\uput[dl](0.6,0.4){A} \uput[dr](3.3,0){B} \uput[r](4.3,1.2){C} \uput[ul](1.6,1.6){D} 
\uput[l](0.6,3){E} \uput[r](3.3,2.6){F} \uput[ur](4.3,3.8){G} \uput[u](1.6,4.2){H} 
\end{pspicture}& losange &carré &rectangle &parallé\-lépipède rectangle\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17~kilomètres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le premier départ de CatamaranExpress est à 5~ h~45 min pour une arrivée à 6~h 15~min.

Calculer sa vitesse moyenne en km/h. 
\item La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20~km/h.
 
À quelle heure est prévue son arrivée s'il quitte le quai à 6~h ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On donne en document annexe les représentations graphiques $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ de deux fonctions.

L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction affine $g$ définie par :
 
\[g(x) = \np{1000} x + \np{6000}\]
 
À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées du point E. 
\item Quelles sont les abscisses des points d'intersection des deux représentations graphiques ? 
\item Laquelle de ces représentations est celle de $g$ ? Justifier. 
\item Quelle est l'image de $12$ par la fonction $g$ ? Vérifier la réponse par ua calcul. 
\item Quel est l'antécédent de \np{15000} par la fonction $g$ ? Retrouver ce résultat en résolvant une équation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage quel que soit le bateau choisi :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif M : on paie \np{2500}~francs chaque voyage. 
\item[$\bullet~$] Tarif N : on paie une carte mensuelle à \np{6000}~francs auquel s'ajoute \np{1000}~francs pour chaque voyage. 
\item[$\bullet~$] Tarif P : on paie \np{3000}~francs par voyage jusqu'au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu'à la fin du mois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentés par les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe, le tarif associé.  (Aucune justification attendue) 
\item Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, construire la 
représentation graphique de la fonction $f$ définie par : 	$f~:~ x \longmapsto  \np{2500} x$. 
\item Par lecture graphique et en faisant apparaître les tracés utiles sur le document \textbf{annexe},  trouver pour combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.63cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-1,-500)(18,28000)

\psline[linewidth=1pt](0,0)(7,21000)(18,21000)
\psline[linewidth=1pt](0,6000)(18,24000)
\uput[d](17.5,21000){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[u](17.5,23500){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[ul](7,21000){E}
\uput[u](16.5,0){Nombre de voyages}
\rput(0,28500){Prix à payer}
\multido{\n=0+2000,}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0.0+0.5}{37}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,28000)}
\multido{\n=0+1000}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=30000]{->}(0,0)(0,-500)(18,28000)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie  juin 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole, La Réunion sept. 2010 
\hypertarget{Metropolesep}{}

\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte,\\ Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges septembre 2010~\decofourright\\
Métropole La Réunion Mayotte Antilles--Guyane}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Aucune justification n'est demandée.
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.

Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
 
Recopier le numéro de chaque question et la réponse exacte correspondante.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
1&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{2}$  est \'egal \`a&$- \dfrac{2}{4}$&$- \dfrac{2}{8}$&$ \dfrac{1}{8}$ \\ \hline
2&L'écriture scientifique de \np{0,0000549} est &5,49& $549 \times 10^7$& 
$5,49 \times 10^{-5}$\\ \hline 
3&\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Le nombre $\left(5\sqrt{2}\right)^2$ est égal à& 10 &50 &100\\ \hline 
4&Une voiture parcourt 230~km en 2~h~30~min. Sa vitesse moyenne est&
100 km/h &60 km/h &92 km/h\\ \hline 
5& $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. L'image de $- 3$ par $f$ est&36& 
$- 36$ &$-6$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](0,0)(1,2)
\uput[u](3.6,1){234~\euro}
\psframe[fillstyle=vlines](1,0)(2,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](2,0)(3,2)
\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](5,0)(6,2)
\psframe[fillstyle=vlines](6,0)(7,1)
\psframe[fillstyle=vlines](7,0)(8,1)
\psframe[fillstyle=vlines](8,0)(9,1)
\uput[u](7.5,1){162~\euro}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{Deux compositions de meubles sont exposées en magasin, la première au prix de 234~\euro{} et la deuxième au prix de 162~\euro.}

\medskip 
 
Quel est le prix de la composition ci-dessous ? Expliquer la démarche suivie. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](0,0)(1,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](1,0)(2,2)
\psframe[fillstyle=crosshatch*,fillcolor=black,hatchcolor=white,hatchwidth=1.2pt,hatchsep=1.8pt,hatchangle=0](2,0)(3,2)
\psframe[fillstyle=vlines](3,0)(4,1)
\psframe[fillstyle=vlines](4,0)(5,1)
\end{pspicture}
\end{center} 

\newpage
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|p{7cm}}\cline{1-2} 

A& B&On a calculé, en colonne B, les valeurs prises\\ \cline{1-2}
$x$& $x^2 + x - 2$& par l'expression $x^2 + x - 2$ pour\\ \cline{1-2} 
$-5$& 18&  les valeurs de $x$ inscrites en colonne A.\\ \cline{1-2} 
$-4,5$ &13,75& \\ \cline{1-2}
$-4$ &10& \\ \cline{1-2}
$-3,5$ &6,75&On souhaite résoudre l'équation d'inconnue $x$ :\\ \cline{1-2} 
$-3$ &4& \\ \cline{1-2}
$-2,5$ &1,75 &\multicolumn{1}{c}{$x^2 + x - 2 = 4$}\\ \cline{1-2}
$-2$ &0 &\\ \cline{1-2}
$-1,5$ &$-1,25$ &\\ \cline{1-2}
$-1$ &$-2$& \textbf{1.} Margot dit que le nombre 2 est solution.\\ \cline{1-2}
$-0,5$ &$-2,25$ &\\ \cline{1-2}
0 &-2 & A-t-elle raison? Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
0,5 &$-1,25$&\\ \cline{1-2}
1 &0 & \textbf{2.} Léo pense que le nombre 18 est solution.\\ \cline{1-2}
1,5 &1,75& \\ \cline{1-2}
2 &4&  A-t-il raison ? Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
2,5 &6,75&\\ \cline{1-2} 
3 &10&   \textbf{3.} Peut-on trouver une autre solution ?\\ \cline{1-2}
3,5 &13,75& \\ \cline{1-2}
4 &18& Justifier la réponse.\\ \cline{1-2}
4,5 &22,75& \\ \cline{1-2} 
5 &28&\\ \cline{1-2}
\end{tabularx} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\pspolygon(5,0.5)(0.6,0.5)(6.7,5.2)(5,5.2)%ABEDA
\psframe(5,5.2)(5.2,5)
\uput[d](5,0.5){A} \uput[d](0.6,0.5){B} \uput[dr](5,4.){C} \uput[u](5,5.2){D} \uput[u](6.7,5.2){E}
\uput[l](5,4.6){10}\uput[dr](5.8,4.5){14}
\uput[ul](3.2,2.6){42}\uput[r](5,2.5){30} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{Les droites (AD) et (BE) se coupent en C.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles. 
\item En déduire que le triangle ABC est rectangle.
\end{enumerate}}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(9,7)
\pspolygon(0,0)(5.85,0)(8.7,2.6)(4.4,6.7)%DABS
\uput[d](0,0){D} \uput[d](5.85,0){A} \uput[ur](8.7,2.6){B} \uput[u](4.4,6.7){S} 
\psline(4.4,6.7)(5.85,0)%SA
\uput[ul](2.9,2.6){C}\uput[d](4.4,1.3){H}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](4.4,6.7)(2.9,2.6)(0,0)(8.7,2.6)(2.9,2.6)(5.85,0)%SCDBCA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](4.4,6.7)(4.4,1.3)%SH
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox{0.38\linewidth}{Un fabricant de cheminées contemporaines propose une cheminée pyramidale de base le carré ABCD, de côté 120 cm.
 
H est le centre du carré.
 
La hauteur [SH] de la pyramide mesure 80 cm.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le fabricant place sous la cheminée une plaque de fonte. Cette plaque a la forme d'un pavé droit de base ABCD et d'épaisseur 1~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que son volume est \np{14400}~cm$^3$. 
		\item La masse volumique de la fonte est 6,8~g/cm$^3$. Quelle est la masse de cette plaque de fonte ? 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on ne demande aucune justification géométrique.
 
On désigne par I le milieu du segment [AB]. 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner à l'échelle $\dfrac{1}{10}$ le triangle SHI puis le triangle SAB représentant une des faces latérales  de la pyramide. 
		\item Ces faces latérales sont en verre. Quelle est l'aire totale de la surface de verre de cette cheminée ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm} 

Une commune étudie l'implantation d'une éolienne dans le but de produire de l'électricité.

\bigskip
 
\textbf{Partie 1 : Courbe de puissance d'une éolienne}

\medskip 

La puissance fournie par l'éolienne dépend de la vitesse du vent.

Lorsque la vitesse du vent est trop faible, l'éolienne ne fonctionne pas.
 
Lorsque la vitesse du vent est trop importante, par sécurité, on arrête volontairement son fonctionnement. 

\medskip

Pour le modèle choisi par la commune, on a tracé la courbe représentant la puissance fournie, en kW, en fonction de la vitesse du vent en m/s. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(26,650)
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(25,600)
\psline(0,0)(26,0)
\multido{\n=0+100}{7}{\psline(0,\n)(26,\n)}
\uput[l](1,650){kW}\uput[d](26.5,0){m/s}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](4,0)(5,20)(7.8,100)(9.5,200)(10.8,300)(12,400)(13,500)(14.8,600)(16,615)(17,620)(19.5,615)(21,600)(26,575)
\uput[d](13,-50){Source : www.WINDPOWER.org}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0.75cm} 

\begin{enumerate}
\item Utiliser ce graphique pour répondre aux questions suivantes :
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle vitesse le vent doit-il atteindre pour que l'éolienne fonctionne ? 
		\item Indiquer une vitesse du vent pour laquelle la puissance de l'éolienne est au moins 200~kW. 

		\item La puissance fournie par cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item  On arrête l'éolienne lorsque le vent souffle à plus de 25 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 2 : Étude de la vitesse du vent}

\medskip
 
On a relevé la vitesse du vent en m/s toutes les minutes pendant une année de 365 jours.
 
Le nombre de relevés étant trop important, la série est présentée par les éléments suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
minimum& 1\up{er} quartile& médiane &3\up{e} quartile& maximum\\ \hline 
0 m/s& 4 m/s &6,2 m/s& 14,6 m/s& 28,4 m/s\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pendant combien de temps peut-on estimer que le vent a soufflé à moins de 6,2~ m/s durant l'année ? 
\item Expliquer pourquoi on peut considérer que l'éolienne n'a pu fonctionner faute de vent suffisant pendant une durée totale de trois mois. 
\item  Combien la série contient-elle de relevés ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie 3 : Puissance et longueur de pales}

\medskip

\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(2.8,5)
\pspolygon*(1.3,0)(1.5,0)(1.45,2.75)(1.35,2.75)
\pscircle[linestyle=dashed](1.4,2.8){1.45}
\psellipse*(2.2,2.8)(0.65,0.1)
\rput{120}(1.0,3.5){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput{240}(1.0,2.15){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput(2,4.5){Pale} \psline{->}(2,4.4)(1.1,3.5)\rput(0.5,2.4){44 m}
\pscircle(1.4,2.85){0.15}
\end{pspicture}
} 
\hfill
\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=1.221cm}
\begin{pspicture}(2.8,4.5)
\pspolygon*(1.3,0)(1.5,0)(1.45,2.75)(1.35,2.75)
\pscircle[linestyle=dashed](1.4,2.8){1.45}
\psellipse*(2.2,2.8)(0.65,0.1)
\rput{120}(1.0,3.5){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput{240}(1.0,2.15){\psellipse*(0,0)(0.65,0.1)}
\rput(0.5,2.4){66 m}
\pscircle(1.4,2.85){0.15}
\end{pspicture}
}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{Les trois pales d'une éolienne décrivent un disque en tournant. 

On considère que la longueur des pales est le rayon de ce disque. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire de ce disque avec des pales de 44~m. 
		\item Même question avec des pales de 66~m.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la puissance de l'éolienne est proportionnelle à l'aire du disque décrit par les pales. 

Par quel nombre va-t-on multiplier la puissance fournie si on utilise des pales de 66~m au lieu de 44~m ? 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole, La Réunion sept. 2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie  septembre  2010
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2010~\decofourright}}
    
\vspace{1cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :} pour chaque question, choisir une réponse et la reporter sur la copie double.
 
\begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée} \end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Questions& Réponse A &Réponse B &Réponse C \\ \hline
1& Combien vaut 8\:\% de \np{1200} F ? &150 F &80 F &96 F\\ \hline 
2& Quelle est l'écriture scientifique de \np{0,00567} ?&$567 \times 10^{-5}$ &$5,67 \times 10^{-3}$ &$5,67 \times 10^{-4}$\\ \hline 
3&Quelle est la vitesse moyenne d'un coureur qui court le 400 m en 1 minute ? &
40 m/s& 24 km/h& 4 km/h\\ \hline 
4 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Donner le résultat de $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{4}$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{5}{12}$&$- \dfrac{1}{3}$ \\ \hline 
5 &\rule[-3mm]{0mm}{7mm}Quel est le nombre égal à $\sqrt{18}$ ?& 9 &4,24 &$3\sqrt{2}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{
Sur la figure dessinée ci-contre, ABCD est un carré et ABEF est un rectangle. 
On a AB = BC $= 2x + 1$ et AF $= x + 3$ où $x$ désigne un nombre supérieur à deux. 
L'unité de longueur est le centimètre.}\hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,4.5)
\psframe(1.5,0.3)(4.6,3.4)
\psline(1.5,1)(4.6,1)
\uput[ul](1.5,3.4){A} \uput[ur](4.6,3.4){B} \uput[dr](4.6,0.3){C} 
\uput[dl](1.5,0.3){D} \uput[l](1.5,1){F} \uput[r](4.6,1){E} 
\psline[linewidth=0.3pt,arrowscale=1.5]{<->}(1.5,3.6)(4.6,3.6)
\psline[linewidth=0.3pt,arrowscale=1.5]{<->}(1.1,1)(1.1,3.4)
\psline[linewidth=0.3pt,arrowscale=1.5]{<->}(5,0.3)(5,3.4)
\uput[u](3.05,3.6){$2x + 1$} \uput[r](5,1.85){$2x + 1$}\uput[l](1.1,2.2){$x + 3$}
\end{pspicture}}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'un cas particulier} \boldmath  $x = 3$.\unboldmath

\begin{enumerate}
\item Pour $x = 3$, calculer AB et AF. 
\item Pour $x = 3$, calculer l'aire du rectangle FECD.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude du cas général :} $x$ désigne un nombre supérieur à deux.
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur FD en fonction de $x$. 
\item En déduire que l'aire de FECD est égale à $(2x + 1)(x - 2)$. 
\item Exprimer en fonction de $x$, les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF. 
\item  En déduire que l'aire du rectangle FECD est : $(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3)$. 
\item  Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc :
\[(2x + 1)^2 - (2x + 1)(x + 3) = (2x + 1)(x - 2 )\]
 
Cette égalité traduit-elle un développement ou une factorisation? 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 :}

\medskip
 
Avec un projecteur de cinéma, une image sur un film est projetée sur un écran. Sur le film, une image rectangulaire de 70~mm de long et 52,5~mm de large peut être agrandie sur un écran jusqu'à 588~m$^2$. 

\begin{enumerate}
\item On appelle format de l'image le rapport : $\dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{largeur de l'image}}$.
 
Montrer que l'image sur le film est au format $\dfrac{4}{3}$. Justifier. 
\item Calculer en mm$^2$ l'aire de l'image sur le film. Convertir en m$^2$. 
\item Pour obtenir un image de 588 m$^2$ sur l'écran, la longueur et la largeur de l'image sur le film ont été multipliées par un coefficient. Le format $\dfrac{4}{3}$ de l'image est conservé. Quelles sont les  dimensions sur l'écran ? Justifier votre démarche.
 
\emph{L'évaluation de cet exercice tiendra compte des observations et étapes de recherche même incomplètes.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip
 
La formule d'Al-Kashi permet de calculer le troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et  un angle. Pour un triangle ABC, on a : 

$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 - 2\text{AC} \times \text{AB} \times \cos \left(\widehat{\text{BAC}}\right)$.

\medskip

On considère pour tout l'exercice que : AB = 6~cm, AC = 12~cm et 
$\widehat{\text{BAC}} = 60$ \degres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC vérifiant les conditions précédentes. 

\item Donner la valeur de $\cos \left(\widehat{\text{BAC}}\right)$.
 
En déduire avec la formule d'Al-Kashi que l'on a BC$^2$ = AC$^2$ + AB$^2 -$ AC $\times$ AB.
 
Montrer que BC = $\sqrt{108}$~cm. 
\item  En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 :}

\medskip
 
\parbox{0.46\linewidth}{Thalès de Millet (624 - 547 av JC) se rendit célèbre en donnant la hauteur de la plus grande pyramide d'Egypte. Nous allons utiliser son théorème pour calculer la hauteur de cette pyramide représentée ci-contre. 
KEOP est un carré de centre H et de côté 230 m. [SH] est la hauteur de cette pyramide.} \hfill \parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-0.4)(6,6)
\pspolygon(0.5,0)(4.5,0)(6.3,1.8)(3.15,4.9)(4.5,0)(0.5,0)(3.15,4.9)%POESOPS
\psline[linestyle=dashed](6.3,1.8)(0.5,0)(1.8,1.8)(6.3,1.8)%EPKE
\psline[linestyle=dashed](3.15,4.9)(1.8,1.8)(4.5,0)%SKO
\psline[linestyle=dashed](3.15,4.9)(3.1,0.85)(5.3,0.85)%SHI
\psframe[linestyle=dashed](3.1,0.85)(3.4,1.15)
\uput[ur](3.15,4.9){S} \uput[ur](1.8,1.8){K} \uput[ul](0.5,0){P} 
\uput[d](3.1,0.85){H} \uput[ur](6.3,1.8){E} \uput[r](5.3,0.85){I} 
\uput[r](4.5,0){O} 
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}
\item Soit I le milieu de [OE]. Calculer HI. 
\item On se place à l'extérieur de la pyramide et on plante verticalement un bâton représenté par le segment [AB] de 2~m de façon à ce que les points M, B, S et M, A, H soient alignés.
 
On sait que MA = 2,4~m et MH = 165~m 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(16,5.5)
\pspolygon(0,0)(15.7,0)(4.1,5.2)%?MS
\psline(8.2,0)(4.1,5.2)(4.1,0)%ISH
\psline(13.35,0)(13.35,1)%AB
\uput[ur](4.1,5.2){S} \uput[ul](4.1,0){H} \uput[ur](8.2,0){I} 
\uput[ul](13.35,0){A} \uput[ur](15.7,0){M} \uput[ur](13.35,1){B} 
\psframe(4.1,0)(4.3,0.2)\psframe(13.35,0)(13.55,0.2)
\end{pspicture}

\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que (HS) et (AB) sont parallèles. 
		\item Écrire l'égalité des rapports provenant de la propriété de Thalès dans le triangle MHS. 
		\item En déduire que la hauteur SH de la pyramide mesure 137,5~m.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le volume de cette pyramide. Arrondir le résultat au m$^3$.
 
\emph{Volume d'une pyramide :}  $V = \dfrac{1}{3} B \times h$.
 
$B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip 
 
\parbox{0.6\linewidth}{Dans ce problème, on lance deux dés de couleurs différentes. Les dés sont équilibrés et les faces sont numérotées de 1 à 6. On s'intéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés.
 
\textbf{Partie 1 :} On lance 25 fois les deux dés et on note les valeurs dans un tableur.
 
Les résultats sont représentés dans le tableau ci-contre.

La colonne A indique le numéro de l'expérience.

Les colonnes B et C donnent les valeurs des dés.
 
La somme des deux dés est calculée dans la colonne D.
 
\begin{enumerate}
\item La somme peut-elle être égale à 1 ? Justifier. 
\item La somme 12 n'apparaît pas dans ce tableau. Est-il toutefois possible de l'obtenir? Justifier. 
\item Pour le 11\up{e} lancer des deux dés, quelle formule a-t-on marquée dans la cellule D12 pour obtenir le résultat donné par l'ordinateur ? 
\item Dans cette expérience, combien de fois obtient-on la somme 7 ?
 
En déduire la fréquence de cette somme en pourcentage. 
\item  Quelle est la médiane de cette série de sommes (colonne D) ? 
\item  Tracer le diagramme en bâtons de la série des sommes obtenues (colonne D).
\end{enumerate}}
\hfill \parbox{0.38\linewidth}{\small \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
	&A		&B		&C&D\\ \hline
1	&\No	&dé 1	&dé 2	&Somme\\ \hline
2	&1		&5		&1		&6\\ \hline
3	&2		&1		&1		&2\\ \hline
4	&3		&1		&4		&5\\ \hline
5	&4		&1		&6		&7\\ \hline
6	&5		&4		&4		&8\\ \hline
7	&6		&6		&4		&10\\ \hline
8	&7		&6		&3		&9\\ \hline
9	&8		&5		&6		&11\\ \hline
10	&9		&5		&3		&8\\ \hline
11	&10		&5		&6		&11\\ \hline
12	&11		&3		&6		&9\\ \hline
13	&12		&2		&5		&7\\ \hline
14	&13		&3		&5		&8\\ \hline
15	&14		&1		&6		&7\\ \hline
16	&15		&6		&5		&11\\ \hline
17	&16		&2		&3		&5\\ \hline
18	&17		&2		&5		&7\\ \hline
19	&18		&3		&4		&7\\ \hline
20	&19		&2		&4		&6\\ \hline
21	&20		&6		&5		&11\\ \hline
22	&21		&1		&1		&2\\ \hline
23	&22		&2		&1		&3\\ \hline
24	&23		&1		&4		&5\\ \hline
25	&24		&5		&1		&6\\ \hline
26	&25		&1		&6		&7\\ \hline
\end{tabular}}

 
\textbf{Partie 2 :} On fait une simulation de \np{1000} expériences avec un tableur. Les résultats sont représentés dans le diagramme en bâtons suivant. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(1,0)(12.5,210)
\multido{\n=2+1}{11}{\uput[d](\n,0){\n}}
\multido{\n=1+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,180)}
\multido{\n=0+10}{19}{\uput[l](1,\n){\n}}
\multido{\n=0+10}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](1,\n)(12,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,0)(2.2,30)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.8,0)(3.2,50)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.8,0)(4.2,65)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.8,0)(5.2,100)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,135)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,170)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,150)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.8,0)(9.2,120)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.8,0)(10.2,90)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.8,0)(11.2,60)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.8,0)(12.2,30)
\rput(6.75,200){\textbf{Effectif des sommes obtenues}}

\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les deux sommes les moins fréquentes ? 
\item Paul, un élève de troisième joue avec Jacques son petit frère de CM2. Chacun choisit une somme à obtenir avec 2 dés. Paul prend la somme 9 et Jacques la somme 3.
 
Expliquer pourquoi Paul a plus de chances de gagner que son petit frère. 
\item Quel est, pour cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7 ? En déduire la fréquence en pourcentage représentée par ces lancers. 
\item \textbf{Compléter le tableau suivant sur cette feuille} et trouver les différentes possibilités d'obtenir une somme égale à 7 avec deux dés. Calculer la probabilité d'obtenir cette somme.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\multicolumn{2}{|c|}{Somme}&\multicolumn{6}{|c|}{Valeur 2\up{e} dé}\\ \cline{3-8} 
\multicolumn{2}{|c|}{des 2 dés}&1& 2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline
\multirow{6}{2ex}{\rotatebox{90}{Valeur 1\up{er} dé~~}}&1 &2 &3 &4&&&\\ \cline{2-8}
&2	&	&4	&	&	&	&\\  \cline{2-8}
&3	&	&	&	&	&	&\\  \cline{2-8}
&4	&	&	&	&	&	&\\  \cline{2-8}
&5	&	&	&	&	&	&\\  \cline{2-8}
&6	&	&	&	&	&	&12\\  \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Que peut-on dire de la valeur de la fréquence obtenue à la question 3 et de celle de la probabilité obtenue à la question 4 ? Proposer une explication.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{center}\textbf{ATTENTION :  CETTE FEUILLE EST À RENDRE AVEC LA COPIE}\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie  septembre  2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud novembre  2010
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud ~\decofourright\\ novembre 2010}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Aucune justification n'est demandée pour cet exercice, les calculs pourront être réalisés à la calculatrice. On donne les nombres suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
A $= \dfrac{927}{486 - 13 \times 8}$&B $= \dfrac{3 \times 10^5 - 6 \times 10^3}{3 \times 10^{11}}$& C $= \sqrt{\dfrac{442,5- 7^2 \times 2,5}{5}}$\\  
D $= \sqrt{6} - \sqrt{5}$&E $ = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$& \\
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner un arrondi à $0,01$ près. 
\item Donner l'écriture scientifique de B. 
\item Calculer C. 
\item Comparer les nombres D et E. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un carré a pour aire 225~cm$^2$. Quel est le périmètre de ce carré ? Justifier votre réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip 
 
On rappelle dans cet exercice que : 
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad ; \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\quad \text{et}~~ (a + b )(a - b) = a^2 - b^2\]
 
On donne les expressions numériques suivantes : 

A $= \left(3\sqrt{2} + 5\right)^2$ et B $= \left(\sqrt{7} + 3\right)\left(\sqrt{7} - 3\right)$

\medskip
 
Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez au moins une étape de calcul.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme $a + b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. 
\item Calculer B.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l}
45x + 30y &=&510\\
27x + 20y &=&316
\end{array}\right.$ 

	\begin{enumerate}
		\item Les nombres $x = 10$ et $y = 2$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier. 
		\item Les nombres $x = 8$ et $y = 5$ sont-ils solutions de ce système ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Pour les fêtes de fin d'année, un groupe d'amis souhaite emmener leurs enfants assister à un spectacle au Palais des Congrès à Paris.
 
Les tarifs sont les suivants : 

\begin{tabular}{l} 
45~\euro{} par adulte et 30~\euro{} par enfant s'ils réservent en catégorie 1.\\
27~\euro{} par adulte et 20~\euro{} par enfant s'ils réservent en catégorie 2.\\
\end{tabular} 

Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510~\euro{} s'ils réservent en catégorie 1 et 316~\euro{} s'ils réservent en catégorie 2. 

Déterminer le nombre d'adultes et d'enfants de ce groupe ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm. 
\item Démontrer que ce triangle est rectangle en A. 
\item On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle. 
	\begin{enumerate}
		\item Où se trouve le point O ? Justifier votre réponse. 
		\item En déduire le  rayon de ce cercle.
	\end{enumerate} 
\item Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
 
Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC ? Justifier.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. 

\emph{La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EFG}}$. Arrondir au degré près. 
\item Montrer que EG = 12 cm. 
\item On considère le point M sur [EG] tel que 

EM = 3 cm.
 
Calculer GM. 
\item La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N.
 
Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier. 
\item Calculer GN.\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(4.8,4)
\pspolygon(0.5,1)(4.8,1)(0.5,3.4)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[l](0.5,1){E} \uput[l](0.5,3.4){F} \uput[d](4.8,1){G} \uput[dl](2,1){M} \uput[ur](2,2.4){N} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}  

Les parents de Charlotte souhaitent l'inscrire dans le club d'équitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose trois formules différentes : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Formule A : 18~\euro{} la séance. 
\item[$\bullet~~$] Formule B : 165~\euro{} par carte de 10~séances. 
\item[$\bullet~~$] Formule C : Paiement d'une cotisation annuelle de 70~\euro{} plus 140~\euro{} par carte de 10~séances. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le coût pour 7~séances est de 126~\euro{} pour la formule A, 165~\euro{} pour la formule B et 210~\euro{} pour la formule C. 
\item Calculer le coût de 20~séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip
Charlotte désirant faire du cheval toute l'année, ses parents décident de comparer les formules B et C. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5} 
\multicolumn{2}{c|}{}				&1 carte&2 cartes 	&5 cartes\\ \hline 
\multirow{2}{2ex}{\rotatebox{90}{\textbf{PRIX}~~}}& Formule B&&&\\ \cline{2-5} 
&Formule C							&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Soit $x$ le nombre de cartes de 10 séances achetées. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule B. 
		\item Exprimer en fonction de $x$ le coût pour la famille si elle choisit la formule C.
		\item Résoudre l'inéquation suivante $140x + 70 \leqslant 165x$. 
		\item À partir de combien de cartes achetées, la formule C devient-elle avantageuse ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le repère, fourni en annexe, construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies par :
 
\[f : x \longmapsto 165x~ \text{(Prix avec la formule B) ;} ~ 
g : x \longmapsto 140x + 70~ \text{(Prix avec la formule C)}.\]
 
\item Dans cette question, on fera apparaître les tracés utiles en pointillés.
 
Retrouver graphiquement le nombre de cartes à partir duquel la formule C devient avantageuse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT RÉPONSE À RENDRE AVEC VOTRE COPIE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.028cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-12.5)(8,575)
\uput[d](6.5,-12.5){Nombre de cartes achetées}
\uput[r](0,575){Prix en \euro}
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,562.5)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,562.5)}
\multido{\n=0.0+12.5}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50]{->}(0,0)(8,575)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre  2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie décembre  2010
\hypertarget{Caledonienov}{}

\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Brevet  Nouvelle--Calédonie mars 2010 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chacune des propositions trois réponses sont proposées et une seule est exacte.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline
$5^4$ est égal à :&$5 \times 5 \times 5$&125&625\\ \hline
La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :&	$- 15$&8,66&8,67\\ \hline
L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&$49 - 9x^2$&$49 - 3x^2$&$14 - 9x^2$\\ \hline
Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&3&21&13\\ \hline
L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&$- 2$ et 9&2 et $- 9$&6 et 9\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip


Recopier la réponse sur le tableau ci-après.

\medskip

\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{5cm}|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\textbf{Réponse }\\ \hline
$5^4$ est égal à :&\\ \hline
La valeur approchée arrondie au centième de $\sqrt{100 - 25}$ est :&\\ \hline
L'expression développée et réduite de $(7 - 3x)(7 + 3x)$ est égale à :&\\ \hline
Le PGCD de \np{5082} et \np{4641} est :&\\ \hline
L'équation $(2x + 4)((x - 9) = 0$ a pour solutions :&\\ \hline
\end{tabularx} 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Recopier et compléter :}

\begin{enumerate}
\item Le double de 100 est \ldots
\item La moitié de 100 est \ldots
\item le carré de 100 est \ldots.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'équipe de volley du collège est constituée de 6 joueurs. Parmi ces joueurs, l'un d'eux se prénomme Patrick. Le professeur d'EPS désigne au hasard l'élève qui sera le capitaine de l'équipe.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Patrick soit le capitaine de cette équipe ?
\item Deux tiers des ces joueurs de volley mesurent 1 m 80 ou plus. Quelle est la probabilité qu'un joueur de l'équipe mesure moins de 1 m 80 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\textbf{Dans cette exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Un automobiliste quitte Nouméa pour aller à la foire de Koumac. Le véhicule a parcouru 348 kilomètres en 240 minutes. On considère que la vitesse du véhicule est constante.

Sachant que la vitesse réglementaire est limitée à 110~km/h sur les routes de Nouvelle-Calédonie, l'automobiliste a-t-il respecté la réglementation de vitesse ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textsc{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que AC $ = 12$~cm, AB $= 13$~cm et BC $ = 5$~cm.
\item Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9~m.
\item Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la droite (AC).
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? Justifier.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{\emph{La figure n'est là qu'à titre indicatif et elle n'est pas à reproduire}

Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD tel que AB =  5~cm et sa hauteur [SH] est de 10~cm.

On coupe la pyramide par un plan (P) parallèle à la base passant par les points M, N, O et P tel que 

SI = 5~cm.} \hfill
\parbox{0.32\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.5,1.7)(2,3.5)%ABCS
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.5,1.7)(2.5,0.5)%ADB
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3.5,1.7)(1.5,1.7)%ACD
\psline[linestyle=dashed](2,3.5)(1.5,1.7)%SD
\psline[linestyle=dashed](2,3.5)(2,1.1)%SH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[r](3.5,1.7){C} 
\uput[ul](1.5,1.7){D} \uput[u](2,3.5){S} \uput[ur](2,1.1){H} 
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Le volume d'une pyramide est donné par la formule $v = \dfrac{b \times h}{3}$ avec $b$ l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.

Calculer le volume de la pyramide SABCD au cm$^3
$ près.
\item Quelle est la nature de la section de de la pyramide par ce plan ?
\item La pyramide SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD. Calculer le coefficient de cette réduction.
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ de la section MNOP.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\medskip

Deux frères, étudiants, Max et Mathieu effectuent de petits boulots pour leur argent de poche.

Max travaille à la bibliothèque universitaire. Pour cela il est payé 800~francs de l'heure et reçoit un salaire fixe de \np{4000}~francs par mois.

Mathieu fait régulièrement du baby-sitting pour ses voisins et il est rémunéré \np{1000}~francs de l'heure.

\medskip

\textsc{Première partie  : Max et Mathieu}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la somme gagnée par Max lorsqu'il a travaillé 10~heures dans le mois.
\item Calculer la somme gagnée par Mathieu lorsqu'il a travaillé 21~heures dans le mois.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'heures de travail faites dans le mois&0&12&20&27\\ \hline
Somme d'argent reçue par Max&&&&\np{25600}\\ \hline
Somme d'argent reçue par Mathieu &&\np{12000}&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $x$ le nombre d'heures de travail effectuées par chacun des deux frères par mois.

On considère les fonctions $f : \quad x \mapsto 800x + \np{4000}$ et $g : \quad x \mapsto \np{1000}x$.

	\begin{enumerate}
		\item Que représente la fonction $f$ ?
		\item Que représente la fonction $g$ ?
	\end{enumerate}
\item Sans effectuer de calculs :
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de 27 par la fonction $f$ ?
		\item Quel est l'antécédent de \np{12000} par la fonction $g$ ?
	\end{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le repère orthogonal ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.0004cm}
\begin{pspicture}(-3,3000)(32,28000)
\uput[u](30,4000){Heures}\uput[r](0,28000){Gains}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,4000)(\n,28000)}
\multido{\n=4000+1000}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Oy=4000,Dy=30000]{->}(0,4000)(32,28000)
\multido{\n=4000+2000}{13}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textsc{Deuxième partie  : Interprétation graphique}

\medskip

\emph{Pour les questions suivantes, on ne demande aucun calcul, mais on fera apparaître sur le graphique les traits de construction permettant d'y répondre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si Max a travaillé 5~heures dans le mois, combien a-t-il gagné ?
\item Combien d'heures de baby-setting Mathieu a-t-il fait dans le mois pour gagner \np{10000}~francs ?
\item À partir de combien d'heures de travail effectuées dans le mois Mathieu gagne-t-il plus d'argent que Max ?
\item Si Max et Mathieu ont travaillé 10~heures, lequel des deux a gagné le plus d'argent ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle--Calédonie décembre  2010
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie mars  2011
\hypertarget{Caledoniemars}{}

\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Brevet  Nouvelle--Calédonie mars 2011 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \np{1755} et \np{1053}. Justifier votre réponse. 
\item Écrire la fraction $\dfrac{\np{1053}}{\np{1755}}$ sous la forme irréductible. 
\item Un collectionneur de coquillages (un conchyliologue) 
possède \np{1755}~cônes et \np{1053} porcelaines.
 
Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser ? 
		\item Combien y aura-t-il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
Ci-contre, la droite $d$ est la représentation graphique d'une fonction linéaire $f$. 
\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique l'image de 2 par la fonction $f$. 
\item Lire sur le graphique $f(- 1)$. 
\item Lire sur le graphique l'antécédent de 2 par la fonction $f$. 
\item À l'aide du graphique, trouver $x$ tel que $f(x) = - 1$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(4,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true]{->}(0,0)(-1.95,-0.95)(4,2.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2,-1)(4,2) \uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3} 

On écrit sur les faces d'un dé équilibré à six faces, chacune des lettres du mot: 
\begin{center}
\textbf{N\:O\:T\:O\:U\:S}\end{center} 
On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure. 
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les issues de cette expérience ? 
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements: 
	\begin{enumerate}
		\item E$_{1}$ : \og On obtient la lettre O \fg. 
		\item Soit E$_{2}$ l'évènement contraire de E$_{1}$. Décrire E$_{2}$ et calculer sa probabilité. 
		\item E$_{3}$ : \og On obtient une consonne \fg. 
		\item E$_{4}$ : \og On obtient une lettre du mot K\:I\:W\:I \fg. 
		\item E$_{5}$ : \og On obtient une lettre du mot C\:A\:G\:O\:U\:S \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chacune des quatre affirmations, une seule des réponses proposées est exacte.
 
Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe en entourant distinctement la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
 
Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse.

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un cycliste se trouve sur un chemin (CB]. On donne AH = 100 m, HB = 400 m et $\widehat{\text{ABC}} = 10~\degres$. 
 
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0.25,0.25)(5.75,0.25)(0.25,2.25)
\psline(2,0.25)(2,1.6)
\uput[dl](0.25,0.25){A} \uput[r](5.75,0.25){B} \uput[ul](0.25,2.25){C} \uput[u](2,1.6){D} \uput[d](2,0.25){H} 
\uput[d](1.125,0.25){100~m}\uput[d](3.875,0.25){400~m}
\psframe(0.25,0.25)(0.45,0.45)\psframe(2,0.25)(2.2,0.45)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$. 
\item Calculer le dénivelé AC arrondi au mètre. 
\item Calculer la longueur BC arrondie au mètre. 
\item Le cycliste est arrêté au point D sur le chemin.
 
Calculer la distance DB arrondie au mètre qu'il lui reste à parcourir. 
\end{enumerate}}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.2\linewidth}{ 
\textbf{Rappels :}

 V$_{\text{cylindre}}  = \pi r^2 h$
 
V$_{\text{boule}}  = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ } \hfill 
\parbox{0.75\linewidth}{ Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm.
 
Le pot de glace au chocolat ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,3)
\psframe(6,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(6.6,0.8)(6.6,2.3)(6,1.5)
\psline(6,1.5)(0,1.5)(0.6,2.3)(6.6,2.3)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(0,-0.6)(6,-0.6)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(-0.5,0)(-0.5,1.5)
\psline[linewidth=0.6pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(6,-0.6)(6.6,0.2)
\rput(3,0.75){Chocolat }
\psline(7.5,0)(7.5,2.5)\psline(11,0)(11,2.5)
\psellipse(9.25,2.5)(1.75,0.4)
\psellipticarc(9.25,0)(1.75,0.4){-180}{-0}
\rput(9.25,1){Vanille}
\uput[u](3,-0.6){20 cm}\uput[dr](6.3,0){15 cm}
\rput{90}(-0.75,0.75){12 cm}
\end{pspicture}
\end{center} 

Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume d'un pot de glace au chocolat est \np{3600}~cm$^3$. 
		\item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume d'un pot de glace à la vanille.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur arrondie au cm$^3$ du volume d'une boule de glace contenue dans la coupe. 
\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Sachant que le restaurateur doit faire 100~coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Les énergies renouvelables}

\medskip
 
\emph{Certaines sources d'énergie (hydrocarbures, nucléaires, charbon, \ldots) posent des problèmes aux gouvernements des pays : effet de serre, stockage des déchets radioactifs, \ldots\\
 Pour cette raison, les sources d'énergie renouvelables, ou énergies \og bio \fg (énergie éolienne, énergie hydraulique, énergie solaire, géothermie, \ldots) se développent. Elles sont en effet inépuisables, propres et immédiatement disponibles.}

\medskip
 
Certains fournisseurs proposent de l'électricité \og bio \fg. 

Une famille étudie deux tarifs d'électricité \og bio \fg{} qui lui sont proposés. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Tarif 1 &Tarif 2\\ \hline% 
Abonnement mensuel (en CFP)& 0 &\np{3600}\\ \hline% 
Prix par kWh distribué (en CFP)& 24 &14\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Première partie} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Si la famille consomme 300 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2. 
\item Si la famille consomme 450 kWh en un mois, calculer le coût pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2. 
\item Sachant que la famille a payé \np{11280}~CFP pour le tarif 1 pour un mois, quelle est sa consommation en kWh ? 
\item On note $x$ le nombre de kWh d'électricité \og bio \fg{} consommé.
 
On note $T_{1}(x)$ le coût de l'électricité consommée en un mois pour le tarif 1.

On note $T_{2}(x)$ le coût de l'électricité consommée en un mois pour le tarif 2. 

On admet que $T_{1}(x) = 24x$ et que $T_{2}(X) = \np{3600} + 14x$. 

Trouver pour quelle valeur de $x,\quad T_{1}(x) = T_{2}(x)$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Deuxième partie} \end{center}  
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, en plaçant l'origine en bas à gauche de la page, tracer un repère orthogonal.
		
\setlength\parindent{10mm}		 
Sur l'axe des abscisses, porter le nombre de kWh consommés : 1 cm représente 50 kWh.

Sur l'axe des ordonnées, porter le coût en CFP : 1 cm représente 500 CFP.
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item Dans le repère précédent, tracer la droite $\left(d_{1}\right)$, représentation graphique de la fonction $T_{1}$. 
		\item Dans le même repère, tracer la droite $\left(d_{2}\right)$, représentation graphique de la fonction $T_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement, déterminer le coût pour 400~kWh consommés, pour le tarif 1. 
		\item Graphiquement, déterminer le nombre de kWh consommés pour un coût de \np{10600}~CFP, pour le tarif 2.
	\end{enumerate} 
\item Graphiquement, trouver en fonction de sa consommation, le tarif le plus avantageux pour cette famille. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\ 
(à rendre avec la copie)}

\medskip
 
Activités géométriques : Exercice 1 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.} (RE) et (TA) se coupent en S. (RT) et (AE) sont parallèles.

 ST = 5~cm ; SA = 4~cm et SE = 3~cm. Alors la longueur RS est égale à \ldots
\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0.5,2.75)(3,0.5)(5,1.25)
\psline(0.5,0.2)(5,2.05)
\uput[ul](0.5,2.75){S}\uput[d](3,0.5){R}\uput[dr](5,1.25){T}
\uput[d](2.4,1){E}\uput[u](3.8,1.6){A}
\end{pspicture}& 3,75 cm &2,4 cm& 0,266 cm\\ \hline 
\textbf{2.} Le point G est sur le cercle de centre O et de diamètre [EF].

 $\widehat{\text{EFG}} = 24$~\degres.
  
La mesure de l'angle $\widehat{\text{GEF}}$ est égale à \ldots

\begin{pspicture}(6,4)
\pscircle(3,2){2}
\psline[linewidth=1pt](2.3,1.9)(2.2,1.6)
\psline[linewidth=1pt](3.8,2.4)(3.7,2.1)
\pspolygon(1.1,1.4)(4.9,2.6)(1.2,2.8)
\psarc(4.9,2.6){0.7}{175}{198}
\psdots(3,2)\uput[dr](3,2){O}\uput[l](1.1,1.4){E}\uput[ul](1.2,2.8){G}\uput[r](4.9,2.6){F}
\rput(3.5,2.4){24~\degres}
\end{pspicture}&90~\degres&24~\degres&66~\degres\\ \hline%  
\textbf{3.}  En triplant les longueurs d'un côté d'un triangle, les mesures des angles sont \ldots & Conservées& Multipliées par 3& Multipliées par 9\\ \hline% 
\textbf{4.} Un cône de révolution a pour rayon AB~=~10~cm 
et pour hauteur SA = 24~cm.

 On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et qui passe par le point H de [SA] tel que SH ~=~18~cm. Le rayon HC de la section est \ldots 
\begin{pspicture}(6,4)
\psellipse(3,3.25)(1.25,0.25)
\psellipticarc(3,2.25)(0.87,0.22){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](3,2.25)(0.87,0.22){0}{180}
\psline(1.8,3.2)(3,0)(4.2,3.2)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,3.25)
\psline[linestyle=dashed](3,2.25)(3.87,2.25)
\psline(3,3.25)(4.25,3.25)
\uput[l](3,3.25){A} \uput[r](4.25,3.25){B} \uput[r](3.87,2.25){C} \uput[l](3,2.25){H} \uput[r](3,0){S} 
\end{pspicture}&10~cm& 7,5~cm &5~cm\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\newpage
\begin{center}\textbf{Papier millimétré proposé (hors sujet)}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.015cm,yunit=0.0015cm}
\begin{pspicture}(-50,-250)(750,11000)
\multido{\n=0+5}{151}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+25}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+50}{221}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(750,\n)}
\multido{\n=0+250}{41}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(750,\n)}
\multido{\n=0+500}{23}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50000]{->}(0,0)(750,11000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50000](0,0)(750,11000)
\uput[d](750,-300){consommation}
\uput[d](750,-500){en kWh}\uput[u](0,11000){Coût en CFP}
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle--Calédonie mars  2011
\end{document}