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%Sujet aimablement fourni par Marc Incamps
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{8 septembre 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie 8 septembre 2025~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\medskip

\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\textbf{}}X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet}}\\
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 22 points}

\medskip

On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d'une maison.

\medskip

Le carreleur A fait payer 80~\euro{} par m$^2$.

Le carreleur B fait payer 60~\euro{} par m$^2$ auxquels il faut ajouter 970~\euro{} pour la mise en place du chantier.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour une surface dont l’aire est de 20 m$^2$, le prix est de \np{1600}~\euro{} avec le carreleur A et de \np{2170}~\euro{} avec le carreleur B.
\item Calculer le prix à payer pour une surface dont l’aire est 60 m$^2$ avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.
\item On désigne par $x$ l’aire de la surface à carreler exprimée en m$^2$.

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item On appelle $f$ la fonction qui à l’aire à carreler en m$^2$ associe le prix en euros à payer avec
le carreleur A. On admet que $f$ est définie par $f(x) = 80x$.
\item On appelle $g$ la fonction qui à l’aire à carreler en m$^2$ associe le prix en euros à payer avec
le carreleur B. On admet que $g$ est définie par $g(x) = 60x + 970$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de 70 par la fonction $f$ ?
		\item Quel est l'antécédent de \np{2400} par la fonction $f$ ?
		\item Sur le graphique fourni en ANNEXE, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique de la fonction $g$.

Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur ce même graphique.
	\end{enumerate}
\item En utilisant le graphique fourni en ANNEXE, à rendre avec la copie, estimer l'aire maximale en m$^2$ que l'on peut carreler avec un budget de \np{2800}~\euro{} si l'on choisit le carreleur B.
\item Calculer l’aire en m$^2$ pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 20 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. \textbf{Une seule réponse est exacte}.

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\textbf{Question 1}

La formule qui permet d’obtenir la pointure de chaussure $p$ à partir de la longueur $L$ du pied, exprimée en centimètres, est $p = 1,5(L + 1)$.

Quelle est la pointure d’un pied de longueur 25 cm ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
37,5& 38& 38,5&39\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 2}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Le triangle MUR, rectangle en U, qui est représenté ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{RMU}}$ arrondie au degré ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.3)
\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(3.8,2.8)
\psframe(3.8,0.3)(3.5,0.6)
\psarc(0.3,0.3){0.9}{0}{37}
\uput[dl](0.3,0.3){M} \uput[dr](3.8,0.3){U}\uput[ur](3.8,2.8){R}\uput[ul](1.8,1.6){9,7 cm}\uput[r](3.8,1.55){7,2 cm}\uput[ur](1.4,0.5){?}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$37\degres$& $42\degres$&$48\degres$&$53\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 3}

Un coureur a remporté la course du 100~m en 10 secondes exactement.

À quelle vitesse moyenne en km/h a-t-il parcouru cette distance ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
10 km/h &36 km/h& 44 km/h&60 km/h\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 4}

Roxane a acheté le modèle réduit d’un tableau célèbre à l’échelle $\dfrac{1}{20}$.

La largeur du modèle réduit est 7 cm. Quelle est la largeur réelle du tableau ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
14 cm &27 cm& 35 cm&140 cm\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 5}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Trois points nommés A, B, et C sont positionnés sur la sphère ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.7)
\pscircle(2.5,2.4){2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2.2](1.48,3.4)(1.85,0.75)(3.04,3.35)
\uput[ur](1.48,3.4){\small A}\uput[ur](3.04,3.35){\small C}\uput[ur](1.85,0.75){\small B}
\psellipticarc(2.5,2.4)(2,0.4){-180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.4)(2,0.4){0}{180}
\psellipticarc(2.5,1.6)(1.85,0.4){-180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,1.6)(1.85,0.4){0}{180}
\psellipticarc(2.5,1.)(1.38,0.3){-180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,1)(1.38,0.3){0}{180}
\psellipticarc(2.5,3.6)(1.58,0.3){-180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,3.6)(1.58,0.3){0}{180}
\psellipticarc(2.5,2.4)(1.2,2){90}{270}
\psellipticarc(2.5,2.4)(0.6,2){-90}{90}
\psellipticarc(2.5,2.4)(1.2,2){-90}{90}
\psellipticarc(2.5,2.4)(0.3,2){90}{-90}
\rput(4.4,3.6){\footnotesize $65\degres$}\rput(4.7,2.4){\footnotesize $0\degres$}\rput(4.6,1.5){\footnotesize $40\degres$}\rput(4.2,0.8){\footnotesize $65\degres$}
\rput(2.5,4.6){\footnotesize N}\rput(2.5,0.2){\footnotesize S}\rput(0.2,2.4){\footnotesize O}
\rput(5,2.4){\footnotesize E}
\uput[r](5.4,3.6){N : Nord} \uput[r](5.4,2.8){S : Sud}
\uput[r](5.4,2){O : Ouest} \uput[r](5.4,1.2){E : Est}
\rput{90}(1.1,2.4){\footnotesize $30\degres$}\rput{90}(2,2.2){\footnotesize $0\degres$}
\rput{90}(2.8,2.3){\footnotesize $30\degres$}\rput{90}(3.5,2.4){\footnotesize $50\degres$}
\end{pspicture}

\end{minipage}

Quel point a pour coordonnées ($65\degres$ N~;~$30\degres$ O) ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A &B& C& Aucun\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 3 \hfill 16 points}

\medskip

On s'intéresse au motif dessiné ci-dessous que l'on retrouve dans un pavage recouvrant un mur du palais de l'Alhambra en Espagne.

Ce motif est partagé en douze losanges superposables numérotés de 1 à 12. Dans chaque losange, les côtés ont pour longueur 5 cm, les angles aigus mesurent $60\degres$ et les angles obtus mesurent $
120\degres$.

\begin{center}
Le motif

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.6,0)(2.77128;30)(3.2;60)(2.77128;90)(1.6;120)
\pspolygon[linestyle=dashed,linewidth=2pt](3.2;0)(3.2;60)(3.2;120)(3.2;180)(3.2;240)(3.2;300)
\pspolygon(1.6;0)(2.77128;30)(1.6;60)(2.77128;90)(1.6;120)(2.77128;150)(1.6;180)(2.77128;210)(1.6;240)(2.77128;270)(1.6;300)(2.77128;330)(1.6;360)
\multido{\n=0+60}{6}{\psline(1.6;\n)}
\rput(1,1){\textcircled{1}}\rput(1.2,2.2){\textcircled{2}}\rput(0,1.4){\textcircled{3}}
\rput(-1.2,2.2){\textcircled{4}}\rput(-1.2,0.8){\textcircled{5}}\rput(-2.4,0){\textcircled{6}}
\rput(-1.2,-0.6){\textcircled{7}}\rput(-1.4,-2.2){\textcircled{8}}\rput(0,-1.4){\textcircled{9}}
\rput(1.4,-2.2){\textcircled{10}}\rput(1.4,-0.6){\textcircled{11}}\rput(2.4,0){\textcircled{12}}
\psarc(0,0){0.4}{0}{60}\psarc(1.6,0){0.4}{60}{180}
\rput(0.8;30){$60\degres$}\rput(1.3,0.6){$120\degres$}
\uput[d](0.8,0){5 cm}
\uput[d](0,0){A} \uput[r](1.6,0){B}\uput[ur](2.77128;30){C}\uput[ur](3.2;60){D}\uput[u](2.77128;90){E}\uput[ul](1.6;120){F}

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du losange \textcircled{1} par la symétrie centrale de centre A ?
\item Quelle est l'image du losange \textcircled{3} par la symétrie axiale d'axe (AF) ?
\item Quelle est l'image du losange \textcircled{7} par la rotation de centre A qui transforme le losange \textcircled{3} en le losange \textcircled{11} ?
\item Quelle est l’image du losange \textcircled{8} par la translation qui transforme A en E.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Louis a remarqué que le motif donné dans l’énoncé s'obtient à partir de l'hexagone ABCDE en appliquant plusieurs fois la même rotation de centre A.

Il souhaite tracer le motif avec le logiciel Scratch en prenant 10 pas pour 1 cm.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Le bloc dont le script est proposé ci-contre permet de tracer la figure représentée ci-dessous sur laquelle la flèche indique l’orientation du lutin au début du programme :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-1.6)(1.6,1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6;0)(1.6;60)(1.6;120)(1.6;180)(1.6;240)(1.6;300)
\uput[dl](1.6;240){A} \uput[dr](1.6;300){B}\uput[r](1.6;0){C}\uput[ur](1.6;60){D}\uput[ul](1.6;120){E}\uput[l](1.6;180){F}
\psline[linewidth=2pt]{->}(1.6;240)(1.38564;270)
\psline[linestyle=dashed](1.6;300)(2.77128;-30)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{hexagone ABCDEF}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\ldots} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{\ldots} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\ldots} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie, compléter les lignes 3, 4 et 5 afin que le bloc \og hexagone ABCDEF \fg{} trace l'hexagone ABCDEF de côté 5 cm en partant du point A.

Aucune justification n’est attendue.
\item Parmi les trois scripts proposés ci-dessous, lequel permet de tracer le motif en utilisant le bloc hexagone ABCDEF précédent ?

Aucune justification n’est attendue.

\emph{On rappelle que l'instruction} \begin{scratch}\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés} \end{scratch} \emph{signifie que le lutin se dirige vers la droite.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Script A}&\textbf{Script B}&\textbf{Script C}\\
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmoreblocks{Hexagone}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmoreblocks{Hexagone}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90} degrés}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{\blockmoreblocks{Hexagone}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 4 \hfill 23 points}

\medskip

Lorsque la neige vient à manquer en montagne, certaines stations de ski utilisent des canons à neige pour enneiger les pistes.

\medskip

\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On cherche à estimer le coût de l’eau nécessaire pour l'utilisation de canons à neige sur les pistes françaises pour produire une hauteur de 30~cm de neige.

\textbf{Information 1}

Pour produire 2,5 m$^3$ de neige, il faut 1 m$^3$ d’eau.

\textbf{Information 2}

Le prix de l’eau pour 1 m$^3$ est 4,30~\euro.

{\small \emph{Source : www.technoalpin.com/fr}}

 On rappelle que 1 hectare $= \np{10000}~m^2$.
 
On donne la formule $V = S \times h$ pour calculer le volume de neige à produire en fonction de l’aire de la piste et de la hauteur de neige souhaitée.

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $V$ représente le volume de neige à produire exprimé en m$^3$ ;
\item $S$ représente l’aire de la piste exprimée en m$^2$ ;
\item $h$ représente la hauteur de neige exprimée en m.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On s’intéresse à une piste dont l'aire est 1 hectare.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour enneiger cette piste sur une hauteur de $30$~cm, il faut prévoir \np{3000}~m$^3$ de neige.
		\item En déduire qu’il faut prévoir \np{1200}~m$^3$ d'eau pour enneiger cette piste sur une hauteur de $30$~cm.
		\item Montrer que le coût de \np{1200}~m$^3$ d’eau est \np{5160}~\euro.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'ensemble des pistes de ski françaises occupent une surface de \np{25000} hectares.

Quel serait le coût de l’eau si on utilisait les canons à neige sur l’ensemble des pistes françaises ?
		\item En réalité, les canons à neige ne sont utilisés que sur \np{9250}~hectares de pistes.

Calculer le pourcentage de la surface totale des pistes de ski sur laquelle sont utilisés des canons à neige.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Un skieur qui pratique le ski de fond dispose d’un plan représenté par la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.95cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.1)(15.8,7)
%\psgrid
\rput(7.9,0){\emph{La figure n’est pas représentée à l’échelle}}
\psline(1,5)(1,1)(7.7,1)(15.2,1)(11.5,5)(7.8,1)
\psline[linestyle=dashed](11.5,5)(11.5,1)
\psline[linewidth=2pt](1,5)(4,1)(11.5,1)(13.4,3)%AFDK
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,1)(0.6,5)\rput{90}(0.3,3){400 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(11.3,1)(11.3,5)\rput{90}(11,3){400 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.8,0.8)(11.5,0.8)\uput[d](9.65,0.8){300 m}
\psframe(1,1)(1.3,1.3)\psframe(11.5,1)(11.2,1.3)
\psarc(1,5){0.8}{-90}{-57}\rput(1.35,3.9){$30\degres$}
\psline(5.8,1.1)(5.8,0.9)\psline(5.9,1.1)(5.9,0.9)
\psline(9.6,1.1)(9.6,0.9)\psline(9.7,1.1)(9.7,0.9)
\psline(11.3,1.1)(11.3,0.9)\psline(11.4,1.1)(11.4,0.9)
\uput[u](1,5){A} \uput[dl](1,1){C} \uput[d](4,1){F} \uput[d](7.8,1){E} 
\uput[u](11.5,5){B} \uput[d](11.5,1){D} \uput[ur](13.4,3){K} \uput[dr](15.2,1){H} 
\end{pspicture}

Sur cette figure :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item le triangle ACF est rectangle en C tel que AC $= 400$~m et la mesure de l’angle $\widehat{\text{CAF}}$ est égale à $30\degres$ ;
\item le triangle BED est rectangle en D tel que ED $= 300$ m et BD $= 400$ m ;
\item FE = ED = DH ;
\item les points C, F{}, E, D et H sont alignés ;
\item le point K appartient au segment [BH] ;
\item les droites (EB) et (KD) sont parallèles.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la longueur du segment [FD] ?
\item Calculer la longueur du segment [AF] arrondie au m.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur du segment [EB] est égale à $500$m.
		\item Calculer la longueur du segment [DK].
	\end{enumerate}
\item En déduire la longueur du parcours qui passe par les points A, F, E, D et K.
\end{enumerate}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 5 \hfill 19 points}

\medskip

Une étude montre qu’un nombre important de nos vêtements reste dans les placards et n’est pas utilisé. Six amis décident de donner chacun une partie de leurs vêtements à une association lors d’une journée de collecte organisée dans leur village.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Inès compte $20$ tee-shirts dans son placard et souhaite en donner $70\,\%$ à l’association. Montrer qu’elle va en donner 14.
\item La feuille de calcul ci-dessous indique le nombre de tee-shirts que chacun des amis souhaite donner à cette association.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1&&Inès&Sylvain&Sabrina&Marco&Yuna&Axel&Total\\ \hline
2&Nombre de tee-shirts à donner&14&6&9&11&12&8&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule H2 pour obtenir le nombre total de tee-shirts à donner ?
		\item Les amis réunissent tous les tee-shirts qu’ils vont donner.
		
Calculer la probabilité qu’un tee-shirt pris au hasard appartienne à Yuna.
		\item Calculer le nombre moyen de tee-shirts donnés par chacun des amis.
		\item Quelle est la médiane du nombre de tee-shirts donnés ?
	\end{enumerate}
\item A la fin de la journée de collecte des vêtements, l’association a récolté un total de $168$ tee-shirts et $63$ pantalons. Cette association souhaite réaliser des lots identiques contenant chacun le même nombre de pantalons et le même nombre de tee-shirts en utilisant tous les vêtements donnés.
	\begin{enumerate}
		\item Peut-elle réaliser 4 lots ? Peut-elle réaliser 3 lots ?
		\item Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $168$ et de $63$.
		\item Quel nombre maximum de lots pourra-t-elle réaliser ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec votre copie}
\end{center}


\textbf{Exercice 1 - question 3. c.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.14cm,yunit=0.0014cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-7,-400)(95,8000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(95,8000)
\multido{\n=0+10}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+500}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n,)(90,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{90}{60 x mul 970 add}
\uput[d](85,6070){$\mathcal{C}_g$}
\uput[u](78,0){Aire de la surface en m$^2$}
\uput[r](0,7900){Prix en \euro}
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

\textbf{Exercice 3 : partie 2 - question 1.}

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{hexagone ABCDEF}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\ldots} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{\ldots} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\ldots} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}
\end{document}