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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{A. O. F.}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
A. O. F{}. \:juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l r}
3x + y&=& m,\phantom{- 37}&\qquad (1)\\
2x + 3y&=& 3m - 7,&\qquad  (2)
\end{array}\right.\]
où $m$ est un nombre connu variable.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites définies par les équations
(1) et (2) pour $m = 2$ et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
\item On suppose maintenant $m$ variable.

Pour chaque valeur de $m$ les équations (1) et (2) sont représentées par deux droites, $D_1$ et $D_2$.

Déterminer les coordonnées du point d'intersection, M, de ces deux droites.
\item Montrer que, lorsque $m$ varie, le point M se déplace sur une droite fixe, que l'on construira.
\item O étant l'origine du repère, calculer $m$ pour que OM $= \sqrt{10}$.

Construire alors $D_1$ et $D_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.70\linewidth}
Soit un triangle isocèle ABC (AB = AC); on prolonge de part et d'autre la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ en A$x$ et A$x'$.

On porte M sur A$x$ et N sur A$x'$, tels que
\begin{center}AM $\times$ AN = AB $\times$ AC ;\end{center}

(BM) coupe (CN) en P.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.24\linewidth}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(1,0.4)
\pspolygon(0,0)(-0.5,-1.3)(0.5,-1.3)%ABC
\psline(-1,0)(1,0)
\uput[u](0,0){A}\uput[dl](-0.5,-1.3){B}\uput[dr](0.5,-1.3){C}
\uput[d](-0.9,0){$x'$}\uput[d](0.9,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles MAB, NAC et MPN sont semblables.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{MPN}}$ en fonction de $\widehat{\text{BAC}}$.
\item Lieu de P lorsque M et N varient sur $x$A$x'$, le produit AM $\cdot$ AN restant constant et égal à AB $\cdot$ AC.
\end{enumerate}
\end{document}