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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges A. O. F. juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Deux mobiles partent au même instant de deux points A et B distants de $10$~kilomètres et se déplacent sur la droite (AB) dans le même sens (le sens de A vers B) ; celui qui part de A est animé d'une vitesse constante de $9$~kilomètres à l'heure ; celui qui part de B, d'une vitesse constante de $2$~kilomètres à l'heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction du temps $t$, exprimé en heures, les distances qui séparent chaque mobile du point A (l'origine des temps est l'instant où les mobiles partent de A et de B ; l'origine des abscisses est le point A).
\item Sur un même graphique, représenter les espaces parcourus en fonction du temps (on représentera 1 heure par une longueur de $5$~centimètres ; on représentera $1$~kilomètre par $1$~centimètre).
\item Calculer à quel instant (en heures, minutes et secondes) et à quelle distance de A (à 1 mètre près) l'un des mobiles dépasse l'autre.

Comment peut-on vérifier ces résultats sur le graphique ? (On énumérera les mesures que l'on doit faire et les opérations que l'on doit effectuer.)
\item Déterminer graphiquement la distance qui sépare les deux mobiles, $1$~heure~45~minutes après le départ (justifier la méthode employée).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Sur un segment de droite, [AB], on considère un point M (entre A et B) ; on pose MA $= a$, MB $= b$.

D'un même côté de la droite (AB), on construit deux triangles équilatéraux, MAC et MBD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le lieu géométrique du point C quand M décrit le segment [AB] ? Dans les mêmes conditions, lieu géométrique du point D.
\item Les droites (AC) et (BD) se coupent au point S.

Quel est le lieu géométrique du point I, milieu de [CD] quand M décrit le segment [AB] (on pourra utiliser la nature du quadrilatère MCSD).
\item Démontrer que les triangles MAD et MBC sont égaux.

Les droites (AD) et (BC) se coupent au point P{}.

Comparer les angles des triangles AMD et PAB.

Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{APB}}$ ?
\item Démontrer que les quatre points A, C, P{}, M sont sur un même cercle ; de même, les quatre points
 B, D, P{}, M.

Calculer, en fonction de $a$ et de $b$, le rapport des rayons de ces cercles.
\end{enumerate}
\end{document}