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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{A. O. F.}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
A. O. F{}.}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions
\[\dfrac{9 + 12x + 4x^2}{2x + 3},\qquad \dfrac{4x - x^2}{4x + 2x^2}.\]

\item  On considère les deux fonctions
\[y_1 = 2x + 3,\qquad y_2 = 1 - \dfrac x2.\]

Quel est le sens de variation de chaque fonction ? Pourquoi ? 

Tracer, par rapport à deux axes rectangulaires O$x$ et O$y$, les droites représentant les variations de ces deux fonctions (on prendra le centimètre pour unité, sur les deux axes).
\item Calculer les coordonnées du point A commun à ces deux droites.
\item Ces deux droites coupent l'axe O$x$ aux points B et C ; on désigne par H le point de l'axe O$x$ qui a la même abscisse que le point A.

Montrer que 
\begin{center}AH$^2 = - \overline{\text{HB}} \cdot \overline{\text{HC}}$.\end{center}

Que peut-on dire du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un point P situé à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon $R$.

Une droite quelconque passant par P coupe le cercle en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le centre C du cercle qui passe par les points P et M et qui est tangent en M au cercle de centre O.

Justifier la construction.

Tracer également le cercle de centre D qui passe par les points P et N et qui est tangent en N au cercle de centre O (il sera inutile de donner une seconde fois la justification).
\item Montrer que le quadrilatère ODPC est un parallélogramme.

En déduire que, lorsque la droite (MN) tourne autour du point P :
	\begin{enumerate}
		\item la droite (CD) passe par un point fixe, que l'on déterminera;
		\item la somme des rayons des cercles de centres C et D conserve une valeur constante, que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item Dans quel rapport algébrique le point P divise- t-il le segment [MN], lorsque le rayon du cercle de centre D est le double du rayon du cercle de centre C ?
\end{enumerate}
\end{document}