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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. O. F.}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet A. O. F. juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Calculer le produit 
\[(x + y)\left(x^2 - xy + y^2\right).\]

Utiliser le résultat pour simplifier la fraction

\[A = \dfrac{x^3 + y^3 - \left(x^2y + xy^2\right)}{(x - y)\left(x^2 + 2xy +y^2\right)}.\]

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, par rapport à deux axes de coordonnées rectangulaires O$x$ et O$y$, la droite $(L)$ d'équation  2 + 28

\[y = -\dfrac23 x - \dfrac{28}{3}.\]
\item Montrer que, quelle que soit la valeur donnée au nombre $m$, les droites $(D)$ d'équation 
$y = 2x + m$ présentent une particularité, que l'on mettra en évidence.

Quel est le point de la droite $(D)$ dont l'ordonnée est égale à $m$ ?

Construire sur le graphique où la droite $(L)$ est déjà tracée, la droite $\left(D_0\right)$ correspondant à $m = 0$.
\item En utilisant le graphique précédent, montrer comment, pour une valeur donnée de $m$, on peut résoudre graphiquement l'équation

\[(E) \qquad 2 x + m = -\dfrac23 x - \dfrac{28}{3}.\]

Déterminer graphiquement comment doit être choisi le nombre $m$, pour que l'équation $E$ admette une solution comprise entre 2 et 5.

(On justifiera les constructions qu'on sera appelé à effectuer pour résoudre les questions posées dans cette partie 3.)
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N.B. -} Les parties A et B sont entièrement indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étant donné un triangle isocèle ABC (AB = AC), montrer qu'il est possible de tracer un cercle de centre O tangent en B et C aux côtés [AB] et [AC] de ce triangle.

Justifier très brièvement la construction.

Comment se place le centre O par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC ?
\item Soit S un point du cercle de centre O, choisi sur l'arc $\widearc{\text{BC}}$ plus petit qu'un demi-cercle ; les droites (BS) et (CS) coupent la bissectrice extérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ du triangle ABC, respectivement en M et P{}.

Montrer que les angles $\widehat{\text{MSP}}$ et $\widehat{\text{MAB}}$ sont égaux.
\item Comparer le triangle SMP au triangle AMB ; puis au triangle ACP.
\item En déduire que 
\begin{center}AP $\times$ AM $= \overline{\text{AB}}^2$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}