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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges A. O. F. septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la droite d'équation $x + y = 0$, par rapport à deux axes rectangulaires O$x$, O$y$.
\item On considère le système de deux équations à deux inconnues, $x$ et $y$,
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&=& 0,\\
y&=& mx+ 1
\end{array}\right.\]

où $m$ est un nombre donné.

A quel résultat conduit la résolution de ce système quand $m = -1$ ?

Donner une explication graphique en utilisant les droites correspondant, dans ce cas particulier, aux deux équations.
\item On considère le système de deux équations à deux inconnues, $x$ et $y$,
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 0,\\
y &=&p(x - 1) - 1,
\end{array}\right.\]
où $p$  est un nombre donné.

Résoudre ce système pour une valeur quelconque
de $p$.

Quelle particularité présente le résultat ?

À quel résultat est-on conduit quand $p = -1$ (on remplacera $p$ par $- 1$ dans le système et l'on résoudra).
\item Quelle est l'ordonnée du point d'abscisse + 1 appartenant à la droite d'équation $y = p (x - 1) - 1$ ?

En utilisant la propriété ainsi mise en évidence et en faisant intervenir les droites d'équation $y = p(x - 1)- 1$,
donner une explication graphique des résultats obtenus dans la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Sur un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB = 2R, On prend un point C tel que CA $>$ CD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item De quelle façon doit-on choisir le point C sur le cercle $\mathcal{C}$, pour que cette inégalité soit vérifié ?
\item Dans ces conditions, on prolonge [CB] au delà de B, jusqu'au point M tel que 

CM = CA.

La perpendiculaire abaissée de M sur la droite (AB) coupe celle-ci au point H et coupe la droite (AC) au point F.

Quelle est la position du point B par rapport au triangle AMF ?

Montrer que CB = CF.
\item Lieu du point F quand le point C se déplace sur le cercle de façon  que l'inégalité CA $>$ CD reste vérifiée.

Limiter le lieu du point F.
\item Démontrer que 
\begin{center}MH $\times$ MF = MD $\times$ MC.\end{center}
\item En supposant que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est égal à $30\degres$, calculer, en fonction de $R$, la longueur du segment [AF]
et l'aire du disque circonscrit au triangle CBH.
\end{enumerate}
\end{document}