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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{A. O. F.}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
A. O. F. \: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs :
\[(x - 2)(2x + 5)- (3x - 4)(x - 2)+(x - 2)(2x - 7).\]

Pour quelles valeurs de $x$ le produit obtenu est-il nul ?
\item Construire les droites $L$ et $L'$ représentant respectivement les fonctions 
\begin{center}$y = x - 2$ \qquad et\qquad  $y = x + 2$.\end{center}
\item Comparer les directions de ces deux droites.
\item La droite $L$ coupe $xx'$ en A et $yy'$ en B et la droite
$L'$ coupe $xx'$ en C et $yy'$ en D.

Quelles sont les coordonnées de ces quatre points ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\item Former les équations des côtés [BC] et [AD] ainsi que les équations des médiatrices des côtés du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle de centre O et de diamètre [BC] tel que BC $= 2 R$.

On prend un point P sur le rayon [OB] et l'on décrit le cercle de centre B, de rayon [BP], qui coupe le demi-cercle précédent en A.

On trace (OA), qui recoupe le cercle de centre B en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OBA et ABD sont semblables et en déduire que BP est la moyenne
proportionnelle entre OB et AD.
\item Quand P décrit le segment [BO], sur quelle ligne se déplace le milieu, K, de [AD] ?

La limiter.
\item En utilisant les résultats de la première question, calculer en fonction de $R$ la valeur non nulle qu'il faut donner à BP pour que AD soit la moitié de BP{}.

Dans ce cas particulier, calculer la distance de B au milieu, K, de [AD] et l'aire du triangle OBA.
\item En utilisant le lieu trouvé au 2., construire le point P pour lequel les segments [OD], [DK] et [KA] ont la même longueur.

\end{enumerate}
\end{document}