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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Abidjan}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Abidjan juin 1968~\decofourright}\\[7pt] ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les expressions
\[\begin{array}{l c l}
E_1(x) &=&\dfrac{x-y}{xy} + \dfrac{y-z}{yz} + \dfrac{z-x}{zx}\\
E_2(x) &=& \dfrac{(3x - 4)^2- 5x(3x- 4)}{x^2 - 4}
\end{array}\]
et indiquer pour quelle valeur de $x$ cette simplification n'est pas légitime.

Pour quelles valeurs de $x$ l'expression simplifiée de $E_1(x)$ a-t-elle un sens ? ; est-elle nulle ?

Quelle est la valeur numérique de cette expression pour $x = \dfrac73$ ?
\item Résoudre l'équation
\[(2x - 1)^2 = 4(2x - 1).\]
\item Dans un repère orthonormé, résoudre graphiquement le système
\[\left\{\begin{array}{l c r}
3x- 9y&=&-7,\\
6x + 3y &=& 7
\end{array}\right.\]

et calculer les coordonnées du point d'intersection des graphes des deux fonctions.
\end{enumerate}

\textbf{N. B. -} Les trois questions sont indépendantes l'une de l'autre.

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donne un segment [BC]. Quel est l'ensemble des points d'où l'on voit ce segment sous un angle
droit ?
\item Soit A un point de cet ensemble, tel que AB $>$ AC.

On prolonge [AC] au-delà du point C de manière que 
AP $=$ AB.

De P on mène la perpendiculaire à (BC), qui
coupe le prolongement de [BC] en H et le prolongement
de [BA] en D.

D'autre part, (FB) coupe le cercle de diamètre [BC] en E.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point C est l'orthocentre du
triangle BPD et que les points D, C et E sont alignés.
		\item Démontrer que AD $=$ AC,
		\item Démontrer que PC $\cdot$ PA = PH $\cdot$ PD.
		\item Si l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $30\degres$, calculer en fonction
de $R$ la longueur du segment [BD], puis celle de [BH].

Calculer l'aire du triangle BDP.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}