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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Abidjan}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Abidjan juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'un triangle ABC a pour mesure $80$~cm et ses côtés, $a, b, c$, sont proportionnels aux nombres 5,\: 7,\: 4.

Déterminer la longueur de ses côtés.
\item Par un point M du segment [BC], intérieur à [BC], on mène (ME) parallèle à (AB).

Évaluer, en fonction de BM $= x$, le périmètre, $y$ du quadrilatère ABME.
\item Construire la droite d'équation
\[y_1 = \dfrac85 x + 40.\]
En déduire la représentation graphique des variations
du périmètre $y$ en fonction de BM $= x$.
\item Déterminer par le graphique et par le calcul les valeurs de $x$ pour lesquelles le périmètre mesure respectivement $32$~cm, $56$~cm et $88$~cm.

Calculer $x$ pour que $y = 8 $BM.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un triangle isocèle ABC, de base [BC], on mène les hauteurs [BH] et [CK] et la perpendiculaire en C à (AC), qui coupe le prolongement de [AB] en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}$ et $\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}$ ; démontrer la
relation 
\begin{center}AK $\cdot $ AD = AB$^2$2.\end{center}

\item Que représente (CB) pour l'angle $\widehat{\text{KCD}}$ ?

Comparer les rapports $\dfrac{\text{BK}}{\text{BD}}$ et $\dfrac{\text{CK}}{\text{CD}}$.
\item On mène (BE)à perpendiculaire à (CD).

Démontrer que les cinq points B, K, H, C et  E sont sur un même cercle.

En déduire que 
\[\overline{\text{DB}}  \cdot\overline{\text{DK}} = \overline{\text{DE}} \cdot \overline{\text{DC}}.\]
\end{enumerate}
\end{document}