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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Abidjan juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les fonctions
		
\begin{center}$y_1 = 2x,\quad y_2 = 2x + 3$ \quad et \quad $y_3 = - \dfrac x2 + 3$.\end{center}
\item Tracer, dans un système d'axes orthonormé les représentations graphiques de $y_1,\: y_2$ et $y_3$.
\item Montrer que les droites représentant $y_1$ et $y_2$ sont parallèles et que celles représentant $y_1$ et $y_3$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On donne les expressions
\begin{center}$A(x) = \dfrac{x+1}{x-1} - 2$ \qquad et\qquad  $B(x) = \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{x + 1}{2}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $A(x) = 0$.
\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Résoudre algébriquement, puis graphiquement, le système d'équations suivant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 3y &=& 5,\\
5x + 4y &=& 1.
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit un cercle (O) et un point P, extérieur au cercle.

Deux sécantes issues de P coupent le cercle, la première en A et B et la seconde en C et D.

De P, on mène la tangente en M au cercle.

On donne PA $= 12$~cm, PB $= 7$~cm et PC $= 6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la puissance du point P par rapport au cercle (O).
\item Calculer les longueurs de [PD] et [PM].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit deux droites perpendiculaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, se coupant en O.

On prend sur $x'\text{O}x$, de part et d'autre de O,les segments de longueur OA $= 4$~cm et OB $=2~$cm, on trace la médiatrice de [AB], qui coupe [AB] en H.

Soit M un point quelconque de cette médiatrice.

On trace (MA) et (MB), qui coupent respectivement O$y$ en C
et en D.

On appelle E le milieu de [CA] et F le milieu de [DB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles (IAB), (BOF) et (OEA) sont semblables.
\item Calculer la valeur numérique des rapports de similitude.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère un triangle (ABC) tel que AB $= 4$~cm et AC $= 6$~cm.

Soit G le centre de gravité de ce triangle.

La parallèle à (BC) menée par G coupe (AB) et (AC) respectivement en M et en N.

En déduire les mesures des segments [BM] et [AN].
\end{document}