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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Abidjan juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

1 - Calculer la valeur numérique de chacune des expressions suivantes:

$A = \sqrt{x^2 + y^2}$ pour $x = \sqrt 5$ et $y = \sqrt 7$ ;

$B =\sqrt{x . y}$ pour $x = \sqrt 7  + \sqrt 3$ et $y = \sqrt 7 - \sqrt 3$ ;

$C = \dfrac{2x}{2 - x} - \dfrac{2 - x}{x}$ pour $x = 1 - \sqrt 3$.

\medskip

\textbf{II.}

Sur un axe $\mathcal{A}$ , on considère les points A, B et M d'abscisses respectives
$2, \: -3$ et $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{\text{MA}},\: \overline{\text{AB}}$, puis $d$(M, A) et $d$(A, B).
\item On considère la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\begin{center}$f(x) = d$(M, A) $+ d$(A, B).\end{center} 

Représenter graphiquement la fonction $f$.
\item Pour quelles positions du point M par rapport aux points A et B a-t-on : 
\begin{center}$d$(M, A) $+ d$(A, B) $ = d$(M, B)\end{center}

Quelles sont les valeurs correspondantes de $x$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.}

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la droite d'équation
\[- 3x + 2y = 12.\]

On appellera $(D)$ cette droite.

Préciser les coordonnées du point A, intersection de $(D)$ avec l'axe des abscisses et celles du point B, intersection de $(D)$ avec l'axe des ordonnées.
\item On donne les vecteurs : 
\begin{center}$\vect{v} = 3\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$ et $\vect{w} = - 5\vect{\imath} - \vect{\jmath}$\end{center}

Calculer les coordonnées du point A$'$, image du point A dans la translation
de vecteur $\vect{v}$.

Calculer les coordonnées du point B$'$, image du point B dans la translation de vecteur $\vect{w}$.
\item Démontrer que les droites (AA$'$) et $(D)$ sont perpendiculaires.
\item Soit le point H milieu du bipoint (A, B).

Montrer que $/vect{\text{B}'H} = \vect{v}$.

En  déduire la nature du quadruplet (A, A$'$, H, B$'$).
\item Soit le point C, symétrique du point O par rapport à la droite $(D)$.

Montrer que les quatre points A, O, B et C sont sur un cercle de centre H dont on calculera le rayon.


); 
\item Calculer $\tan  \widehat{\text{OAB}}$.

Donner une valeur approchée à $1\degres$ près des écarts angulaires de 
$\widehat{\text{OAB}}$ et $\widehat{\text{OBA}}$.


\end{enumerate}
\smallskip

\emph{Remarque} : la question 6. peut être traitée aussitôt après la question 1.


\begin{center}
\textbf{TABLE TRIGONOMÉTRIQUE DE DEGRÉ EN DEGRÉ (extrait)}
~
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-5}
Degrés&Sinus&Tangente&Cotangente&Cosinus&\multicolumn{1}{|c}{~}\\ \hline
26 &0,438&0,488&2,050&0,899 &64\\ \hline
27 &0,454&0,509&1,962&0,891 &63\\ \hline
28 &0,469&0,531&1,88O&0,883 &62\\ \hline
29 &0,485&0,554&1,804&0,875 &61\\ \hline
30 &0,500&0,577&1,732&0,866&60\\ \hline
31 &0,515&0,601&1,664&0,857&59\\ \hline
32 & 0,530&0,625&1,600&0,848&58\\ \hline
33 & 0,545&0,649&1,54O&0,839&57\\ \hline
34 & 0,559&0,674&1,483&0,829&56\\ \hline
35 & 0,574&0,700&1,428&0,819&55\\ \hline
36 & 0,588&0,726&1,376&0,809&54\\ \hline
37 &0,602&0,754&1,327&0,799&53\\ \hline
38 &0,616&0,781&1,28O&0,788&52\\ \hline
39 &0,629&0,810&1,235&0,777&51\\ \hline
40 &0,643& 0,839&1,192&0,766&50\\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&Cosinus&Cotangente&Tangente&Sinus&Degrés\\ \cline{2-6}
\end{tabularx}
\end{center}


\end{document}