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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Addis-Abeba}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Addis-Abeba}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'expression

\[Y = \dfrac{21x+6}{9x^2 - 4}  - \dfrac{15x- 10}{9x^2 - 12x + 4}  + \dfrac{x}{3x^2 + 2x}\]

se réduit, après simplification, à la forme
\[Y= \dfrac{a}{bx + c},\]
$a,\: b,\: c$ étant des nombres indépendants de $x$, dont on
donnera la valeur.
\item Calculer la valeur numérique de $y$ pour $x = \dfrac{\sqrt 3}{3}$.

Que peut-on dire de la fraction $y$ pour $x = - \dfrac23$ ?
\item Construire la droite $\left(D_1\right)$ qui représente les variations de la fonction
\[y = \dfrac 3Y.\]
\item $\left(D_1\right)$ coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B.

Trouver l'équation de la médiatrice $\left(D_2\right)$ du segment [AB].
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$ on trace de part et d'autre du centre deux cordes parallèle [AB] et [CD], la première, [AB], de longueur égale à celle du  côté du triangle équilatéral inscrit, l'autre, [CD], de longueur égale au côté de l'hexagone régulier inscrit.

On mène les cordes [AD] et [BC], qui se coupent en I (I intérieur au cercle).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ est droit.
\item Montrer que I se trouve sur le diamètre perpendiculaire aux cordes [AB] et [CD].
\item Calculer la longueur des côtés des triangles AIB et DIC en fonction de $R$.
\item Calculer l'aire des triangles AIB, CID, ainsi que la somme de ces aires en fonction de $R$.
\item Calculer OI en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}