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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Addis-Abeba juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un trapèze ABCD rectangle en A et B.

La grande base [BC] mesure $10$~cm, la petite base [AD]  $7$~cm, la hauteur [AB] $4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer DC.
\item M étant un point quelconque de la demi-droite A$x$ qui porte [AB], on mène par ce point la parallèle (MN) aux bases (N est sur la demi-droite D$y$ qui porte [DC]).

On pose AM $= x$.

Calculer en fonction de $x$, les longueurs $y$ et $z$ des segments [DN] et [MN] ; représenter graphiquement leurs variations quand M se déplace sur A$x$.

(On pourra utilement mener par D la parallèle D$z$ à A$x$.)
\item Le triangle DMN peut être isocèle si DN = MN.

Pour quelle valeur de $x$ cela se produit-il ?

Vérifier ce résultat sur le graphique.
\item Le triangle DMN peut encore être isocèle, mais cette fois avec DN = DM.

Calculer alors $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Etant donné un demi-cercle  de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, on prend sur sa demi-tangente en A un point P et l'on mène de ce point la deuxième tangente au demi-cercle ; soient T son point de contact et C le point où elle coupe le prolongement de [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Supposant l'angle $\widehat{\text{APO}}$ égal à $60\degres$, calculer en fonction de $R$ les longueurs PA, PT, PO et OC.
\item L'angle $\widehat{\text{APC}}$ étant maintenant quelconque, on désigne par D le point où se coupent les droites (OT) et (AP).

Démontrer que le triangle PCD est isocèle et que (PO) est perpendiculaire à (CD).
\item Démontrer que les triangles PAT et PDC sont semblables et que leur rapport de similitude est égal au rapport des longueurs des segments [OA] et [OC].
\end{enumerate}
\end{document}