\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Addis Abeba septembre 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Addis Abeba}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Addis Abeba septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs l'expression suivante :
\[(x - 2)(2x + 5) -(3x - 4)(x - 2) +(x - 2)(2x - 7).\]

Pour quelles valeurs de $x$ le produit obtenu est-il nul ?
\item Construire les droites $L$ et $L'$ représentant respectivement les fonctions
\begin{center}$y = x - 2$\qquad  et \qquad $y = x + 2$.\end{center}
\item Comparer les directions de ces deux droites.
\item La droite $L$ coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B ; la droite $L'$ coupe $x'x$ en C et $y'y$ en D.

Quelles sont les coordonnées de ces quatre points ?

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On trace le rayon [OC] perpendiculaire en O à (AB) ainsi que la tangente en B au cercle $\mathcal{C}$ ; M étant un point variable de [OC], on trace (AM) qui coupe le cercle $\mathcal{C}$ au point N et la tangente B$x$ en I.

On mène la tangente en N ; elle coupe B$x$ en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (OP) est médiatrice du segment [BN] et que (OP) est parallèle à (AM).
\item Démontrer que M et P sont les milieux des côtés [AI] et [IB] du triangle AIB.

Qu'en conclure pour le segment [PM] en grandeur et direction et pour le quadrilatère AMPO ?
\item Démontrer que le quadrilatère MNPO est inscriptible et préciser sa nature.
\item Dans le cas particulier où M est le milieu de [OC], trouver les mesures BI, AI, AN, BN, ainsi que l'aire du quadrilatère OMNP.
\end{enumerate}
\end{document}