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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Afghanistan}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afghanistan juin 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les quatre exercices sont indépendants}

\medskip

Les détails des calculs doivent apparaître sur la copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x = \dfrac85, \quad y= \dfrac37, \quad  z = \dfrac35.$
	\begin{enumerate}
		\item Ranger les nombres $x$, $y$ et $z$ en ordre croissant.
		\item Écrire, sous la forme d'une fraction, les nombres suivants :
\[x +y,\quad  z^2 - xy.\]
	\end{enumerate}
\item Soit $A = \sqrt{75} - \sqrt{25}$.

Écrire $A$ sous la forme $x\sqrt 3$, où $x$ désigne un entier.
\item  Soit $P = (7x - 1)^2 - (7x - 1)(5x + 2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $P$.
		\item Factoriser $P$.
		\item Calculer $P$ pour $x = 0$ et pour $x = \dfrac32$.
	\end{enumerate}
\item Olivier dépense $512$ F pour acheter 5 disques de même prix et 3 livres de même prix. 

Un disque coûte 16 F de plus qu'un livre. 

Calculer le prix d'un livre et le prix d'un disque.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en B ; AB $= 4$ cm et $\widehat{\text{BAC}} = 60\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC.
\item Calculer la longueur BC et donner la réponse arrondie au mm le plus proche.
\item Construire le point D, image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. Que représente le vecteur $\vect{\text{AD}}$ pour les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
\item I est le milieu de [AC]. Construire le point E, symétrique de B par rapport à I.
		
Quelle est la nature du quadrilatère ABCE ?

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
La pyramide représentée ci-après est régulière.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,3)
%\psgrid
\psline(0,2.4)(-1.7,-0.8)(0.7,-0.8)(1.7,0.8)(0,2.4)(0.7,-0.8)%IDCBIC
\pspolygon[linestyle=dashed](-1.7,-0.8)(-0.7,0.8)(1.7,0.8)%DABD
\psline[linestyle=dashed](-0.7,0.8)(0,2.4)(0,0)(1.2,0)%AIOK
\psline(0,2.4)(1.2,0)%IK
\uput[dr](-0.7,0.8){A} \uput[r](1.7,0.8){B} \uput[dr](0.7,-0.8){C} \uput[dl](-1.7,-0.8){D}
\uput[u](0,2.4){I} \uput[d](0,0){O} \uput[r](1.2,0){K}
\end{pspicture}
\end{center}

Sa base est un carré de 5 cm de côté. Ses quatre faces latérales sont des triangles isocèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un carré ABCD de 5 cm de côté. Ce carré repré- ente la base de la pyramide.

On appelle O le point d'intersection des diagonales de ABCD et K le milieu de [BC].

Démontrer que OK $= 2,5$ cm.
\item La hauteur [OI] de la pyramide mesure 6 cm. (OI) et (OK) sont perpendiculaires.

Calculer IK.
\item Démontrer que (IK) est une hauteur du triangle IBC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Françoise a $500$~F dans sa tirelire; chaque mois, ses parents lui donneront 20 F{}.

Gilles n'a rien dans sa tirelire; chaque mois, ses parents lui donneront 70 F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle somme chacun d'entre eux aura-t-il dans sa tirelire au bout de sept versements des parents ?
\item Les parents effectuent $x$ versements à Françoise et $x$ versements à Gilles.

Exprimer en fonction de $x$ la somme $f$ que possède Françoise et la somme $g$ que possède Gilles.
\item Construire un repère orthogonal sur papier millimétré. L'axe des abscisses est gradué en cm de 0 à 14. L'axe des ordonnées est gradué de 0 à \np{1000} ; un cm correspond à $100$.

Dans ce repère, construire la droite $\left(d_1\right)$ d'équation $y = 20x + 500$ et la droite $\left(d_2\right)$ d'équation $y = 70x$.
\item Placer sur $\left(d_1\right)$ et sur $\left(d_2\right)$ les points d'abscisse 5.

Quelles sont leurs ordonnées ?

Comment peut-on utiliser le graphique pour retrouver les réponses de la question 1 ?
\item Trouver, à l'aide du graphique, le nombre de versements au bout duquel Françoise et Gilles ont la même somme dans leurs tirelires. 

Quelle est cette somme ?
\item Retrouver ces résultats par le calcul.
\item Françoise veut acheter un vélo-cross de 750 F.

Combien de versements Françoise doit-elle recevoir ?
\end{enumerate}
\end{document}