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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Afrique 2}
\lfoot{\small juin 1996}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Centres étrangers Afrique 2\footnote{Djibouti, Gabon, Guinée, Mali, Maroc, Sénégal, Tchad} juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose $A = (x + 3)^2 - (x - 3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $A = 12x$.
\item En déduire la valeur de $\np{1000003}^2 - \np{999997}^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Chez un pâtissier :

Sylvain achète trois brioches et deux croissants, il paie 22 F.

Laure achète cinq brioches et trois croissants, elle paie 35,50 F.

Déterminer le prix d'une brioche et celui d'un croissant.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un commerçant décide d'augmenter de 12\,\% les prix des vêtements qu'il met en vente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nouveau prix d'un gilet qui coûtait $550$ F ?
\item On désigne par $x$ le prix initial d'un article. 

Expliquer pourquoi son nouveau prix est $1,12x$.
\item Après l'augmentation, une robe coûte \np{1680} F{}. Quel était son prix
initial ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, ont été représentés les résultats d'une classe de 24 élèves à un devoir de biologie.

On a oublié de prendre en compte six élèves, qui ont obtenu la même note $x$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(21,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(0,0)(21,5)
\psframe[fillstyle=hlines](6,0)(7,2)
\psframe[fillstyle=hlines](8,0)(9,3)
\psframe[fillstyle=hlines](9,0)(10,5)
\psframe[fillstyle=hlines](12,0)(13,3)
\psframe[fillstyle=hlines](14,0)(15,5)
\uput[d](10,-0.6){notes}\rput{90}(-1.5,2.5){effectfs}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note sur 20 &6 &8 	&9 	&12 &15 &$x$\\ \hline
Effectif 	&2 &	&	&	&	&6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Sachant que la moyenne de ce devoir a été de $12,5$ sur $20$, déterminer la valeur commune $x$ des six notes manquantes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un plan muni d'un repère orthonormal (0, I, J), on considère les points : 

\begin{center}A$(-2~;~3)$, \quad  B$(2~;~-1)$\quad  et \quad D(2~;~5).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure, en prenant comme unité le centimètre.
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$. En déduire la longueur AB (on donnera le résultat sous la forme $a\sqrt 2$).
\item C désigne le point du plan tel que ABCD soit un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées du point C.
\item Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y = x + 3$.

Montrer que($(\Delta)$ est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A, tel que : AB $= 4,5$~cm et AC $= 7,5$ cm.

Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ (on donnera la valeur arrondie au degré près).
\item Placer le point E sur [AB] et le point F sur [AC] tels que AE $= 3$ cm et AF $= 5$ cm.

Démontrer que les droites (EF)et (BC)sont parallèles.
\item On appelle K le point tel que $\vect{\text{EK}} = \vect{\text{KA}} + \vect{\text{EF}}$, et H l'image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{FK}}$. 

Construire K et H, puis démontrer que A est le milieu du segment [EH].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,1.8)(2.1,1.8)(2.1,4.9)%ABS
\psline(2.1,1.8)(3.3,3.8)(2.1,4.9)%BCS
\psline(1.15,1.7)(1.15,1.9)%I
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.8)(3.3,3.8)
\uput[d](0.2,1.8){A} \uput[d](2.1,1.8){B} \uput[r](3.3,3.8){C}
\uput[d](1.15,1.8){I} \uput[ur](2.7,4.35){J} \uput[u](2.1,4.9){S}
\psline(2.6,4.3)(2.7,4.4)
\rput(2.1,5.5){figure 1}
%%%%
\psline(6.9,4.7)(9.6,1.8)(5.2,1.8)(6.9,4.7)(6.9,0.2)(9.6,1.8)%SCA1SA2C
\psline(6.05,1.8)(8.25,3.25)(8.25,1.8)%I1JH
\psline(6.9,1)(8.25,3.25)%I2J
\psframe(6.9,1.8)(6.7,2)\psframe(6.9,1.8)(7.1,2)\psframe(6.9,1.8)(7.1,1.6)
\psframe(8.25,1.8)(8.45,2)
\uput[u](6.9,4.7){S} \uput[dl](6.9,1.8){B}  \uput[r](9.6,1.8){C}  \uput[ur](8.25,3.25){J}
 \uput[d](8.25,1.8){H}  \uput[d](5.2,1.8){A$_1$}  \uput[d](6.9,0.2){A$_2$}  \uput[d](6.05,1.8){I$_1$}\uput[l](6.9,1){I$_2$}
 \rput(6.9,5.5){figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

La figure 1 représente, en perspective, un bâtiment moderne, en forme
de pyramide, ayant pour base un triangle ABC rectangle en B et pour hauteur l'arête [SB].

Ses dimensions, en mètres, sont: AB $= 6$, BC $= 10$ et BS $= 12$.

On désigne par I le milieu de [AB) et par J celui de [SC].

La figure 2 représente un patron de 3 faces de cette pyramide. A$_1$ et A$_2$ correspondent au point A, I, et I$_2$ correspondent au point I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Citer les deux segments de la figure 2 qui correspondent à l'arête [AB) de la pyramide.
		\item Quelle est la face de la pyramide qui manque sur ce patron?
	\end{enumerate}
\item On souhaite joindre les points I et J par un câble le plus court possible, \textbf{tout en restant sur les faces de la pyramide}. 

On a tracé deux chemins possibles [I$_1$J] et [I$_2$J] sur le patron et l'on admet que l'un des deux correspond au chemin le plus court recherché.

Soit H le projeté orthogonal de J sur [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que H est le milieu de [BC],et que JH $= 6$.
		
Justifier que I$_1$H $= 8$, puis en déduire I$_1$J.

De même, en utilisant K, projeté orthogonal de J sur [BS],calculer
I$_2$J.
		\item Déduire des questions précédentes qu'il suffit d'un câble de 10 m
pour joindre I et J en restant sur les faces de la pyramide.
		\item La droite (I$_1$J) coupe [BS] au point P. Calculer la distance BP.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le bâtiment a un volume de $120$ m$^3$.
		\item L'architecte réalise une maquette à l'échelle $\dfrac{1}{50}$ de ce bâtiment.
		
Quelle est, sur la maquette, la longueur du câble (en cm) et quel est le volume (en cm$^3$) de cette maquette ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}