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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Brevet collèges }
\lfoot{\small{Afrique}}
\rfoot{juin 2006}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Afrique}}
\rfoot{Brevet des collèges}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique juin 2006~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{\gray Activités numériques} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner les résultats sous forme irréductible (aucun détail des calculs n'est exigé) :

\[\text{A} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{5}{2} \times\dfrac{1}{5}\quad\text{et} \quad\text{B} = \dfrac{3\times10^5 \times2 \times10^{-4}}{9\times10}.\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sans calculer leur PGCD, dire pourquoi les nombres $648$ et $972$ ne
sont pas premiers entre eux.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer PGCD (972 ;  648).
		
En déduire, l'écriture irréductible de la fraction $\dfrac{648}{972}$.
		\item Prouver que	$\sqrt{648} + \sqrt{972} = 	18\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 3}
 
 \medskip
 
On considère l'expression $E =  (x+ 2)(x - 3) + (x- 3)$.
\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = 3$, puis pour $x =\sqrt{2}$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $x^2 - 9 =  0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 4}
 
 \medskip
 
En 2004, une entreprise a augmenté ses ventes de 30\,\%. En 2005, les ventes ont encore augmenté, cette fois-ci de 20\,\%. Calculer l'augmentation globale en pourcentage sur ces deux années.

\bigskip

 \textbf{\textsc{\gray Activités géométriques} \hfill 12 points}

\vspace{0,5cm}
Les figures demandées seront tracées sur une feuille quadrillée.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\smallskip

\begin{center}\begin{pspicture}(7,5)
\psline(0,3.52)(5.9,5)(6.5,2.7)(5.05,0.4)(0,3.52)(6.5,2.7)
\qdisk(3.25,3.1){1.5pt}
\uput[l](0,3.52){A} \uput[ur](5.9,5){C} \uput[r](6.5,2.7){B} \uput[d](5.05,0.4){D} \uput[d](3.25,3.1){O}
\uput[u](2.8,4.5){63 cm} \uput[u](4.5,3){65 cm}	
\uput[r](6.2,4){$x$} \uput[d](2.2,2){56 cm}
\uput[dr](5.8,1.5){33 cm}
\psline(5.6,4.93)(5.7,4.6)(5.96,4.68)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin à l'échelle 1/10. Vous laisserez visibles les traits de construction.
\item Calculer $x$.
\item Démontrer que ABD est rectangle. Vous préciserez en quel point.
\item O est le milieu de [AB]. Montrer que OC = OD.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

 \smallskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4)
\pspolygon(0,1.45)(3.05,1.9)(4.6,4)(6.1,0.2)
\psline(4,3.25)(4.97,0.8)(1.26,1.65)
\psline(3.05,1.9)(6.1,0.2)
\uput[l](0,1.45){C$'$} \uput[ul](1.2,1.65){C} \uput[ul](3.05,1.9){O} \uput[r](4,3.25){A} 
\uput[r](4.6,4){A$'$} \uput[ur](4.97,0.8){B} \uput[dr](6.1,0.2){B$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

Les points O, A et A$'$ sont alignés.

Les points O, B et B$'$ sont alignés.

Les points O, C et C$'$ sont alignés.

Sur le dessin ci-après :

(AB)//(A$'$B$'$) et (BC)//(B$'$C$'$)

OB = 4 cm ; OB$'$ = 5 cm

OA = 3 cm ; OC$'$ = 6 cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OC.
\item Calculer OA$'$.
Démontrer que (AC) // (A$'$C$'$).
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 3}

\medskip

Un prisme ayant pour base un triangle rectangle est représenté ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0.6)(5,5)
\pspolygon(4.7,5)(3.2,4)(0,5)
\psline(4.7,5)(4.7,1.8)(3.2,0.8)(0,1.8)(0,5)
\psline(3.2,0.8)(3.2,4)
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(4.7,1.8)
\psline(2.8,4.1)(3.1,4.3)(3.43,4.18)
\psline(2.8,0.92)(3.1,1.17)(3.5,1.02)
\uput[d](1.6,1.3){4 cm}  \uput[d](4.4,1.2){3 cm}  \uput[r](4.7,3.3){4 cm}  
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Combien a-t-il d'arêtes ? de faces ? de sommets ?
\item Quel est le volume de ce prisme?
\item Tracer un patron de ce prisme en vraie grandeur.
\end{enumerate}

\newpage

 \textbf{\textsc{\gray Problème} \hfill 12 points}

\medskip

 Lors d'une de ses tournée, le chanteur Philibert Collin utilisa une scène en forme de chapiteau une pyramide régulière à base hexagonale dont les faces latérales s'ouvrirent au début du concert et se refermèrent à la fin.

\bigskip

\textbf{PREMI\`ERE PARTIE :  LA BASE HEXAGONALE}

\medskip

La scène est un hexagone régulier (voir figure ci-dessous) inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 10 m.\\
\parbox{0.67\textwidth}{\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Démontrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item En déduire le périmètre de la scène.
 \end{enumerate}
\item Démontrer que OABC est un losange.
\item \begin{enumerate}
\item  Démontrer que FAC est un triangle rectangle.
\item Calculer AC. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.)
\end{enumerate}
\item Calculer l'aire de la scène. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.)
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.31\textwidth}{\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\SpecialCoor
\pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300)(2;0)
\psline(2;0)(2;180) \psline(2;60)(2;240) \psline(2;120)(2;300)
\uput[r](2;0){C} \uput[ur](2;60){D} \uput[ul](2;120){E} \uput[l](2;180){F} 
\uput[dl](2;240){A} \uput[dr](2;300){B} \uput[ur](0;0){O} 
\pscircle[linestyle=dashed](0;0){2}
\pswedge{4mm}{240}{300}
\rput(0.6;270){$60^{\circ}$}
\end{pspicture}}

\bigskip

 \textbf{DEUXIÈME PARTIE :  LA PYRAMIDE}
 
 \medskip
 
Avant et après le spectacle, on observe une pyramide SABCDEF, de sommet
 S et dont la base est l'hexagone régulier ABCDEF. On supposera,
dans cette partie, que l'aire de ABCDEF est égale à 259,8~m$^2$.

La hauteur SO de cette pyramide mesure 4 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume de cette pyramide.

 On donnera la réponse en m$^3$.
\item Calculer SA.
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,4.2)
\pspolygon(0,1.05)(2.8,0.1)(4.8,1.15)(4.8,3)(2.8,4)(1.9,4)(0,2.9)
\psline(0,1.05)(2.8,4)(2.8,0.1)
\psline(4.8,1.15)(2.8,4)(4.8,3)
\psline(2.8,4)(0,2.9)
\psline[linestyle=dashed](0,1.05)(4.8,3)
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.1)(1.9,4)
\psline[linestyle=dashed](4.8,1.15)(0,2.9)
\psline[linestyle=dashed](2.4,2)(2.8,4)
\psline(2.15,1.92)(2.24,2.2)(2.45,2.32)
\uput[dl](0,1.05){A} \uput[d](2.8,0.1){B} \uput[dr](4.8,1.15){C} \uput[ur](4.8,3){D} 
\uput[u](2.8,4){S} \uput[ul](1.9,4){E} \uput[ul](0,2.9){F} \uput[d](2.3,2){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item Calculer le volume d'une maquette à l'échelle $\dfrac{1}{20}$ de cette pyramide.

On choisira une unité appropriée pour donner la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}