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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Afrique groupe A}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique groupe A\footnote{Afrique du Sud, Burundi, Comores, Ile Maurice, Kenya, Madagascar, Mozambique, Rwanda, Tanzanie, Zaïre.
} juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $(x - 3)^2$.
\item Montrer que
\[(x - 3)^2(x + 6) = x^3 - 27x + 54.\]
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que
\[x \longmapsto  x^3 - 27x + 54.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(-6),\: f(0),\: f(3),\:f(0,1),\: f\left(\dfrac73\right).$
		\item $f$ est-elle une bijection ; pourquoi ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$.
		\item Donner les valeurs approchées à $0,1$ près par défaut et par excès de $f\left(\sqrt 2\right)$ ; (on rappelle que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$).
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 54$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit (A, B, C) un triangle rectangle en A et tel que AB $= 4$ et BC $= 8$.

Soit M le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure, en prenant le centimètre comme unité.
\item Calculer AC et AM.
\item Quelle est la nature du triangle (A, M, B) ?

En déduire que H est le milieu de [BM].
\item Par M on trace la parallèle à la droite (AH) ; elle coupe la droite (AC) en N. 

Calculer AN et NC.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{ABC}}$.

En déduire la mesure en degrés de $\widehat{\text{ABC}}$.

Calculer $\sin \widehat{\text{CNM}}$.

En déduire la mesure en degrés de $\widehat{\text{CNM}}$. Que peut-on remarquer ?
\end{enumerate}
\end{document}