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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Afrique}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $A = 5 + 2\sqrt 7$ et $B = 5 - 2\sqrt 7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $A \times B$ ;\: $A^2$ ;\: $B^2$
\item Écrire $\dfrac{A}{B}$ sans radical au dénominateur.
\item Sachant que $2,645< \sqrt 7 < 2,646$, trouver un encadrement
à $10^{-2}$ près de $B$.
\item Calculer $\sqrt{53 + 20\sqrt 7}$  et $\sqrt{53 - 20\sqrt 7}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

Dans cet exercice on choisit le centimètre comme unité de longueur.

Dans un repère orthonormé \Oij{}
les droites $\Delta_1, \: \Delta_2,\: \Delta_3$ ont respectivement pour équation :

\[y = 6 - 2x\:;\qquad  y = x+3\:;\qquad y = -2x.\]

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $\Delta_1, \: \Delta_2,\: \Delta_3$.

Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ se coupent en A.

Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ coupent respectivement l'axe des
abscisses en E et F.
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement les coordonnées des points A, E, F.
		\item Retrouver par le calcul les coordonnées des points A, E, F. 
		\item Montrer que le point B(4; -2) appartient aux droites III et Il).
	\end{enumerate}
\item Tracer la hauteur (AH) du triangle AEF.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances EF et AH.
		\item En déduire la mesure en cm$^2$ de l'aire du triangle AEF.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, placer les points 

\begin{center}A(6~;~0),\qquad B$(-3~;~3)$,\qquad C$(-4~;~0)$,\qquad D$(4~;~-6)$.\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E tel que le quadrilatère ACBE soit un parallélogramme.
		\item Lire les coordonnées du point E et retrouver ces coordonnées par le calcul.
		\item Démontrer que les points A, E, D sont alignés.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$ ; démontrer que les vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.
		\item Soit M le milieu de [AC] ; calculer les coordonnées de M.
		\item Soit F le symétrique de B par rapport au point M.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ?
		\item Calculer les coordonnées du point F. Démontrer que F est le milieu de [AD].
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que (AB) est la médiatrice de [EF] et que $\vect{\text{ED}} = 3\vect{\text{AF}}$.
\end{enumerate}
\end{document}