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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet AFRIQUE (Groupe A)\footnote{Afrique du Sud, Burundi, Comores, Ile Maurice, Kenya. Madagascar, Mozambique, Rwanda, Tanzanie. Zaïre}juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$F$ est la fonction rationnelle définie dans $\R$ par
\[F(x) = \dfrac{3-x}{1 - 3x}\]


\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de la
fonction $F$.
\item Calculer $F\left(\sqrt 3\right)$. Donner une réponse dans laquelle le dénominateur est un entier.
\item Sachant que, $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$,
donner un encadrement de $F\left(\sqrt 3\right)$ à 1 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$f$ est l'application polynôme de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x ) = (4x + 1)^2 - 2(4x + 1)(4x - 1) + 4x + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ et l'écrire sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Factoriser $f(x)$ en un produit de polynômes du premier degré.
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers relatifs $\Z$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit les fonctions affines $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$
définies par 
\begin{center}$f(x) = 9x - 3$\quad et \quad $g(x) = \dfrac73 x +\dfrac13$.\end{center}

$(D)$ et $(D')$ désignent leurs représentations graphiques respectives dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'ordonnée du point A de $(D')$ qui a pour abscisse $(-2)$.
\item Calculer les coordonnées du point B, intersection de $(D)$ et de l'axe des abscisses.
\item Calculer les coordonnées du point C, intersection de $(D)$ et $(D')$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B,C et D tels que :
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$\:;\quad $\vect{\text{OB}} = -6\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$\:;\quad $\vect{\text{OC}} = -\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$\:;\quad et $\vect{\text{OD}} = 3\vect{\jmath}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E tel que (A, D, E, B) soit un parallélogramme.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite $\left(D_1\right)$ passant par A et D.
		\item Déterminer une équation de la droite $\left(D_2\right)$ passant par C et parallèle à la droite $\left(D_1\right)$.
		\item En déduire que la droite $\left(D_2\right)$ passe par le point F$(-2~;~-2)$.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.

En déduire le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.
\item Soit $x$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ADE}}$, calculer $\tan x$, puis à l'aide des tables trigonométriques, donner un encadrement de $x$ au degré près.
\end{enumerate}
\end{document}