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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Afrique groupe B}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet AFRIQUE (Groupe B)\footnote{ Cameroun, Congo, Ghana, Guinée, Haute-Volta, Mali, Mauritanie, Niger, Nigeria, République Centrafricaine, République populaire du Bénin, Sénégal, Tchad, Togo.
}juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = 9x^2 - 25.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(- \dfrac73\right) ;\: f\left(\sqrt 3 - 2\right)$.
		\item Déterminer les réels, s'ils existent, ayant pour images par f les réels: 0; 39.
		\item L'application $f$ est-elle une bijection ?
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[g(x) = (5 - 3)(x -2) + 9x^2 - 30x + 25.\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer $g(x)$ et l'écrire sous la forme d'un
polynôme réduit et ordonné.
		\item Écrire $g(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Soft $h$ la fonction rationnelle définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $E$ de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 2 \right)$.
		\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ donner un encadrement de $h\left(\sqrt 2 \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé
\Oij{} les points A, B, C tels que

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$ \:;\quad $\vect{\text{OB}} = 6\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$ \:;\quad  $\vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées du point I, milieu du bipoint (A, B) et celles du milieu du bipoint (O, C) ? 

Que dire du quadruplet (O, A, C, B) ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OB}}$ sont orthogonaux.
		
Que peut-on en conclure pour le quadruplet (O, A, C, B) ?
		\item En déduire que les quatre points A, O, B, C appartiennent à un même cercle $C$ dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.
		\item Soit le point E$(-2~;~-4)$. 
		
Montrer que la droite (EA) est tangente en A au cercle $C$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(O, A), $d$(O, B) et $d$(A, B).
		\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$.
		
Calculer $\cos \alpha$, puis $\tan \alpha$. 

À l'aide des tables trigonométrique donner, en degré, la valeur approchée à 1 près par défaut de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}